Revêtements sous les schémas en groupes diagonalisables

L’objet de cette thèse est l’étude des revêtements inséparables de schémas en caractéristique positive. Notre but est de développer une théorie de la ramification qui étend celle des revêtements génériquement étales. Rappelons qu’on appelle revêtement génériquement étale un morphisme de schémas f : Y −→ X fini, surjectif, localement libre et étale au-dessus d’un ouvert schématiquement dense de X. Ces objets forment une catégorie fibrée au-dessus de la catégorie des schémas Et −→ Sch dont la fibre en un schéma X est la catégorie Et/X des revêtements génériquement étales de X. Rappelons brièvement les propriétés principales des revêtements génériquement étales et de leur ramification.

(E1) La catégorie Et est stable par composition : si Y −→ X est un revêtement de X et si Z −→ Y est un revêtement de Y alors la composée Z −→ X est encore un revêtement de X. (E2) La catégorie Et possède une sous-catégorie pleine EtG dont les objets sont dits galoisiens. Il s’agit des revêtements Y −→ X dont le groupe d’automorphismes G := AutX(Y ) agit transitivement sur les fibres. De plus les revêtements galoisiens peuvent se dévisser : si Z −→ X est un revêtement galoisien de groupe G et H ⊳ G est un sous-groupe distingué de G, on obtient un revêtement Z −→ Y := Z/H galoisien de groupe H et un revêtement Y −→ X galoisien de groupe G/H dont la composition donne le revêtement initial. (E3) Pour les revêtements f : Y −→ X suffisamment réguliers, il existe une notion de diviseur de ramification, que l’on note RY /X. Ce dernier mesure l’obstruction de f à être étale. On le définit comme le diviseur RY /X = Div(Ω1 Y /X ) associé au faisceau Ω 1 Y /X des formes différentielles relatives de f, qui est un faisceau de torsion puisque f est génériquement étale. Cette notion est transitive par composition : Si Z/X est un revêtement se factorisant en g : Z −→ Y suivi de Y −→ X on a l’égalité de diviseurs sur Z

RZ/X = RZ/Y + g∗RY /X (1)

La théorie de la ramification des extensions d’anneaux locaux génériquement séparables permet le calcul des multiplicités locales du diviseur de ramification.

Épimorphismes effectifs de schémas 

Un morphisme obtenu comme quotient d’un schéma par l’action d’un groupoïde est un épimorphisme effectif. Dans un tel exemple, le fait que la formation du quotient commute au changement de base est assez rare, et plus rare encore pour des quotients de groupes unipotents comme ceux qui motivent notre étude. À cause de cela, il est rare ou en tout cas difficile à vérifier que le morphisme de quotient est un épimorphisme effectif universel, et le fait que le théorème d’Olivier et Mesablishvili ne permet de détecter que ceux-ci est un problème. Ces considérations nous amènent à essayer de trouver des variantes du théorème précédent qui soient effectives au sens où elles demandent de tester que f reste schématiquement dominant après un nombre prescrit, aussi petit que possible, de changements de base. Nous présentons ci-dessous une telle variante, pour les épimorphismes finis. Pour ce faire, on démontrera une version précisée d’un résultat énoncé par Grothendieck dans son exposé no 190 au Séminaire Bourbaki de 1959 que l’on utilisera ensuite. Dans [Gro95] partie A, par. 1, page 190-08, Grothendieck écrit : « On peut prouver que si S est un préschéma noethérien, tout morphisme fini S ′ → S qui est un épimorphisme, est le composé d’une suite finie d’épimorphismes stricts (également finis) ». Le terme strict est synonyme de effectif dans ce contexte. Plus précisément, on donnera en 1.2.7 une démonstration constructive du fait que tout épimorphisme fini se factorise en un nombre fini d’épimorphismes effectifs et que cette factorisation est factorielle. On se servira de ce résultat pour démontrer le théorème principal de ce chapitre, qui affirme qu’un épimorphisme fini de schémas est un épimorphisme effectif si et seulement si il reste schématiquement dominant après certains changements de bases, en nombre fini. On renvoie à 1.2.10 et 1.2.11 pour les énoncés précis.

Épimorphismes de schémas

On commence par rassembler quelques résultats sur les épimorphismes de schémas qui nous seront utiles.

Définition.
On dit qu’un morphisme f : X −→ Y entre objets d’une catégorie C est un épimorphisme s’il est simplifiable à droite, c’est-à-dire que pour tout objet Z de C, l’application

f∗ : Hom(Y, Z) −→ Hom(X, Z)
g → g ◦ f

est injective. On dira parfois que f est simplifiable à droite.

Remarques.
• Il est clair que la composition de deux épimorphismes est un épimorphisme.
• Les épimorphismes d’ensembles sont les surjections.
• Tout morphisme surjectif d’anneaux commutatifs est un épimorphisme dans la catégorie des anneaux mais la réciproque n’est pas vraie. Par exemple les morphismes de localisation sont des épimorphismes d’anneaux commutatifs.
• Compte tenu de l’équivalence de catégories entre les schémas affines et les anneaux commutatifs, on voit immédiatement qu’un morphisme d’anneaux A −→ B est un monomorphisme (resp. épimorphisme) d’anneaux si et seulement si le morphisme de schémas affines correspondant Spec(B) −→ Spec(A) est un épimorphisme (resp. monomorphisme) de schémas affines. En revanche il n’est pas vrai en général que Spec(B) −→ Spec(A) soit un épimorphisme (resp. monomorphisme) dans la catégorie de tous les schémas.

On s’intéressera ici aux épimorphismes dans la catégorie C = Sch /S des schémas sur une base S. Sauf précision contraire, le terme épimorphisme signifiera épimorphisme de S-schémas. Dans cette catégorie il n’existe pas de théorème de structure général sur les épimorphismes (ni sur les monomorphismes). Nous disposons néanmoins de quelques résultats. Le lemme ci-dessous est extrait de [Gro63, Exp. VIII, Prop 5.1].

Lemme.
Soit f : X −→ Y un morphisme de S-schémas qui vérifie les deux conditions suivantes:
1. f est surjectif
2. f♯ : OY −→ f∗OX est injectif.
Alors f est un épimorphisme de S-schémas (et même d’espaces annelés sur S).

Groupoïdes

Rappels et définitions 

On commence par rappeler la notion de groupoïde en ensembles. Les définitions suivantes seront ensuite transposées dans le cadre des groupoïdes en schémas.

Définitions.
Un groupoïde est une petite catégorie dont tous les morphismes sont inversibles. Considérons un groupoïde dont on notera X l’ensemble des objets, G l’ensemble des morphismes, s, t : G −→ X les applications source et but, c : G ×s,t G −→ G la composition. Il existe une application inverse i : G −→ G et une application neutre e : X −→ G qui à un objet x ∈ X associe le morphisme identique idx. Elles sont déterminées par (X, G, s, t, c). On désigne par j le morphisme donné par le couple d’applications (s, t). On notera souvent j : G −→ X × X, G ⇒ X (ou G lorsque X est sous-entendu) un groupoïde. Si C est une catégorie, on dira qu’un quintuplet (X, G, s, t, c) est un C-groupoïde si X et G sont des objets de C, si s, t, c sont des morphismes dans G et si pour tout objet T de C, le quintuplet des T-points (X(T), G(T), s(T), t(T), c(T)) est un groupoïde en ensembles.

Un morphisme entre deux groupoïdes (X, G, s, t, c) et (X′ , G′ , s′ , t′ , c′ ) est un foncteur entre les deux catégories qu’ils définissent. Un tel foncteur est déterminé par une application f : G −→ G′ vérifiant la condition de compatibilité c′ ◦ (f × f) = f ◦ c′. Notons qu’alors f induit un morphisme f0 : X −→ X′ défini pour tout x ∈ X par f0(x) = s′ (f(idx)). On a alors (f0 × f0) ◦ j = j′ ◦ f.

Sous-groupoïdes distingués

Soit G ⇒ X un groupoïde et H ⇒ X un sous-groupoïde. On dit que H est distingué dans G et on note H ⊳ G si pour tous h ∈ StH et g ∈ G on a ghg−1 ∈ H. Notons que la condition h ∈ StH est celle sous laquelle le produit ghg−1 est défini. Ainsi la condition H ⊳ G ne dépend que du stabilisateur de H. En particulier si StG est trivial alors tout sous-groupoïde de G est distingué.

Si G ⇒ X est donné par l’action d’un S-schéma en groupes G sur X et H ⇒ X est l’action d’un sous-groupe H de G alors H est distingué dans G si et seulement si le stabilisateur Hx est distingué dans G pour tout x ∈ X, au sens habituel de la théorie des groupes.

En particulier pour tout groupe G et tout sous-groupe H ⊂ G, le groupoïde H ×S G ⇒ G correspondant à l’action de H par translation sur G est toujours distingué dans G ×S G ⇒ G, même lorsque H n’est pas distingué dans G. Notons également que le stabilisateur d’un groupoïde, muni de la structure induite, forme toujours un sous-groupoïde distingué du groupoïde ambiant.

Table des matières

Introduction
1 Épimorphismes effectifs de schémas
1.1 Épimorphismes de schémas
1.2 Épimorphismes effectifs
2 Groupoïdes
2.1 Rappels et définitions
2.2 Quotient catégorique d’un schéma par un groupoïde fini localement libre
2.3 Quotient dans la catégorie des S-schémas affines
2.4 Homogénéité des orbites et morphisme j
2.5 Quotient d’un groupoïde par un sous-groupoïde
3 Revêtements généralisés
3.1 La catégorie des revêtements généralisés
3.1.1 Définitions
3.1.2 Dévissage
3.1.3 Revêtements Galoisiens
3.2 Stabilisateurs et dévissage
3.3 Un diviseur de ramification pour les revêtements généralisés
3.4 Cas particulier des revêtements galoisiens génériquement étales
3.5 Comportement du diviseur de ramification par dévissage
4 Revêtements sous les schémas en groupes diagonalisables
4.1 Actions de schémas en groupes diagonalisables
4.2 Revêtements sous les groupes diagonalisables
4.2.1 Structure locale
4.3 Revêtements Gorenstein sous µpn,S
4.3.1 Faisceaux dualisants
4.3.2 Le cas des µpn,S-revêtements
4.4 Ramification des revêtements sous les p-groupes diagonalisables
4.5 Dévissage du diviseur de ramification des µpn -revêtements
4.6 Comparaison avec le faisceau dualisant
Conclusion
Bibliographie

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