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Applications de l’optique de transformation
Invisibilité
Dans la première section de ce chapitre, nous avons abordé l’optique de transformation à travers l’exemple le plus répandu dans la littérature, la cape d’invisibilité. Afin de masquer un objet vis à vis des ondes électromagnétiques, plusieurs types de transformations peuvent être utilisées. Nous aborderons dans cette partie les deux familles les plus courantes, les transformations sphériques et les transformations cylindriques.
Transformation sphérique
La transformation sphérique a été étudiée pour la première fois par Pendry dans son article fondateur du cloaking en 2006 [2] . Elle a fait l’objet de nombreuses recherches théoriques [7] [8], qui n’ont à ce jour aboutit à aucune réalisation expérimentale. Cette transformation permet de rendre invisible une sphère de rayon R1à l’aide d’une cloak elle-même délimitée par une sphère concentrique de rayon R2 . Il existe un nombre infini de transformations permettant de rendre invisible la sphère de rayon R1 . La plus couramment utilisée est la transformation affine, qui est obtenue par simple interpolation linéaire en utilisant les conditions aux bords :
Mimétisme
Historiquement, l’invisibilité ou « cloaking » a été la première application envisagée de l’optique de transformation. Cependant, l’OT est un concept bien plus général et permet de modifier la métrique perçue par les champs électromagnétiques. Ainsi, il est théoriquement envisageable de faire ressembler n’importe quel objet en un autre objet à l’aide d’un revêtement spécifique. En pratique, très peu des applications sont réalisables expérimentalement et il est le plus souvent nécessaire de faire des approximations ou simplifications dans les réalisations pour mettre en oeuvre les concepts théoriques.
Le mimétisme est une notion permettant de regrouper une grande partie des applications de l’OT sous la même appellation. Il s’agit, dans un cadre très général, de mimer le comportement électromagnétique d’un objet à l’aide d’un système présentant une géométrie différente et des matériaux différents. Cette notion a été présentée dans un article fondateur par Lai et al. en 2009 [15]. Dans ce travail, l’optique de transformation nous est présentée non plus comme un moyen de rendre invisible les objets mais plutôtcomme un outil bien plus général, permettant de faire ressembler un objet en n’importe quel autre objet.
Difficultés de réalisation d’un revêtement d’OT
Nous avons vu que l’optique de transformation permet de réaliser des capes d’invisibilité, en dimension 2 ou 3, et permet dans le cas général de faire ressembler un objet réel en un objet apparent fictif. Les applications potentielles de cette méthodologie sont nombreuses et des démonstrateurs de cape d’invisibilité ont été réalisés dès 2006. Avant de nous intéresser plus en détail aux réalisations expérimentales de revêtements d’OT, les simulations permettent de prendre conscience des difficultés soulevées.
Nous avons vu au travers des exemples de capes d’invisibilité cylindrique et sphérique que les propriétés requises dans les revêtements d’OT sont tensorielles et donc anisotropes dans le cas général. Elles sont également hétérogènes et atteignent des valeurs peu communes parmi les matériaux naturels : en particulier les permittivités et perméabilités relatives tendent localement vers 0. Nous essayons dans cette section de nous rendre compte de la sensibilité des capes vis à vis des propriétés matériaux : l’objectif est de pouvoir, qualitativement, se donner un ordre d’idée des précisions requises dans la conception, du point de vue de l’anisotropie, de l’hétérogénéité ainsi que des valeurs extrêmes de permittivité et perméabilité.
Sensibilité de l’anisotropie
Dans un premier temps, nous cherchons à déterminer l’impact sur les performances de la cape d’un écart à la consigne concernant l’anisotropie des propriétés du revêtement.
Nous modifions pour cela dans la simulation COMSOL les paramètres de sorte à ce que l’anisotropie ne dépasse pas une valeur limite. Cette valeur limite d’anisotropie nous permet de nous faire une idée des valeurs à atteindre pour obtenir les effets du cloaking et de les confronter aux valeurs atteignables par la réalisation. Nous choisissons arbitrairement de conserver exacte la composante radiale de permittivité et de perméabilité et de modifier les deux autres composantes afin de borner l’anisotropie. Les nouvelles propriétés du revêtement d’optique transformationnelle sont donc données par.
Sensibilité de la discrétisation
Les revêtements étant hétérogènes, un gradient de propriétés est nécessairement présent dans les revêtements. En pratique, ce n’est pas un gradient parfaitement continu qui pourra être réalisé mais plutôt un revêtement discrétisé spatialement, tel un multicouche. Un article publié en 2010 par Ming-Ji et al. [17] propose une méthode de structure de cape d’invisibilité en multicouche. Il apparaît au regard de la littérature que l’atténuation de la SER est une fonction linéaire du nombre de couches présentes dans la cape.
Une étude détaillée de structures en multicouches est donnée dans le chapitre 3 de ce manuscrit.
Sensibilité des valeurs extrêmes de permittivité et perméabilité
Dans l’étude de sensibilité de l’anisotropie, nous avons tronqué les valeurs « hautes » de permittivité et perméabilité dans la cape tout en conservant les valeurs basses, correspondant aux propriétés radiales. Ici, nous allons nous intéresser à la sensibilité vis à vis de ces valeurs basses. En effet, les valeurs requises tendent vers 0 à mesure que l’on se rapproche de la frontière interne de la cape cylindrique. Cependant, comme nous le verrons plus loin dans ce chapitre ainsi que dans le chapitre 5 de ce manuscrit, la réalisation de matériaux à permittivité proche de 0 (ou Epsilon-Near Zero ENZ) et perméabilité proche de 0 (ou Mu-Near-Zero MNZ) constitue un défi technique important. Nous verifions ici l’importance de ces valeurs proches de 0 au travers d’une étude paramétrique portant sur la valeur minimale atteignable en permittivité et perméabilité.
Métamatériaux
Introduction sur les métamatériaux
Le terme métamatériau désigne l’ensemble des structures artificielles composites conçues dans le but d’obtenir des propriétés particulières, voire inédites, dans le domaine de l’électromagnétisme, de la thermique ou encore de la mécanique. L’étude des métamatériaux est ancienne puisque l’on retrouve dès le début du XXème siècle [19] [20] des références étudiant le comportement électromagnétiques de milieux composites. L’histoire des métamatériaux est étroitement liée à celle de l’homogénéisation, qui consiste à affecter des valeurs effectives homogénéisées à une structure inhomogène. Winston Cock fut l’un des pionniers des métamatériaux dans les années 1940 et 1950 [21] [22] : il utilisa un réseau périodique de petits éléments métalliques sub-longueurs d’onde afin de créer un matériau diélectrique artificiel lui permettant de contrôler la phase sur une antenne. Veselago étudie en 1960 [23] le comportement des ondes dans un milieu dont la permittivité et la perméabilité seraient simultanément nulles. Il mentionne la possibilité d’utiliser un matériau structuré gyrotrope et magnétique afin de créer un matériau à indice négatif.
L’essor des métamatériaux ne prend réellement qu’à l’aube du XXIème siècle, lorsque John Pendry [24] développe le concept de super-lentille grâce à la réfraction négative de Veselago. La super-lentille est un dispositif à indice optique négatif permettant d’obtenir une focalisation parfaite d’un objet sans limite de diffraction ni d’angle d’incidence (stigmatisme rigoureux) ce qui constituerait une avancée majeur dans le domaine de l’imagerie. Un article a été publié en 2005 montrant une première réalisation expérimentale [25]. Ces matériaux à indice négatif sont également appelés matériaux « main gauche », car la propagation d’une onde dans un tel milieu se fait avec E, H et k formant un trièdre orienté dans une règle de la « main gauche ». John Pendry publie ensuite l’article fondateur du cloaking [2] en 2006, nécessitant également l’utilisation de méta-matériaux. Le cloaking est une application particulière de l’optique de transformation (OT), que nous avons abordé précédemment dans ce chapitre.
Pour ces deux applications que sont le cloaking et les superlentilles, les permittivités et perméabilités requises sont pratiquement introuvables dans la nature. De nombreuses dénominations sont apparues permettant de classer les métamatériaux en fonction de leurs propriétés. On a tout d’abord les matériaux main gauche ou matériaux à indice négatifs dont nous avons parlé précédemment concernant les superlentilles. Il y a ensuite les matériaux hyperboliques, dont le tenseur de permittivité admet une valeur propre négative [26] [27] [28] et dont la surface isofréquence est hyperbolique. Ces matériaux sont par conséquent très fortement anisotropes ce qui permet d’envisager leur utilisationdans des systèmes d’imagerie ou encore des superlentilles.
On trouve aussi dans la littérature les matériaux epsilon-near-zero (ENZ) et mu-nearzero (MNZ) dont la permittivité et la permeabilité atteignent des valeurs comprises entre 0 et 1 sur une bande de fréquence donnée [29] [30]. Des matériaux à indice proche de zéro ou near-zero-index (NZI) font également l’objet d’études approfondies étant donnée leur importance dans la réalisation de capes d’invisibilité [31]. Ces matériaux offrent également des possibilités intéressantes concernant le contrôle de la phase et des fronts d’onde [32].
Les méta-matériaux sont à bien des égards proches des cristaux photoniques, si bien que ces derniers sont parfois considérés comme un genre à part de métamatériaux [33][34] [35]. Des cristaux photoniques structurés en multicouches telles les miroirs de
Bragg permettent de créer, pour une incidence donnée, un réflecteur par phénomène d’interférences constructives. Cependant, il est important de noter que les cristaux photoniques sont utilisés à une fréquence pour laquelle ils ne sont pas homogénéisables puisque la longueur d’onde est de l’ordre de grandeur de la taille des inclusions. De manière plus générale, les empilements de couches minces constituent une classe de métamatériaux permettant de réaliser des propriétés anisotropes. Si, à la différence des miroirs de Bragg, les dimensions de structurations sont très inférieures aux longueurs d’ondes dans les couches, on peut alors envisager d’obtenir des propriétés homogénéisées. Ces matériaux ont de nombreuses applications et peuvent servir d’absorbants [36], constituer des matériaux hyperboliques [37] [38] ou encore créer des matériaux à indicenégatif [39].
Métamatériaux à faible indice
Les métamatériaux les plus étudiés depuis le début des années 2000 sont certainement les réseaux de particules résonantes permettant de créer des ENZ, MNZ ou NZI. Ces matériaux sont constitués le plus souvent de fils conducteurs imprimés sur des matrices polymères. L’un des motifs les plus courants est le Split-Ring Resonator (SRR) étudié pour la première fois en 1981 par Hardy et Whitehead [40]. Leur objectif était d’obtenir dans la gamme hyperfréquence des résonateurs magnétiques dont les dimensions seraient inférieures aux cavités résonantes classiques. Le dispositif est constitué d’un anneau métallique fendu excité par une ligne coaxiale. Ces travaux ont ensuite été repris par Pendry [41] dans le but de fabriquer des métamatériaux magnétiques en disposant les SRR en réseau, non plus dans une ligne coaxiale mais dans l’espace libre. Il leur détermine alors analytiquement une perméabilité magnétique effective à partir des courants de surfaces. Une étude des SRR seuls et couplés dans différentes configurations a été réalisée afin de déterminer analytiquement le rôle de la réponse dipolaire magnétique dans le champ diffusé par la particule [42]. Il apparaît que la réponse magnétique semble avoir un rôle important dans les couplages entre SRR proches, validant le caractèremagnétique des réseaux de SRR. Les couplages entre SRR en mode edge-coupledou broadside-coupled ont également été abordés de manière analytique dans [43].
Circuits maxwelliens
Le comportement des méta-matériaux à réseaux d’inclusions métalliques peut être modélisé par des circuits électriques équivalents. On appelle parfois circuit maxwelliens ce type d’inclusions. Les phénomènes en jeu dans un circuit maxwellien et dans un circuit électrique présentent de nombreuses similitudes. Des approches analytiques ont été développées afin d’établir des équivalences entre les circuits maxwelliens et les circuits électriques [54] [55] [56]. Ainsi, de nombreuses équivalences entre inclusions et circuits électriques sont données dans [57].
Cette approche permet dans une certaine mesure de prédire le comportement des résonances des inclusions métalliques vis à vis des excitations électromagnétiques, en déterminant les caractéristiques du circuit électrique équivalent. Nous évoquons les circuitsMaxwelliens dans les chapitres 4 et 5 de ce manuscrit.
Etat de l’art des réalisations
Capes d’invisibilité
La cape d’invisibilité, qu’elle soit cylindrique ou sphérique, présente une très grande difficulté de réalisation si bien que peu de systèmes expérimentaux ont actuellement vu le jour. La première cape d’invisibilité cylindrique a été développée par Schurig et al.[14] en 2006 dans le domaine des micro-ondes. Afin de simplifier la réalisation de la cape, les propriétés matériaux requises ont été modifiées de sorte à correspondre à leurs capacités de fabrications. En effet, en multipliant toutes les propriétés matériaux théoriquement requises par une fonction bien choisie de l’espace, les auteurs font en sorte de n’avoir qu’une seule composante de perméabilité sous-unitaire au lieu de deux requises normalement pour les capes cylindriques. En d’autres termes, les trajectoires des rayons sont conservées mais une réflection apparaît à la surface de la cape. Ce revêtement n’est donc pas strictement une cape d’invisibilité, mais plutôt une version simplifiée.
Une autre démonstration expérimentale de cape cylindrique ne s’appuyant pas directement sur l’optique transformationnelle a été réalisée à l’aide de lignes de transmissions permettant de guider l’énergie électromagnétiques autours d’un objet à masquer [58] [11]. Cette application permet de rétablir un coefficient de transmission proche de 1, mais l’onde transmise n’a pas la phase qu’elle aurait avec une cape parfaite. L’objet est donc techniquement détectable, mais le dispositif permet néanmoins de diminuer fortement l’onde rétro-diffusée.
Mapping conforme et quasi-conforme
Devant la grande difficulté que représente la réalisation des capes d’invisibilité, les tapis se sont rapidement imposés comme une alternative bien plus réaliste et tout aussi utile. Le concept fut développé par Li et Pendry en 2008 [59]. Dans cet article est exposée une méthode permettant de masquer un défaut de surface à l’aide d’un tapis utilisant un transformation optique quasi-conforme. Trois idées majeures entrent en compte dans cette approche. Tout d’abord, l’OT n’est pas utilisée pour rendre invisible un objet mais plutôt pour le faire ressembler à un autre : on est donc dans une approche mimétique.
Ensuite, la transformation utilisée est une transformation quasi-conforme, c’est à dire qu’elle respecte autant que possible localement la valeur des angles. Il est possible de montrer que l’utilisation d’une telle transformation minimise l’anisotropie dans le revêtement d’OT [59] [60], permettant ainsi de la négliger. Enfin, la troisième idée dans cet article et que l’on retrouve déjà dans [14] consiste à ne s’intéresser qu’à l’indice optique dans le revêtement afin de ne pas être contraint d’utiliser des matériaux magnétiques.
Ce choix se fait au prix d’un saut d’impédance à l’interface entre la cape et l’air, provoquant une réflexion à la surface. Il permet en revanche d’imaginer des designs de capes jusqu’aux fréquences optiques, grâce à une approche tout-diélectrique [61].
Les méthodes de mapping conforme ou quasi-conforme permettent donc de réaliser des transformations très douces et par conséquent simplifient grandement la réalisation en supprimant l’anisotropie dans le revêtement. Cependant, ces approches se font au prix d’une très grande épaisseur, ce qui réduit drastiquement les applications potentielles de ces dispositifs. Dans [59], le tapis d’invisibilité est près de dix fois plus épais que le défaut que l’on tente de masquer. Une réalisation expérimentale a été réalisée en 2009 par Liu et al. [62], dans laquelle le revêtement est cette fois-ci cinq fois plus épais que le défaut à masquer. Une cape d’invisibilité conforme a également été conçue en 2013 par Ma et al. [12], pour laquelle l’épaisseur de cape est là encore très grande au regard des dimensions de l’objet à masquer et l’invisibilité n’est obtenue que pour une direction d’incidence unique.
L’approche quasi-conforme ou conforme semble donc intéressante du point de vue des réalisations expérimentales et de la validation de la théorie de l’optique transformationnelle. Cependant, par la nature même des transformations, les revêtements obtenus sont très épais au regard des dimensions caractéristiques du problème : il semble difficile d’intégrer sur des systèmes existants de tels dispositifs tant leur encombrement estimportant.
Tapis par contrôle de phase
Afin de pallier ce problème d’épaisseur des revêtements, une approche alternative a été développée, celle des tapis ultra-minces par saut de phase. On ne s’intéresse plus ici aux techniques d’optique de transformation, l’idée consiste cette fois ci à ne s’intéresser qu’au déphasage provoqué par le défaut [63] [64] que l’on souhaite masquer. L’objectif est de mettre au point un revêtement mince permettant de redresser le front de l’onde réfléchi et ainsi de recréer la réflexion spéculaire malgré un défaut. En se basant surles lois de Snell-Descartes généralisées développées dans [65], il est possible de relier l’angle de réflexion, l’angle d’incidence ainsi que la phase de l’onde sur la surface :
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Table des matières
Résumé
Abstract
Remerciements
Table des matières
Table des figures
Introduction
1 Optique de transformation et cloaking
1.1 Introduction
1.2 Description de l’optique de transformation
1.2.1 Déformation de l’espace
1.2.2 Propriétés matériau équivalentes
1.3 Point de vue mathématique
1.4 Applications de l’optique de transformation
1.4.1 Invisibilité
1.4.2 Mimétisme
1.5 Difficultés de réalisation d’un revêtement d’OT
1.5.1 Sensibilité de l’anisotropie
1.5.2 Sensibilité de la discrétisation
1.5.3 Sensibilité des valeurs extrêmes de permittivité et perméabilité
1.6 Métamatériaux
1.6.1 Introduction sur les métamatériaux
1.6.2 Métamatériaux à faible indice
1.6.3 Chiralité artificielle
1.6.4 Circuits maxwelliens
1.7 Conclusion
2 Applications de l’Optique transformationnelles
2.1 Introduction
2.2 Etat de l’art des réalisations
2.2.1 Capes d’invisibilité
2.2.2 Mapping conforme et quasi-conforme
2.2.3 Tapis par contrôle de phase
2.2.4 Capes par annulation de la diffusion
2.2.5 Conclusion
2.3 Notion de mimétisme, qualification des revêtements d’optique transformationnelle
2.3.1 Introduction
2.3.2 Vocabulaire
2.3.3 Critère de mimétisme
2.4 Revêtement mimétique : transformer les carrés en cercles
2.5 Tapis d’invisibilité par troncature de cape
2.5.1 Motivations et objectif .
2.5.2 Description de l’approche
2.5.3 Simulations full-wave
2.6 Invisibilité d’un objet longiligne
2.6.1 Positionnement de l’étude
2.6.2 Résultats et écarts par rapport aux attentes
2.6.3 Cape par compression sphérique
2.7 Conclusion
3 Structuration des revêtements
3.1 Introduction
3.2 Homogénéisation, création d’anisotropie
3.2.1 Bornes de Wiener .
3.2.2 Cape sphérique et structure multicouche
3.2.3 Cape cylindrique et structure multicouche
3.3 Vers un revêtement réaliste
3.3.1 Tapis d’invisibilité
3.3.2 Tapis de mimétisme
3.4 Intégration de matériaux anisotropes
3.5 Perspectives
3.5.1 Structuration en voxels
3.5.2 Conclusion
4 Métamatériaux conducteurs résonants
4.1 Introduction
4.2 Bibliographie
4.2.1 Étude de la diffraction d’un objet
4.2.2 Les circuits équivalents
4.3 Interface métal-diélectrique courbée .
4.3.1 Description de la géométrique du fil métallique
4.3.2 Équations dans le repère de Frenet
4.3.3 Résolution par séparation des variables
4.3.4 Équation des modes de surface
4.3.5 Résonance de corde vibrante
4.4 Courants le long d’un SRR
4.5 Etude paramétrique d’un SRR
4.5.1 Impact de la longueur curviligne
4.5.2 Impact de la permittivité du substrat
4.5.3 Impact de la conductivité
4.6 Conclusion
5 Homogénéisation bi-anisotrope
5.1 Introduction
5.2 Homogénéisation
5.3 Décomposition du rayonnement lointain
5.3.1 Décomposition multipolaire des méta-atomes
5.3.2 Décomposition du premier ordre
5.3.3 Décomposition anisotrope du premier ordre
5.3.4 Décomposition d’ordre 2
5.3.5 Décomposition d’ordre n
5.4 Homogénéisation magnéto-diélectrique scalaire
5.4.1 Inversion de la relation de Clausius-Mossotti
5.4.2 Validation de la méthode
5.4.3 Limites du modèle
5.5 Homogénéisation bi-anisotrope
5.5.1 Méthode
5.5.2 Critère de chiralité
5.5.3 Application au cas de la spirale plate
5.5.4 Application du critère de chiralité
5.6 Conclusion
6 Adaptation fréquentielle d’une cape
6.1 Introduction
6.2 Impact de la dispersion fréquentielle sur la bande de fonctionnement
6.2.1 État de l’art
6.2.2 Définition du cas d’étude
6.2.3 Résultats de la simulation et analyse
6.3 Adaptation en fréquence de la cape
6.3.1 Équations d’état de la cape d’invisibilité sphérique
6.3.2 Conditions
6.3.3 Dispersion en fréquence
6.3.4 Conception de la cape dispersive
6.3.5 Résultats et analyses
6.3.6 Limites de performances
6.4 Conclusion
Conclusion
Bibliographie
