Retour sur le comportement mécanique « réversible » du ballast – Modélisation et expérimentation

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Approches analytiques et numériques

Toujours en lien avec l’étude du comportement des voies ferroviaires, nous présentons ici plusieurs études (semi-)analytiques et numériques réalisées auparavant. Tout comme la section précédente, cette partie a simplement pour but d’illustrer les différentes démarches possibles à l’aide de certains travaux, basés sur des hypothèses de modélisation (de la structure et des sollicitations) plus ou moins élaborées. On propose de regrouper ces différentes études comme suit dans la suite de cette section :
– approches (semi-)analytiques,
– approches par la Méthode des Eléments Finis (MEF) et
– approches par la Méthode des Eléments Discrets (MED).
Approches (semi-)analytiques
Les approches (semi-)analytiques sont utilisées pour l’étude de problèmes linéaires à géométrie simple, et requièrent donc des temps de calcul relativement courts en comparaison des deux autres approches. Elles sont généralement employées pour le calcul rapide de la réponse dynamique de voies ferroviaires et représentent la structure ferroviaire de manière assez simplifiée.
Parmi les plus simples (modèle 1D), on peut notamment citer les modèles composés de poutres d’Euler-Bernoulli (modélisant les rails) reposant sur une fondation de Winkler (distribution continue de ressorts élastiques représentant un sol équivalent). Le chargement induit par une roue de bogie sur la poutre est modélisée par l’application de forces d’amplitude constante se déplaçant à vitesse constante. On pourra trouver une description relativement détaillée de ce type de modélisations dans Frýba (1999) pour un large intervalle de vitesse.
Dans d’autres travaux, la fondation de Winkler est remplacée par un demi-espace élastique (3D). La poutre d’Euler-Bernoulli repose donc de manière continue sur ce massif semi-infini. Citons par exemple les études menées par Filippov (1961) et (Krylov, 1995) dont le but est d’estimer les vibrations induites dans le sol par le passage de véhicules ferroviaires circulant à grande vitesse. Afin de prendre en compte la discontinuité des appuis des traverses, Krylov propose d’évaluer les efforts engendrés au niveau des traverses par un calcul quasi-stationnaire sur la base d’un modèle simplifié poutre-Winkler et de les appliquer directement à la surface du massif. Il observe que les vibrations engendrées dans le massif à vitesse très élevée (> célérité des ondes de Rayleigh) sont très grandes par rapport à celles obtenues aux vitesses commerciales.
Metrikine and Popp (1999) élaborent le premier modèle de voie non-homogène dans la direction de roulement en faisant reposer périodiquement une poutre d’Euler-Bernoulli sur des appuis fixés à la surface d’un demi-espace élastique (contact supposé permanent). Ils montrent notamment que les résultats calculés avec ce modèle sont très proches de ceux obtenus avec un modèle homogénéisé de voie pour lequel le contact poutre/massif est rendu continu. Ces résultats sont confirmés par ceux de Vostroukhov and Metrikine (2003) qui considèrent, en place du massif semi-infini, une couche viscoélastique (modèle de Kelvin-Voigt) d’épaisseur finie reposant sur un support indéformable.
Un autre moyen de modélisation analytique des voies ferroviaires est l’approche « multi-corps » pour laquelle les éléments de la structure (et du matériel roulant) sont représentés par des systèmes de masses-ressorts-amortisseurs. Cette approche est en général utilisée pour étudier les problèmes d’interaction dynamique entre le passage de véhicule sur le rail et la voie.
Parmi les travaux basés sur ce type d’approche, on peut par exemple citer ceux de Nielsen and Igeland (1995) dans lesquels le comportement de la voie est considéré linéaire tandis que celui du véhicule mobile est pris non-linéaire (loi de Hertz pour le contact roue/rail). L’objectif de ces auteurs a été d’étudier les effets dynamiques engendrés par la présence de trois types d’irrégularités de la voie : défaut sinusoïdal de surface du rail, méplat de roue et traverse danseuse.
Zhai s’est également penché les problèmes d’interaction dynamique en présence d’irrégularités au niveau du contact roue/rail (Zhai and Cai, 1997; Zhai et al., 2004). Le modèle qu’il propose, illustré sur la FIGURE I.14a, permet de prendre en compte les effets « d’emboitement » des granulats du ballast (effets de cisaillement) par l’intermédiaire d’un ressort et d’un amortisseur entre les masses adjacentes représentant le ballast. Ils montrent en particulier que la réponse dynamique de la structure est fortement amplifiée au passage des irrégularités considérées.

Approches par Eléments Discrets

Une seconde approche numérique possible pour l’étude des voies ferroviaires se base sur l’utilisation des Méthodes par Eléments Discrets (DEM pour Discrete Element Method). Ce type de méthodes considère indépendamment chaque grain du milieu, contrairement aux approches « continues », et permet d’étudier le comportement quasi-statique ou dynamique d’une collection de corps, supposés rigides ou indéformables. Les interactions entre particules sont gérées de manière différente selon les méthodes mises en oeuvre, que l’on peut séparer en deux catégories (Hoang, 2011). On les aborde succinctement dans la suite et on les illustre, comme précédemment, par quelques travaux issus de la littérature.
La première catégorie regroupe les méthodes « régulières » (Smooth Methods), telles que la Distinct Element Method (aussi désignée par DEM) développée par Cundall and Strack (1979) ou encore la Dynamique Moléculaire (MD pour Molecular Dynamic). Ces méthodes sont basées sur des approximations régularisantes des relations exprimant le contact entre deux particules, le plus souvent considérées indéformables mais pouvant s’interpénétrer légèrement (contact élastique linéaire ou non). Des lois de comportement du contact sont alors utilisées pour relier les interpénétrations aux efforts d’interaction entre grains. Ce type de méthodes exige donc de discrétiser le temps suffisamment finement, de manière à ce que le pas de temps soit largement inférieur à la durée d’un contact. Dans le cas de simulations dynamiques d’assemblages granulaires tels que le ballast, constitués d’un nombre important de grains en contact, cette exigence peut conduire à des pas de temps très faibles et donc à des temps de calculs relativement longs.
L’utilisation de la DEM de Cundall a par exemple été faite par Oviedo (2001) dans le but de simuler à l’aide de particules polygonales (de forme aléatoire) ses essais « BOUBA » réalisés à échelle 1/3. Les résultats des simulations confirment qualitativement les trois types de comportement du ballast observé expérimentalement en fonction de la fréquence de sollicitation : solide à faible fréquence, viscoélastique à moyennes fréquences et « liquide » à haute fréquences.
A l’aide de la même méthode, Lobo-Guerrero and Vallejo (2006) se sont intéressés aux problèmes de tenue de voie en présence de ruptures de grains causées par des sollicitations cycliques. Le modèle de voie, illustré sur la FIGURE I.16b, est constitué d’une portion de rail fixé à trois traverses et d’un assemblage de disques rigides (pour la première modélisation) ou susceptibles, sous les sollicitations appliquées (200 cycles de chargement d’amplitude égale à 62 kN appliqué par l’intermédiaire du rail), de se fragmenter en huit disques de diamètres inférieurs (pour la seconde, cf. FIGURE I.16a).

Positionnement du travail de recherche par rapport à la bibliographie

Les différentes démarches, présentées ci-avant ont permis de reproduire en laboratoire ou numériquement et d’analyser certains des mécanismes, évoqués en section I.3.1, liés au tassement des couches de ballast : dégradation des granulats, densification du ballast, migrations de particules, etc.
Les observations de terrain et les études entreprises confirment que la vitesse de circulation a une forte influence sur la rapidité de l’évolution de la détérioration géométrique de ces couches, tout comme la qualité des constituants de la voie. L’augmentation de la vitesse entraîne une « amplification » de la réponse dynamique de la voie, conduisant à l’apparition de fortes accélérations synonymes d’une certaine « agitation » du ballast.
Les études menées dans le domaine fréquentiel montrent ainsi une sensibilité de ces phénomènes à la fréquence de chargement et mettent en évidence un effet de seuil. A partir d’une certaine limite (fréquence et amplitude critiques), probablement fonction du conditionnement des échantillons de ballast, la structure granulaire peut se désorganiser et conduire à des mécanismes d’« écoulement » ou de « liquéfaction ». Ces conditions critiques ont été traduites par certains auteurs en termes d’accélérations, qui dans le contexte d’une voie ferroviaire correspondraient à des accélérations verticales vers le haut de blochets d’environ 1.4? et, d’après Bodin (2001), à l’apparition dans la masse de ballast d’accélérations vers le bas de l’ordre de 1?.
Cet état « limite » est mis à profit lors des opérations de bourrage pour faciliter l’enfoncement des bourroirs dans le ballast et la remise en place par serrage des granulats sous traverses. Lorsque ces conditions critiques sont atteintes, ou tout au moins lorsqu’on s’en approche, sur les maquettes de laboratoire ou numériques visant à reproduire la réponse des voies au passage de trains, celles-ci conduisent à de rapides évolutions de tassement du ballast.
Ces travaux ont donné lieu à l’ajout d’un terme « dynamique » dans les lois de tassement, établies antérieurement sous chargement cyclique et à faible fréquence pour caractériser le comportement à long terme des couches de ballast. Les conséquences pratiques de ces travaux ont principalement été prises en compte pour améliorer les stratégies de maintenance des LGV.
Comme annoncé et à la lumière de cette analyse bibliographique, nous avons plutôt focalisé notre travail sur le dimensionnement même des LGV, avec pour finalité la recherche de dispositions constructives permettant de limiter en section courante les accélérations induites dans le ballast au passage des trains.
Précisons toutefois dans l’intermède suivant, en complément à l’étude bibliographique et avant de rentrer dans le vif du sujet, notre idée directrice concernant le rôle défavorable des accélérations sur l’origine des désordres dans le ballast.

ViscoRail : outil de calcul numérique de la réponse dynamique et réversible de structures ferroviaires

La méthode de calcul développée par Chupin et Piau (2011a, 2011b) et implémentée dans ViscoRail est présentée ici. Cette méthode est basée sur l’utilisation du logiciel ViscoRoute© 2.0 dédié au calcul semi-analytique de la réponse dynamique de chaussées routières, apparentées dans ce cadre à des structures multicouches homogènes.
La méthode développée par Chupin et Piau (2011a, 2011b) étend l’approche quasi-stationnaire de ViscoRoute© 2.0 aux structures ferroviaires sur appuis discontinus. Elle conduit donc à de courtes durées de calcul, propice à la réalisation d’études paramétriques. Par ailleurs, elle permet l’étude de structures composées de couches bitumineuses dont le comportement thermo-viscoélastique est modélisé par la loi de Huet-Sayegh, particulièrement bien adaptée à ces matériaux.
Ce dernier point fait donc de ViscoRail un outil de calcul original adapté à l’étude de structures ferroviaires comportant des couches d’enrobé bitumineux ; ce type de structures étant devenu une alternative sérieuse aux structures totalement granulaires (Robinet, 2011; Rose et al., 2011, 2010). Dans la littérature, leur modélisation est généralement basé sur des approches élastiques linéaires équivalentes (Fang et al., 2011 ; Rose and Uzarski, 2011 ; Teixeira et al., 2006).
Dans la suite, une présentation rapide de ViscoRoute© 2.0 est tout d’abord effectuée. Le principe général de ViscoRail est ensuite donné dans la section II.2.2, avant de revenir en détails sur certains aspects de la procédure de calcul dans les sections II.2.3 et II.2.4. La dernière partie de cette section s’attache quant à elle à récapituler les étapes successives de la méthode, telles qu’elles ont été implémentées dans ViscoRail.

ViscoRoute© 2.0

Le logiciel ViscoRoute© 2.0 étant largement détaillé dans les publications de Chabot et al. (2010), Chupin et al. (2010) et Duhamel et al. (2005), seule une rapide présentation est faite ici ; le lecteur étant renvoyé vers ces références pour plus de précisions (voir aussi l’Annexe A). Il est également à souligner que ViscoRoute© 2.0 a déjà fait l’objet de validations antérieures.
ViscoRoute© 2.0 est un programme numérique conçu pour résoudre les équations de l’élasto-dynamique d’un demi-espace stratifié (cf. FIGURE II.1a) soumis à des charges mobiles se déplaçant à vitesse constante ?. Chaque couche ?∈{1;?}, d’épaisseur ??, est composée d’un matériau homogène de masse volumique ?? et peut avoir un comportement élastique linéaire, caractérisé par les coefficients de Lamé {??;??}, ou viscoélastique au travers de la loi thermosensible de Huet-Sayegh (Huet, 1999, 1963; Sayegh, 1965).
Cette loi a été spécialement élaborée pour modéliser le comportement des matériaux bitumineux rencontrés dans le domaine routier et est utilisée dans le Chapitre IV pour effectuer des simulations numériques sur des structures ferroviaires comportant une sous-couche en grave-bitume. Comme illustré sur la FIGURE II.1b, le modèle rhéologique de Huet-Sayegh (HS) peut être représenté en une dimension par un ressort élastique linéaire (branche ?) connecté en parallèle à deux amortisseurs paraboliques associés en série à un ressort élastique linéaire (branche ??). Dans le domaine fréquentiel où les matériaux bitumineux sont caractérisés, l’expression du module complexe de Huet-Sayegh est la suivante : ?∗(??(?))=?0+?∞−?01+?(???(?))−?+(???(?))−ℎ (II.1) où ?=2?? est la pulsation de la sollicitation, ? l’unité imaginaire (telle que ?2=−1), ?0 et ?∞ représentent respectivement les modules élastiques statique et instantané, ? et ℎ sont les exposants des amortisseurs paraboliques (0<?<ℎ<1) et ? est un coefficient adimensionnel (>0) permettant d’équilibrer les contributions des deux amortisseurs paraboliques dans le comportement global. La fonction ?, dépendante de la température ?, permet de prendre en compte le principe d’équivalence temps-température des matériaux dits thermorhéologiquement simples1, et s’écrit : ?(?)=?0??1?+?2?2 (II.2).

Principe général de ViscoRail

La méthode de calcul implémentée dans ViscoRail est basée sur une procédure de sous-structuration du modèle de voie présenté sur la FIGURE II.2, supposé parfaitement rectiligne et ne présentant aucun défaut.
Cette procédure consiste à découpler le système d’armement rails/traverses, modélisé par des poutres d’Euler-Bernoulli et des ressorts verticaux, de la structure d’assise (ou structure de voie). Le chargement induit par les roues du train sur les rails est représenté par l’application de charges ponctuelles d’intensité constante ? se déplaçant à vitesse constante ?.
Au passage de ces charges, les ressorts, régulièrement espacés de ? (entraxe), transmettent des efforts à la surface de la structure de voie, traduits sous la forme de pressions verticales appliquées sur l’empreinte des blochets de dimensions ?=2?×2?.
Cette distribution de contraintes verticales en surface de structure permet d’assurer la connexion entre les deux parties du modèle ainsi séparé.
Dans la version initiale de ViscoRail, cette distribution de contraintes verticales ?(?,?) est calculée sans prendre en compte les efforts d’inertie dans la structure de voie. Nous avons développé au cours de la thèse une seconde version qui les inclut et pour laquelle le couplage entre les deux sous-systèmes est traité de façon itérative sur la base d’une méthode de point fixe (section II.3.2). Le calcul de la réponse dynamique de la structure d’assise soumise à la distribution ?(?,?) est réalisé avec ViscoRoute© 2.0. Cependant, ?(?,?) ne pouvant être directement injecté en entrée de ce code qui traite des problèmes quasi-stationnaires, une méthode de décomposition de ?(?,?) en « ondes de chargement » a été proposée par Chupin and Piau (2011a, 2011b). Un calcul ViscoRoute© 2.0 est effectué pour chaque onde de chargement et la réponse de la structure d’assise à la sollicitation ?(?,?) est obtenue par recombinaison, en exploitant la linéarité du problème.
Les sections II.2.3 et II.2.4 ci-après proposent respectivement de détailler le calcul de cette distribution de contraintes en surface de massif et la procédure, basée sur la décomposition de cette distribution en ondes de chargement, permettant de recombiner la réponse de la structure de voie ferroviaire.

Calcul de la distribution de contraintes à la surface de la structure d’assise

Modélisation de la distribution de contraintes
Sous l’action des forces ponctuelles d’intensité constante ? se déplaçant à vitesse constante ? sur les rails, il est supposé que les ressorts verticaux transmettent, en surface de structure multicouche, des pressions verticales uniformes sous la surface ?=2?×2? des blochets (traverses bi-blocs, comme illustré sur la FIGURE II.2). Nous négligeons ici les surcharges dynamiques qui pourraient être induites par la masse du chargement, car comme discuté en section III.4.3 dans le cas d’une voie parfaitement rectiligne et sans défaut (tel que considérée ici), celles-ci sont petites devant la charge statique transmise par la roue ; les bogies ferroviaires disposant de systèmes d’amortissement. En outre, concernant l’hypothèse d’uniformité de la pression verticale sous blochets, Vostroukhov et Metrikine (2003) assure que cette approximation reste satisfaisante tant que les vibrations, engendrées dans le massif par les sollicitations en surface, restent dans le domaine des basses fréquences. Or toujours d’après ces auteurs, dans le cas de l’application de charges d’amplitude constante, le spectre de la réponse dynamique de la structure est principalement concentré dans ce domaine.
Dans ces conditions, la distribution de contraintes verticale transmise à la surface de la structure d’assise via le système d’armement peut s’écrire, pour chaque file de rail, sous la forme suivante : où : ???(?,?,?)=[?(?+?)−?(?−?)]?(?,?) (II.4)
avec ?∈ℕ le numéro de traverse et ? l’entraxe de traverse. Les fonctions de Heaviside ? permettent d’activer la contrainte ??? dès lors que le point {?;?} est situé sous un blochet et de l’annuler partout ailleurs. La fonction ? est une courbe maîtresse qui permet de définir, à elle seule, l’amplitude de ??? à imposer sous la traverse ? à tout instant ? ; comme montré par l’équation (II.5) qui traduit le fait que ?(?,?+?/?)=?(?−?,?). Afin de satisfaire l’hypothèse d’amplitude constante du chargement, la fonction ? doit vérifier la condition suivante pour tout ? : exprimant le fait que, pour la file de rail en question (reprenant la moitié du poids du train ?) la résultante des forces appliquées sur les blochets doit rester constante et correspondre à ?2⁄. On propose dans la section ci-après de déterminer l’espace de fonctions vérifiant parfaitement la condition (II.6).
A titre d’illustration pour une structure donnée, deux distributions de contraintes ???(?,?=0,?) et ???(?,?=0,?+??) sont représentées en zones hachurées sur la FIGURE II.3 ainsi que la courbe maîtresse ? correspondante (ligne continue). Ces deux distributions sont obtenues sous l’axe du rail situé en ?=0 pour une seule charge ponctuelle, de vitesse ? et d’amplitude ?=?2⁄ (un essieu à
?(?,?)=Σ[?(?−??+?)−?(?−??−?)]?(??−??)?=+∞?=−∞ (II.5)
Σ?(??−??)?=+∞?=−∞=?2?=?????????,?=4?? (II.6).

Procédure de calcul de la réponse dynamique de la structure de voie avec ViscoRoute© 2.0

Comme évoqué précédemment, la réponse de la structure d’assise, soumise à la distribution de contraintes (II.4) (désormais connue grâce à la détermination de la courbe maîtresse ? réalisée dans la section précédente), est basée sur l’utilisation de ViscoRoute© 2.0. Néanmoins, la fonction ?(?,?) (II.5) ne peut être utilisée telle quelle, puisque la méthode implémentée dans le logiciel requiert d’une part l’homogénéité de la voie dans la direction d’avancement des charges et d’autre part la non-dépendance de l’intensité des charges vis-à-vis du temps (cf. section II.2.1). Pour satisfaire ces conditions, Chupin and Piau (2011a, 2011b) ont développé une méthode de calcul basée sur la décomposition de la fonction ?(?,?) en ondes de chargement, qui permet de calculer la réponse dynamique de la structure d’assise sur un ensemble continu de repères mobiles. Ces ondes sont des fonctions continues, mobiles (de vitesses différentes, positives ou négatives) et dont l’amplitude est constante en fonction du temps ; ce qui assure leur compatibilité avec le cadre d’utilisation de ViscoRoute© 2.0. La recombinaison de ces ondes de chargement conduit à la fonction ?(?,?) et la réponse dynamique de la structure d’assise est obtenue par sommation des réponses dues à chaque paquet d’ondes, en exploitant la linéarité du problème.

Implémentation de la méthode dans un script de calcul

En guise de conclusion sur cette première section, les étapes successives de la méthode de calcul permettant d’obtenir la réponse dynamique et réversible de structures ferroviaires sont récapitulées sur le diagramme schématique de la FIGURE II.6. Ces différentes étapes ont été implémentées dans l’outil numérique ViscoRail (développé en langage C++), qui est donc basé sur des appels successifs du logiciel ViscoRoute© 2.0.
Comme déjà évoqué, l’utilisation de ce logiciel permet d’une part de considérer des structures composées de couches bitumineuses au travers de la loi thermo-viscoélastique de Huet-Sayegh et offre d’autre part la possibilité de réaliser des études paramétriques du fait des courtes durées de calculs ViscoRoute© 2.0. Ces deux particularités sont particulièrement exploitées dans le Chapitre IV où les problèmes de stabilité de la couche de ballast sont abordés.
?0(????)=?(????+Δ???2)−?(????−Δ???2)Δ??? (II.51)
?(??,?)=??2?√?Σ?−(?????(1−?))2??=+∞?=1 ×[cos(?2?(??−?)?(1−?))−cos(?2?(??+?)?(1−?))] (II.52)
?(?,?,?,?)=Σ???(?,?,?,?)+?1(?,?,?,?)?=??=1 (II.53)
Ces différentes simulations ont néanmoins été réalisées après avoir apporté certains développements au code de calcul ViscoRail, initialement développé par Chupin et Piau (2011a, 2011b). Ceux-ci sont présentés dans la section qui suit. Auparavant, on revient sur des approximations possibles du calcul des accélérations.

Contribution apportée au développement de ViscoRail

Nous présentons ici certains développements complémentaires apportés à ViscoRail, durant la thèse. Les travaux liés à cette contribution ne sont pas présentés de manière exhaustive dans cette section, la majeure partie des modifications apportées à ViscoRail relevant essentiellement du domaine de la programmation numérique.
On choisit donc de ne s’intéresser ici qu’à deux volets de cette contribution. Premièrement, puisque seuls les profils spatiaux sont disponibles dans la première version de ViscoRail, un module de post-traitement a été développé afin de permettre la construction des évolutions temporelles des champs mécaniques dans la structure ferroviaire sur la base des évolutions spatiales obtenues pour des positions successives des charges sur les rails ; ce travail est présenté en section II.3.1. Dans la section suivante, on revient sur le couplage entre les deux sous-systèmes armement/structure d’assise du modèle et sur la détermination de la courbe maîtresse avec prise en compte des effets d’inertie dans la structure de voie.

Développement d’un module de post-traitement de ViscoRail

Comme évoqué en section II.2.4, les résultats de calculs effectués avec la première version de ViscoRail sont fournis, à un instant ? donné et pour un quelconque champ mécanique ?, sous la forme de profils longitudinaux (et/ou transversaux) à une cote transversale ? (et/ou longitudinale ?) et à une altitude ? données. L’évolution temporelle ?(?,?,?,?) de ce champ en un point d’observation donné {?;?;?} de la structure n’est donc pas directement accessible avec cette version. Des traitements supplémentaires sont alors nécessaires a posteriori afin de construire ces évolutions sur la base des réponses longitudinales ainsi calculées. Un module de post-processing a donc été développé et incorporé au code de calcul afin d’automatiser ces traitements supplémentaires. La procédure de post-traitement implémentée, basée sur certaines hypothèses du modèle de voie que l’on rappelle rapidement dans un premier temps, est présentée dans cette section.
Pour rappel, il est supposé d’une part que la voie ferroviaire considérée est parfaitement rectiligne et sans défaut (rails lisses, rigidité constante des ressorts assurant le contact rail/ballast, traverses de mêmes dimensions, couches homogènes, etc.). D’autre part, le chargement induit par le passage des roues sur les rails est modélisé par l’application de forces ponctuelles d’intensité constante ? se déplaçant à vitesse constante ?. En supposant que les charges se déplacent depuis une durée suffisamment longue sur les rails pour que le régime soit établi (cadre d’utilisation du code développé), ces deux hypothèses permettent d’affirmer que la distribution de charge à la surface de la structure d’assise ne dépend que de la position des roues sur les rails. Or, la voie présentant par ailleurs une périodicité spatiale dans la direction ? d’avancement des charges, la relation de correspondance (II.57), illustrée sur la FIGURE II.7, peut être établie entre les réponses longitudinales d’un champ mécanique quelconque ?(?,?,?,?) calculées à ? et ? donnés aux différents instants ? (ligne continue bleue) et ?+?? (ligne pointillée rouge) où les charges occupent respectivement des positions relatives ?? puis ??+?? similaires par rapport aux traverses.
?(?,?,?,?)=?(?+??,?,?,?+??) (II.57)

Réponse type d’une structure de référence

Définition du cas de référence : LGV type et ?=??? km.h-1

On considère une structure ferroviaire, correspondant globalement à une LGV type (cf. FIGURE II.2), composée de trois couches élastiques linéaires dont les caractéristiques mécaniques et géométriques sont données dans le TABLEAU III.1 où ?, ?, ? et ? désignent respectivement la masse volumique, le module d’Young, le coefficient de Poisson et l’épaisseur des couches. Le choix du module élastique de la couche de ballast a été effectué sur la base du logiciel ALIZE de dimensionnement des chaussées routières et permet d’éviter l’apparition des contraintes de traction dans les couches granulaires non cohésives. Ce choix est conforté plus loin au Chapitre V par modélisation par éléments discrets.
Le moment d’inertie ?? et le module d’Young ?? des rails sont respectivement fixés à 3×10−5 m4 et 210×103 MPa. La rigidité des ressorts modélisant le contact entre le rail et la surface de la structure est prise égale à ?=50 MN.m-1. L’empreinte des blochets (traverses bi-blocs) à la surface de la structure est ?=2?×2?=0.8×0.3 m2. La distance inter-rails est prise égale à ?????=1.5 m et l’entraxe de traverse à ?=0.6 m.
Le chargement considéré est celui d’un bogie se déplaçant à vitesse constante ?=270 km.h-1, dont les essieux sont espacés de ???????=3 m et dont chacune des quatre roues est représentée par une force ponctuelle verticale d’amplitude constante ?=80 kN sur les rails.
Les résultats de la réponse type présentés par la suite sont donnés pour les points situés sous l’axe du rail ?=0. D’autres simulations (non présentées dans ce mémoire) montrent en effet que les valeurs des grandeurs mécaniques auxquelles nous nous intéressons sont maximales sous cet axe (Chupin and Piau, 2011a). Les profils longitudinaux (i.e. selon la direction ? d’avancement des charges) sont établis aux trois cotes suivantes de la couche de ballast :
– en haut de couche de ballast : ?=0.05 m,
– à mi-hauteur : ?=0.15 m
– et en base de couche : ?=0.25 m.
et pour différents instants, correspondant aux positions ?? suivantes des deux essieux du bogie, qui occupent des positions relatives identiques par rapport à la trame de voie, compte tenu de la valeur de l’empattement exactement égale à cinq fois la distance inter-traverses :
– au droit de traverses : ??={0;3} m,
– sur le bord gauche de traverses : ??={0.15;3.15} m,
– entre traverses : ??={0.3;3.3} m
– et sur le bord droit de traverses : ??={0.45;3.45} m.

Courbe maîtresse et recomposition du chargement en surface du massif

La décomposition du chargement est effectuée sur la base de 42 ondes réparties sur l’ensemble des vitesses relatives ??=[−0.8;0.8]∪{1} (cf. section II.2.4). La courbe maîtresse (gaussienne) obtenue a pour coefficients ?=110 kPa et ?=1.03 m. Celle-ci est représentée sur la FIGURE III.2, qui reproduit également les profils de contrainte ??? recomposée (?(?,?)) par superposition des ondes de chargement (cf. section III.2.6) pour les deux positions de charge (a) ??=0 et (b) ??=0.3 m.
On peut constater que le chargement ferroviaire induit par le passage de la roue sur le rail est ainsi bien représenté. La distribution ??? est nulle entre traverses et quasi-constante sur traverse où elle est égale à la valeur de la courbe maîtresse. Ceci valide l’échantillonnage retenu pour le paramètre ?. Pour le cas ??=0, l’allure de la distribution est similaire à celle déterminée, en statique, par Selig and Waters (1994) pour une structure différente de la nôtre. Le nombre de traverses chargées est toutefois plus élevé dans notre étude (≈7) que dans celle présentée par ces auteurs (=5). Néanmoins, comme évoqué en section I.2.2, ce nombre peut varier en fonction des caractéristiques de la voie et du type de chargement considéré.
Lorsque l’on calcule la somme ? des valeurs (moyennes) de contrainte appliquée sous les blochets, celle-ci s’avère constante, quel que soit l’instant considéré (i.e. correspondant à une position d’essieu donnée) égale à: ?= ?????≈333 kPa (III.1)
avec ???? la contrainte verticale appliquée au centre du blochet ?∈{1;…;7}. Soit, multipliée par la surface d’un blochet ?=0.3×0.8 m2 : ?×?≈80 kN =?.
Concernant la répartition des forces sur blochets, on observe pour le cas de la FIGURE III.2a que la traverse centrale (?=0) reprend 32% de ?, ses premières voisines (?=±0.6 m) 24% et les suivantes (en ?=±1.2 m et ?=±1.8 m) respectivement 9% et 1%. Pour la FIGURE III.2b, les parts de ? reprises par les traverses situées de part et d’autre de l’essieu (en ?=0 et 0.6 m), leurs premières voisines (en ?=−0.6 et 1.2 m) et les suivantes (en ?=−1.2 et 1.8 m) sont respectivement de 30%, 16% et 4%. Ces ordres de grandeur sont en accord avec la littérature (cf. section I.2.2).

Table des matières

Introduction générale
Chapitre I Etude bibliographique – Intermède
I.1 Introduction
I.2 Généralités sur les LGV
I.2.1 Structure de la LGV
I.2.2 Sollicitations subies par la LGV
I.2.3 Dégradations de la LGV
I.2.4 Opérations de maintenance
I.3 Détérioration géométrique des couches de ballast pour LGV
I.3.1 Tassement du ballast
I.3.2 Approches expérimentales
I.3.3 Approches analytiques et numériques
I.4 Positionnement du travail de recherche par rapport à la bibliographie
Intermède
Chapitre II Mise au point d’un outil de calcul de la réponse réversible et dynamique de structures ferroviaires : ViscoRail
II.1 Introduction
II.2 ViscoRail : outil de calcul numérique de la réponse dynamique et réversible de structures ferroviaires
II.2.1 ViscoRoute© 2.0
II.2.2 Principe général de ViscoRail
II.2.3 Calcul de la distribution de contraintes à la surface de la structure d’assise
II.2.4 Procédure de calcul de la réponse dynamique de la structure de voie avec ViscoRoute© 2.0
II.2.5 Implémentation de la méthode dans un script de calcul
II.2.6 Approximations possibles du calcul des accélérations
II.3 Contribution apportée au développement de ViscoRail
II.3.1 Développement d’un module de post-traitement de ViscoRail
II.3.2 Traitement du couplage armement/structure de voie en dynamique sur la base d’une méthode de point fixe
II.4 Conclusion
Chapitre III Etude d’un cas de référence pour la validation de ViscoRail
III.1 Introduction
III.2 Réponse type d’une structure de référence
III.2.1 Définition du cas de référence : LGV type et ?=270 km.h-1
III.2.2 Courbe maîtresse et recomposition du chargement en surface du massif
III.2.3 Analyse de l’accélération verticale
III.2.4 Examen du champ de déflexion
III.2.5 Analyse de la contrainte verticale
III.2.6 Examen de la contribution des ondes dans la réponse dynamique
III.3 Validation numérique de ViscoRail
III.4 Justification de certaines hypothèses de modélisation
III.4.1 Modélisation du ballast : comparaison entre élasticité linéaire et élasticité non-linéaire (loi de Boyce)
III.4.2 Extension latérale de la couche de ballast
III.4.3 Examen de l’hypothèse de force d’intensité constante
III.5 Confrontation entre ViscoRail et mesures in situ
III.5.1 Site d’Ath, LGV Bruxelles-Paris, Belgique
III.5.2 Site de Cavaillon, LGV Lyon-Marseille, France (données SNCF)
III.6 Conclusion
Chapitre IV Application de ViscoRail à l’étude des désordres géométriques des couches de ballast – Recherche de dispositions constructives
IV.1 Introduction
IV.2 Influence de la vitesse de circulation sur ??
IV.3 Analyse de sensibilité de ?? aux paramètres de voie – Proposition de dispositions constructives
IV.3.1 Identification des paramètres de conception des LGV les plus influents sur ??
IV.3.2 Recherche de dispositions constructives visant à limiter ??
IV.4 Exemple de solution : insertion d’une couche sous ballast en grave-bitume
IV.5 Conclusion
Chapitre V Retour sur le comportement mécanique « réversible » du ballast – Modélisation et expérimentation
V.1 Introduction
V.2 Modélisation par éléments discrets des déformations d’un échantillon granulaire reposant sur support déformable
V.2.1 Protocole numérique adopté
V.2.2 Qualité numérique des calculs
V.2.3 Analyse qualitative des résultats de calculs
V.2.4 Identification d’un modèle de comportement homogénéisé
V.2.5 Identification et analyse de la loi de comportement homogénéisée des échantillons numériques
V.2.6 Conclusion
V.3 Essais triaxiaux sur éprouvettes de ballast reposant sur un élastomère
V.3.1 Dispositif expérimental
V.3.2 Confection des éprouvettes et conditionnement
V.3.3 Essais triaxiaux réalisés
V.3.4 Résultats des mesures brutes et démarche d’analyse adoptée
V.3.5 Difficultés rencontrées et synthèse des essais exploitables
V.3.6 Analyse des résultats exploitables
V.3.7 Conclusion
Chapitre VI Analyse limite et retour sur le rôle de l’accélération sur la stabilité du ballast
VI.1 Introduction
VI.2 Démarche générale de l’étude
VI.3 Famille de mécanismes de rupture virtuelles ℳ(Ω)
VI.4 Approximation par l’extérieur du problème ℘ en l’absence de forces d’inertie
VI.4.1 Calcul de l’intégrale ?
VI.4.2 Calcul de ??
VI.4.3 Majoration de la limite ???? des charges à l’essieu, potentiellement supportables
VI.4.4 Recherche numérique de la meilleure borne ???? sur l’ensemble des mécanismes ℳ(Ω) admissibles
VI.4.5 Application et discussion : cas sans force d’inertie
VI.5 Prise en compte d’un champ de forces d’inertie
VI.5.1 Cas d’un champ d’accélération ?⃗=??⃗ homogène
VI.5.2 Cas d’un champ d’accélération ?⃗ hétérogène (affine en ?)
VI.5.3 Calcul de ??(?)
VI.5.4 Valeur de la borne ??(?,?1,?) en présence du champ d’accélération affine ?
VI.5.5 Calcul du minimum ????? de la fonction ??(?,?1,?) sur l’ensemble des mécanismes ℳ(Ω)
VI.5.6 Application numérique : cas avec champ de forces d’inertie
VI.6 Conclusion
Conclusions générales de la thèse et proposition de piste de travail
Références bibliographiques
Annexes
A. ViscoRoute© 2.0
B. Simulations 2D par ED complémentaires

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