Mémoire présenté pour l’obtention du grade de Maitre en sciences mathématiques

Chapitre 1-Introduction générale
1.1 L’action de SL 2 (Z)
1.2 Loi de composition de Gauss
Chapitre 2 Lois de composition de Bhargava
2.1 Loi du cube
2.1.1 Cube et formes quadratiques
2.1.2 Action de SL 2 (Z) × SL 2 (Z) × SL 2 (Z)
2.1.3 Discriminant
2.1.4 Composition de Gauss revue
2.2 Lois de groupe
2.2.1 Groupe de classes de formes quadratiques
2.2.2 Groupe de classes de cubes
2.2.3 Composition des formes cubiques binaires
Chapitre 3 Groupe de classes et idéaux 25
3.1 Rappels sur le groupe de classes
3.2 Formes et idéaux
3.2.1 Fonction Trace
3.2.2 Classes d’anneaux quadratiques
3.2.3 Classes d’anneaux cubiques
3.2.4 Formes quadratiques binaires et id´ eaux
3.3 Cubes et idéaux
Chapitre 4 Paramétrisation via les anneaux résolvants
4.1 Théorie de Galois
4.2 Anneaux résolvants
4.2.1 Résolvante quadratique d’un anneau cubique
4.2.2 Résolvante cubique d’un anneau quartique
4.3 Anneaux quartiques et formes quadratiques ternaires
4.3.1 Invariant fondamental
4.3.2 Structure d’anneaux quartiques
4.3.3 Delone et Faddeev
4.3.4 Structure d’un anneau cubique
Chapitre 5 Autres résultats
Conclusion générale

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Lois de composition de Bhargava

Nous verrons ici qu’il existe un autre moyen de structurer les classes d’équivalence sous forme de groupe. En effet, grace aux travaux du math´ ematicien Manjul Bhargava, notamment dans [1], il nous est possible d’associer une forme quadratique a un cube de dimension 2 × 2 × 2 ou autrement dit, de relier l’espace des formes quadratiques ` a l’espace de ces memes cubes. Ainsi, Bhargava formula une loi encore plus generale que celle de Gauss au sens où elle donne naissance a d’autres lois de composition.

Loi du cube

Nous mettrons en relief dans cette section comment Bhargava reussit ` a extirper d’un cube 2 × 2 × 2 trois formes quadratiques. Nous enoncerons egalement une loi fondamentale, celle du cube, a partir de laquelle nous retrouverons implicitement la loi de composition de Gauss vue pr´ ec´ edemment. Il nous sera ainsi possible de relier l’espace des cubes et l’espace des formes quadratiques, mais voyons tout d’abord comment a l’aide de ce qu’il appelle les coupes fondamentales Bhargava genere ses trois formes.

Cube et formes quadratiques

Il s’agit tout d’abord de considerer un vecteur de l’espace tensoriel C 2 := Z 2 ⊗ Z 2 ⊗ Z 2 Chapitre 2. Lois de composition de Bhargava 8 comme un cube de dimension 2 × 2 × 2. En effet, puisque C 2 ’ Z 8 , nous avons que C 2 est un groupe ab´ elien libre de rang 8. Notons par {e 1 ,e 2 } la base standard de Z 2. Nous obtenons ainsi avec les propriees du produit tensoriel une base pour l’espace C 2 soit la base formee des vecteurs e i ⊗ e j ⊗ e k pour tout 1 ≤ i,j,k ≤ 2. La prochaine etape consiste a tisser le lien qui unit l’espace des cubes a celui des formes quadratiques. En fait, trois formes quadratiques peuvent etre induites d’un cube A ∈ C 2 . Pour ce faire, nous devons couper le cube selon trois plans distincts separant celui-ci en deux matrices 2 × 2 pour chaque coupe.

Lois de groupe

Groupe de classes de formes quadratiques

Outre cette identification, la loi du cube est a la base du regroupement des formes quadratiques sous une structure de groupe. D’une maniere analogue ` a celle de Gauss, Manjul Bhargava nous propose de regrouper les formes quadratiques selon des classes d’´ equivalence, sauf que dans le dernier cas, les classes seront construites ` a l’aide de l’action de SL 2 (Z) × SL 2 (Z) × SL 2 (Z) et de la loi du cube. Le theoreme qui suit a ete demontre par Bhargava et met en ´ evidence l’existence d’une loi de groupe sur l’ensemble des classes de formes quadratiques. Notons par [Q i ] la classe d’´ equivalence de la forme quadratique Q i pour i = 1,2,3. Th´ eor` eme 1.1. Soit D ∈ Z tel que D ≡ 0,1 (mod 4) et soit Q id,D n’importe quelle forme quadratique primitive de discriminant D telle qu’il existe un cube A 0 avec Chapitre 2. Lois de composition de Bhargava 18 Q A 0 1= Q A 0 2 = Q A 0 3= Q id,D . Alors, il existe une loi de groupe sur l’ensemble des classes de formes quadratiques primitives SL 2 (Z)-equivalentes de discriminant D telle que : (1) [Q id,D ] est l’element neutre additif de ce groupe.

Groupe de classes et ideaux

Rappels sur le groupe de classes

Lorsqu’un anneau commutatif unitaire A est contenu dans un corps K, il n’est pas toujours vrai que A soit un domaine a ideaux principaux. Plus concretement, ou plutot dans le cas qui nous interesse, nous prendrons comme anneau A l’anneau des entiers alg´ ebriques d’un corps de nombres et nous verrons que celui-ci n’est pas toujours un anneau a ideaux principaux.

Cependant, il nous est possible de prendre une mesure de l’eloignement de ce meme anneau par rapport aux domaines a ideaux principaux. De mesurer, en quelque sorte, a quel point A s’eloigne de cette propriete. Cette mesure est donn´ ee, comme nous le constaterons, par le nombre de classes, c’est-a dire par la cardinalite du groupe de classes des id´ eaux fractionnaires de A. D´ebutons par de brefs rappels et constatations sur le groupe de classes d’un corps de nombres (voir [8] pour plus amples details).

D´efinition. Soit A un anneau commutatif unitaire sans diviseur de 0 (un domaine d’integrite) et K son corps de quotients. Un A-module M contenu dans K est un id´ eal fractionnaire de A s’il existe un a ∈ A non nul tel que aM ⊆ A. On remarque qu’en prenant a = 1 dans la definition precedente nous obtenons que tous les ideaux de A, au sens usuel, sont fractionnaires et ceux-ci sont appel´ es id´ eaux entiers.

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