Résolution d’équations aux dérivées partielles sur des maillages hexagonaux

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Discrétisation de la variable spatiale par une méthode de Galerkin discontinue

Dans ces travaux, la discrétisation spatiale s’effectue grâce à une méthode de Galerkin discontinue. Historiquement, cette méthode fut introduite par Reed et Hill dans [86] pour résoudre l’équation de transport de neutrons stationnaire sur des maillages triangulaires. Des travaux successifs sur l’analyse de convergence ont découlé de cette méthode, notamment par Lesaint et Raviart dans [67, 68] et par la suite par Johnson et Pitkäranta dans [59]. Ces derniers ont amélioré les résultats sur l’erreur d’estimation trouvés par Lesaint et Raviart en précisant que les ordres de convergence sont de k + 1 en norme L2 pour une triangulation 2 quelconque dans le cas où une base polynomiale d’ordre k est utilisée pour approximer une fonction régulière. Pour des rectangles [68] ou des maillages triangulaires particuliers [89], l’ordre de convergence est de k + 1. Les méthodes DG ont été intensivement étudiées dans la littérature et appliquées pour différentes EDP. En particulier, nous pouvons citer les travaux de Cockburn, Karniadakis et Shu dans [22] pour le développement de méthodes DG pour des équations de convection-diffusion. Les travaux de Ern et Guermond dans [34–36] ont également contribué à l’analyse de méthodes DG pour des systèmes de Friedrichs que ce soit pour des EDP hyperboliques ou elliptiques.
Le principal attrait pour les méthodes DG est l’absence d’hypothèse de continuité entre deux mailles. Ainsi, des modifications locales sont possibles facilitant alors la mise en place de méthodes de raffinement en espace [41]. Aussi, en fonction du choix du schéma numérique utilisé, il est possible de ne pas avoir à assembler une matrice globale. C’est notamment le cas du schéma amont [15, 32] qui conduit à la résolution de problèmes locaux pour le cas de l’équation de transport, i.e maille par maille. Dans notre situation, l’équation de transport Sn-multigroupe doit être résolue pour chaque groupe d’énergie et pour chaque direction. Par conséquent, résoudre des problèmes locaux sans la construction d’une matrice globale permet alors la réduction de temps de calcul et est propice au développement de méthodes de calcul parallèle. Cette démarche est en adéquation avec l’objectif de trouver le meilleur compromis précision/temps de calcul.

Exemples de bases d’éléments finis pour des polygones

Pour développer des bases d’éléments finis sur des polygones, l’un des moyens est d’utiliser la classe des fonctions coordonnées barycentriques généralisées. Historiquement, pour le triangle ou pour le parallélogramme, les coordonnées barycentriques ont servi de bases d’éléments finis d’ordre 1. Pour un polygone quelconque avec m côtés, m ≥ 4, ces fonctions s’appellent coordonnées barycentriques généralisées et sont plus “complexes” à développer. Ainsi, au cours des dernières années, des travaux ont été réalisés pour générer des fonctions coordonnées barycentriques généralisées [38] dans l’objectif de développer des bases d’éléments finis. La section suivante en donne quelques exemples.

Quelques exemples de coordonnées barycentriques généralisées

Soit κ ∈ R2, un polygone avec m côtés que l’on peut noter m-gone. On note (ai)(1≤i≤m), (m ≥ 3) ses sommets. Les fonctions (νi)1≤i≤m sont appelées coordonnées barycentriques généralisées si elles vérifient les propriétés suivantes : m m ∀i ∈ [[1; m]], ∑νi(⃗r) = 1, ∑νi(⃗r)ai =⃗r (1.42)
Ainsi, les fonctions coordonnées barycentriques généralisées sont des fonctions d’ordre 1. Celles-ci permettent d’effectuer une interpolation pour approcher la valeur d’une fonction f en tout point de κ. En effet, si⃗r est un point à l’intérieur de κ, la valeur d’une fonction f n peut être évaluée de la manière suivante : f (⃗r) = ∑ νi(⃗r) f (ai) i=1
Quelques remarques importantes peuvent être ajoutées :
— Wachspress dans [103] a prouvé qu’il est impossible de trouver des fonctions coor-données barycentriques généralisées polynomiales pour un polygone convexe avec m ≥ 4 côtés (à part le cas du parallélogramme). Par conséquent, il n’existe pas de base nodale polynomiale pour les polygones et une preuve est donnée dans Appendix 1.
— Ces fonctions coordonnées barycentriques généralisées ne sont plus uniques pour m ≥ 4.
De par la non unicité des fonctions coordonnées barycentriques généralisées pour des polygones avec m ≥ 4 côtés, quelques exmples sont donnés ici.

Développement de bases d’éléments finis sur des polygones convexes

Dans l’optique de résoudre l’équation de transport sur des maillages hexagonaux, des bases d’éléments finis ont été développées, plus particulièrement, des bases nodales de fonction de Wachspress et des bases modales de monômes orthogonalisées. L’objectif étant de les comparer numériquement au travers d’erreurs d’approximation.
Pour la base de fonctions de Wachspress, celles-ci permettent de construire des éléments finis de Lagrange pour un polygone convexe κ avec m côtés. Elles sont en particulier C∞ sur κ et définissent une base de fonction C0 sur tout le domaine D. De plus, pour des bases de Wachspress d’ordre k, k < m, les degrés de libertés (i.e. les nœuds) se situent essentiellement sur le bord de κ. Ainsi, les fonctions de base peuvent être assimilées à des fonctions de Sérendip [51]. Le développement de ces fonctions de Wachspress est le point central de ce chapitre car cette partie a nécessité la conception d’une nouvelle méthode. Ce travail a par la suite été valorisée dans une publication pour le “Journal of Computational Physics” [62].
À partir des résultats de Wachspress [103], Gout décrit des bases d’éléments finis ration-nelles pour différents polygones. Gout a notamment proposé différentes bases de Wachspress pour les quadrangles, pentagones et hexagones pour certains ordres, en particulier jusqu’à l’ordre 3 pour l’hexagone. Bien que des preuves rigoureuses aient été fournies a posteriori
pour vérifier que ces fonctions forment des bases d’éléments finis, aucune méthode n’est fournie pour construire de telles bases à un ordre supérieur ou sur un polygone différent.
Ainsi, ce chapitre étend les travaux de Gout et de Wachspress en proposant une méthode originale pour calculer des bases de Wachspress sur tout type de polygones convexes (avec m côtés) pour tout ordre k < m à partir des propriétés qu’elles doivent vérifier (i.e. s’assurer que ces bases de fonctions forment un élément fini de Lagrange). Cette méthode de génération de bases a ensuite été appliquée à deux polygones convexes : l’hexagone régulier et un pentagone irrégulier. Pour l’hexagone régulier, des bases de Wachspress ont été obtenues jusqu’à l’ordre 5 et jusqu’à l’ordre 4 pour le pentagone irrégulier.
Concernant les bases modales de monômes orthogonalisées, ces dernières sont couram-ment utilisées dans le cadre DG [57, 87]. Cependant, elles ne peuvent être appliquées pour la méthode des éléments finis continus. En effet, la continuité aux interfaces entre les mailles n’est pas vérifiée. Ici, nous présenterons l’implémentation et le processus d’orthogonalisation de ces bases pour un hexagone.

Forme générale des fonctions rationnelles de Wachspress sur des polygones convexes à un ordre k < m

Pour former des éléments finis C0 sur un domaine D, Wachspress dans [103] décrit les propriétés que doivent vérifier les fonctions de base. Elles peuvent être brièvement résumées comme suit :
— Chaque fonction de base est associée à un nœud du polygone.
— Ces fonctions sont normalisées pour ce nœud, i.e. égales à 1.
— Chaque fonction s’annule sur les côtés qui n’intersectent pas ce nœud.
Lorsque l’ordre augmente, les fonctions de bases vont nécessiter des nœuds supplémen-taires (autres que les sommets du polygone). Dans le contexte des éléments de Sérendip, ces nœuds sont placés sur le bord du polygone. C’est-à-dire que pour une fonction donnée, celle-ci doit s’annuler sur tous les nœuds hormis celui sur lequel elle est “ancrée”, nous reviendrons sur cette notion par la suite. Il est important de noter qu’en ne considérant exclusivement les nœuds sur les bords du polygone, cette approche se limite à un ordre k tel que k < m. En effet, comme l’a démontré Wachspress [103], pour les ordres supérieurs, des points intérieurs sont nécessaires pour définir les bases associées. Un exemple de preuve est fournie Annexe 2. Dans ces travaux, nous ne considérons que le cas k < m. Cela se justifie par notre application, c’est-à-dire la résolution de l’équation de transport sur des maillages hexagonaux réguliers. Dans ce cadre, afin d’améliorer le rapport temps de calcul et précision, il est probablement peu intéressant de monter au-delà de l’ordre 5, et si tel était le cas, il faudrait plutôt recourir à un raffinement de l’hexagone en triangles ou losanges. Précisons que pour l’ordre 5, l’espace d’approximation contient trente fonctions de base.

Extension des travaux de Gout à des ordres élevés Notations

Pour présenter notre méthode, nous changeons les notations introduites par Gout pour faciliter l’écriture des fonctions de Wachspress. Nous désignons par κ un polygone strictement convexe de m côtés avec les sommets : {ai}i∈[[1;m]], tels que ai et ai+1 soient consécutifs. 3 Les coordonnées de ai dans le plan x −y sont notées (xi,yi).

Pour un ordre k donné, nous désignons également les nœuds équidistants sur l’arête [ai,ai+1] par ai j j [[1;k 1]] avec ai j = 1 ((k − j)ai + jai+1). Les coordonnées de ai j dans le plan x −y k ∈ − sont notées xi j ,yi j . Ces nœuds constituent les “points d’ancrage” des fonctions de bases pour le côté compris entre ai et ai+1.

Aussi, l’équation de la droite di passant par ai−1 et ai est donnée par li = 0 et B = {bi}i∈[[1;m]], est l’ensemble des différents points d’intersection des droites {di}i∈[[1;m]].

L’exemple de l’hexagone régulier (m = 6) à l’ordre k = 3 est représenté sur la Figure 2.3.

Une méthode de génération de bases de fonctions ration-nelles

Nous considérons ici que l’adjoint q est connu (par la méthode de Dasgupta par exemple [28]), nous allons alors calculer le numérateur des fonctions de Wachspress, plus particulière-ment les fonctions polynomiales ri et ri j à des ordres k, tels que 1 < k < m.

Principe général

Cette approche consiste à utiliser le calcul symbolique pour implémenter les équations que doivent vérifier les fonctions de Wachspress. Plus particulièrement, les contraintes suivantes doivent être vérifiées :

— Contraintes géométriques (avec δi, j, le symbole de Kronecker) :

∀i,l ∈ [[1; m]], wi(al ) = δi,l(2.7)

∀l ∈ {i,i −1},∀ j ∈ [[1; k −1]], wi(al j ) = 0

∀i,l ∈ [[1; m]],∀ j ∈ [[1; k −1]],wi j (al ) = 0

∀i ∈ [[1; m]],∀ j, p ∈ [[1; k −1]],wi j (aip ) = δj,p

Transformation homothétique de la solution obtenue

Pour pouvoir calculer les fonctions de base pour un polygone convexe à une échelle quelconque, une transformation homothétique est réalisée. Pour cela, notons (x,y) les co-ordonnées associées au polygone κ. Pour obtenir ses coordonnées à une échelle différente, l’appplication linéaire suivante est définie : x lxx et y lyy. Cela permet de générer le nou-veau système de coordonnées : (X,Y ) = (lxx,lyy) associé au polygone κ˜ homothétique à κ. Détaillons ce processus pour une fonction polynomiale r avec pour coordonnées (x,y) ∈ κ : r(x,y) = ∑c fixαi yβi (2.17)

Pour calculer cette fonction de base sur κ˜, nous introduisons la fonction R. Cette fonction se déduit de r en utilisant le nouveau système de coordonnées (X,Y ) = (lxx,lyy) : R(X,Y) = ∑ c fi XαiY βi (2.18)

Par conséquent, si les bases de la fonction de Wachspress ont été calculées par notre méthode pour un κ donné, elles peuvent être déduites par cette transformation linéaire pour n’importe quelle polygone homothétique à κ. En particulier, dans le cadre d’un maillage hexagonal régulier, cela signifie que le calcul des fonctions de Wachspress peut être effectué une seule fois.

Comme discuté et illustré plus en détail dans la section 3, l’utilisation de cette transformation présente également un avantage en termes de stabilité numérique et de précision.

Détails d’implémentation

Le code pour générer les bases Wachspress est open source et peut être trouvé ici : https: //github.com/Dalab25/genWachspressBasisForPolygons. La bibliothèque symbolique Python, sympy [74], a été utilisée 6. Ainsi, le système d’inconnues i.e. les coefficients des polynômes 2D ri et ri j sont formellement représentés comme des objets Symbol et contenus dans un vecteur ⃗x. Toutes les équations algébriques introduites dans la section 2 sont implémentées à l’aide de sympy afin d’établir le système linéaire. À cette fin, les fonctionnalités suivantes de sympy sont principalement utilisées :

— sympy.Add.make_args est utilisé pour stocker tous les termes devant les monômes dans un dict Python.

— sympy.expand est utile pour simplifier une expression, par exemple dans notre cas d’utilisation, il développe les polynômes factorisés en une somme de monômes.

— sympy.Poly transforme les objets sympy en un objet sympy.poly, d’où nous pou-vons extraire les différents monômes.

— sympy.fraction renvoie le numérateur et le dénominateur d’une expression ration-nelle.

Le pseudo-code Python dans Figure 2.4 est un extrait du script qui a été utilisé pour générer les coefficients. Celui-ci représente une implémentation de l’algorithme 4. Dans ce cadre, la fonction getExpr renvoie une expression formelle correspondant à la projection d’un monôme dans la base des fonctions de Wachspress. Cette projection s’effectue à l’aide des variables symboliques x et y. La fonction getDictFromExpr est la fonction pour transformer une expression sympy en un objet dictionnaire dict Python que nous pouvons ensuite manipuler pour construire le système linéaire. Les lignes 22 à 27 du code correspondent à des manipulations algébriques pour extraire les matrices associées aux variables dépendantes et indépendantes ainsi que les éléments correspondants réordonnés dans le vecteur⃗ . Cela b permet alors de résoudre Equation (2.15) en fixant les variables indépendantes pour en déduire les variables dépendantes et donc obtenir les coefficients des fonctions ri,ri j .

Le processus de calcul de la matrice rref nécessite des précautions car des problèmes numériques peuvent appaître à cause de l’opération de pivotement. En effet, cette opération est basée sur une tolérance qui modifie le rang de la matrice rref en fonction de sa valeur [44]. Dans un premier temps, la méthode sympy Matrix.rref() a été utilisée à cet effet mais des problèmes numériques sont survenus en raison du manque de contrôle de la tolérance ; pour surmonter ce problème, une méthode inspirée de [93] a été utilisée.

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Table des matières

Liste des tableaux
Introduction
1 Contexte
1 Rappels de neutronique
1.1 L’équation de transport des neutrons
1.2 Discrétisation énergétique
1.3 Modélisation de la section efficace de diffusion
1.4 Discrétisation angulaire
1.5 Discrétisation de la variable spatiale par une méthode de Galerkin discontinue
1.6 Algorithme de résolution de l’équation de transport
2 Exemples de bases d’éléments finis pour des polygones
2.1 Quelques exemples de coordonnées barycentriques généralisées
3 Synthèse
2 Développement de bases d’éléments finis sur des polygones convexes
1 Forme générale des fonctions rationnelles de Wachspress
1.1 Des premiers travaux réalisés par Gout
1.2 Extension des travaux de Gout à des ordres élevés
2 Une méthode de génération de bases de fonctions rationnelles
2.1 Principe général
2.2 Remarques sur le système linéaire
2.3 Transformation homothétique de la solution obtenue
2.4 Détails d’implémentation
3 Applications de l’algorithme de construction de base
3.1 Application à un hexagone régulier
3.2 Application au pentagone irrégulier
4 Développement de la base de monômes orthogonalisée
5 Conclusion et perspectives
3 Résolution d’équations aux dérivées partielles sur des maillages hexagonaux
1 Intégration numérique sur l’hexagone régulier
1.1 Partitionnement et transformation de Duffy
1.2 Intégration de fonctions sur le bord des hexagones
1.3 Vérifications numériques
2 Vérification des ordres de convergence et premières comparaisons
2.1 Principe général
2.2 Premières vérifications avec l’équation de Poisson
2.3 Une deuxième vérification et des premières comparaisons pour la résolution de l’équation de transport
3 Résultats numériques sur deux benchmarks numériques
3.1 Application à un benchmark monogroupe
3.2 Application à un benchmark à quatre groupes d’énergie
4 Conclusion et perspectives
4 Extension des bases hexagonales 2D à la 3D
1 Bases d’éléments finis 3D à l’aide du produit tensoriel
2 Une composition originale de bases d’éléments finis
2.1 Une base polynomiale hiérarchique
2.2 Génération d’une base d’éléments finis 3D à partir d’une somme de produits tensoriels entre Wk et V˜ n−k . .
3 Synthèse
5 Résolution de l’équation de transport en 3D
1 Vérification des bases d’éléments finis 3D avec les MMS
1.1 Solutions dans l’espace d’approximation
1.2 Solution ψm ∈ C ∞(K),ψm ̸∈ P
2 Résultats numériques sur un cas réacteur
2.1 Description du benchmark
2.2 Résultats numériques
3 Conclusion et perspectives
Conclusions et perspectives
Bibliographie