Résolution de l'équation de Van-Der-Pol par la transformation de Laplace

Résolution de l’équation de Van-Der-Pol par la transformation de Laplace

Résultats préliminaires et matériaux

Préliminaires Dans ce chapitre nous rappelons quelques définitions et résultats sur les équations différentielles ordinaires : existence, unicité des solutions, notions de stabilité et perturbation. 2 Equations différentielles ordinaires Définition 2.1 Soient U un ouvert de R × R n et f : U −→ R d une fonction continue,une équation différentielle ordinaire sur U est une relation du type : x 0 (t) = f(t, x(t)) que l’on note : x 0 = f(t, x) (1, 1) où x 0 = dx dt . Définition 2.2 [2] Soit x une fonction d’une partie de R dans R d . 1. La fonction x est dite solution de l’équation (1.1) sur l’intervalle I ⊂ R si elle est définie et continûment dérivable sur I, si (t, x(t)) ∈ U pour tout t ∈ I, et si x satisfait la relation (1.1) sur I. 2. Soit (t0, x0) ∈ U donnée. La fonction x est dite solution du problème à valeur initiale associée à l’équation (1.1) s’il existe un intervalle I contenant t0 tel que x soit solution de l’équation (1.1) sur I et vérifie x(t0) = x0. 7 Chapitre I. Résultats préliminaires et matériaux Remarque 2.1 Pour (t0, x0) ∈ U donné, un problème à valeur initiale associée à l’équation (1.1) est généralement exprimée sous l’écriture suivante: x 0 = f(t, x) , x(t0) = x0 (1.2) Remarque 2.2 Une solution de (1.2) est également dite solution de l’équation (1.1) à valeur initiale x0 à l’instant t0. Définition 2.3 [24] Pour (t0, x0) ∈ U donnée, une solution du problème (1.2) est dite unique si elle coïncide avec toute autre solution partout où elles sont toutes les deux définies. Remarque 2.3 Si le problème (1.2) admet une solution unique, celle-ci est notée par x = x(., t0, x0) Remarque 2.4 Pour tout (t0, x0) ∈ U, le problème (1.2) est équivalent à l’équation intégrale x(t) = x0 + Z t t0 f(s, x(s))ds (1.3) 3 Existence et unicité des solutions Nous rappelons, dans ce paragraphe, quelques résultats de base sur l’existence et l’unicité des solutions de l’équation (1.1). Théorème 3.1 [53] (Existence) Soient U un ouvert de R×R d et f : U −→ R d une fonction continue.Pour tout (t0, x0) ∈ U le problème (1.2) admet au moins une solution locale . Définition 3.1 Soient Uun ouvert de R × R d et f : U −→ R d une fonction continue on dit que f = f(t, x) est localement Lipschitzienne en x si pour tout fermé et borné (i.e. compact) K dans U, il existe une constante L > 0 telle que : |f(t, x1) − f(t, x2)| ≤ L|x1 − x2| pour tout (t, x1) et (t, x2) dans K. Théorème 3.2 [1] Supposons que f soit continue, bornée et Lipschitzienne par rapport à x, dans [t − 2s, t + 2s] × B¯(x, 2R) pour s > 0 et R > 0. Alors il existe s0 ∈ ]0, s], tel que pour tout (t0, x0) ∈ [t − s, t + s] × B¯(x, R) la solution maximale du problème (1.2) soit définie sur un intervalle contenant [t0 − s0, t0 + s0]. 8 I.3 Existence et unicité des solutions Preuve 3.1 La méthode suivie permet de construire une solution dans l’intervalle [t0 − s0, t0 + s0] qui soit à valeurs dans B¯(x0, R), donc à valeurs dans B¯(x, 2R) x0 = x(t0) xn+1(t) = x0 + Z t t0 f(s0, xn(s0))ds0 comme f est bornée on a : kxn+1(t) − x0k ≤ Z t t0 kf(s0, xn(s0))kds0 ≤ (t+ − t0)M si on suppose que (t+ − t0)M ≤ R alors xn+1 est aussi à valeurs dans B¯(x0, R) comme f est Lipscitzienne, on aura : kxn+1(t) − xn(t)k ≤ Z t t0 kf(s0, xn(s0)) − f(s0, xn−1(s0))kds0 ≤ (t+ − t0)L sup [t0,t+] kxn+1 − xnk donc, si par exemple t+ est tel que (t+ − t0)L ≤ 1 2 et donc la suite xn est de Cauchy pour tout s0 > 0 et inférieur à min(s, R M , 1 2L ) Théorème 3.3 [1] (Unicité) Soient U un ouvert de R × R d et f : U −→ R d une fonction continue et localement Lipschitzienne en x, alors pour tout (t0, x0) ∈ U, le problème (1.2) admet une solution maximale unique. Preuve 3.2 On considère l’intervalle [t0, t+] avec t+ = t0 + s > t0 le cas de l’intervalle [t0 − s, t0] s’en déduisant par un changement de variable de la forme t −→ α(t0 − t). La démonstration du théorème se fait en quatre étapes, la première consiste à choisir ce qu’on appelle parfois un cylindre de sécurité C(t0, R) = [t0, t+] × B¯(x0, R) ∈ R × R d avec t+ > t0 > s et B¯(x0, R) est la boule fermée de centre x0 et de rayon R, dans lequel f est bornée, disons par une constante M telle que : kf(t, x)k ≤ M quel que soit (t, x) ∈ [t0, t+] × B¯(x0, R)

Systèmes dynamiques

La théorie des systèmes dynamiques est utilisée pour étudier les systèmes physiques qui évoluent au cours du temps. On suppose que l’état d’un système dynamique peut être représenté par un élément x d’un espace d’état X. L’espace X est de dimension finie (un ouvert de R n ou plus généralement une variété différentiable). L’évolution du système dynamique est décrite par une équation différentielle ordinaire sur X, qu’on écrira sous la forme: x 0 = f(x), où f : X −→ R n est une fonction. L’équation x 0 = f(x) définit en fait un champ de vecteurs sur X. L’image d’une solution est appelée une orbite. Une orbite est tangente en chacun de ses points au champ de vecteurs f. Le domaine X est appelé l’espace des phases.La théorie des systèmes dynamiques a son origine dans les travaux de Poincarè [2], à la fin du 19 eme ` siècle où il a proposé, au lieu de s’intéresser à une solution particulière du système,d’utiliser des arguments topologiques ou géométriques pour déterminer les propriétés de l’ensemble de toutes les solutions, considérées comme orbites (ou trajectoires) dans l’espace des états. Par la suite, dans les années 1920 avec les travaux de Birkhoff[2] et d’autres, s’est dégagée la notion de système dynamique abstrait, de flot, d’ensembles invariants, etc…

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Table des matières

Introduction
I Résultats préliminaires et matériaux
1 Préliminaires
2 Equations différentielles ordinaires
3 Existence et unicité des solutions
4 Notions de stabilité
5 Les inégalités de Gronwall
6 Systèmes dynamiques .
7 Flot d’un système dynamique
8 Perturbations
8.1 Perturbation régulière et perturbation singulière
8.2 Développement de la théorie des perturbations singulières
II Perturbation d’un système linéaire différentiel
1 Introduction
2 Petites perturbations linéaires régulières
2.1 Rappels sur la classification, modulo le groupe affine des systèmes
différentiels linéaires de R
3 Perturbations linéaires régulières lorsque le lieu singulier est un point
4 Perturbations linéaires régulières dans le cas où le lieu singulier est une droite
Table des Matières
III REGIONALISATIONS
1 Observations
2 Exemples de régionalisations dans R
3 La relation formelle
4 Exemples dans R
5 Régionalisation angulaire
IV Résolution de l’équation de Van-Der-Pol par la transformation de Laplace
1 Introduction
2 Transformation de Laplace
2.1 Définition et propriétés
3 Application
V Etude de l’équation d’ordre
1 Introduction
2 Solutions convergentes
3 Le cas où H est contractante
4 Exemples
Bibliographie