Représentation des semi-groupes de Feynman-Kac

Représentation des semi-groupes de Feynman-Kac

Le but de l’article [83] était de fournir un nouveau critère pour garantir l’existence d’une inégalité de Sobolev logarithmique et estimer la constante optimale. L’idée générale était alors, en utilisant relations d’entrelacement et transformations de Doob, de démontrer dans un cadre plus général des estimations sur le gradient des semigroupes, de même nature que celles du Lemme 1.2.7, permettant de généraliser le critère de courbure-dimension (Proposition 1.2.17). Deux éléments sont alors nécessaires à l’établissement de ces estimations : la représentation probabiliste des semi-groupes de Feynman-Kac, qui permet l’introduction d’une fonction de perturbation via le théorème de Girsanov, et une notion adéquate de courbure, qui généralise celle de Bakry-Émery. Nous commencerons cette section par des rappels de calcul stochastique, suivis d’une heuristique unidimensionnelle, qui permettra d’établir un lien avec Bakry-Émery à moindre frais techniques, puis énoncerons et prouverons le théorème de représentation, avant d’établir les estimations de gradient attendues.

Éléments de calcul stochastique

Le théorème de représentation au cœur de ce chapitre est basé sur le théorème de Girsanov, qui sera rappelé en temps utile. On notera dans la suite (Bt)t≥0 le mouvement brownien standard sur Rd , dont on pourra trouver une description par exemple dans [73] (ainsi que de nombreuses informations complémentaires). Il permet de définir les équations différentielles stochastiques mentionnées dans l’introduction :

dYt = f(Yt)dt + g(Yt)dBt,

Heuristique scalaire
Cette heuristique correspond en fait au contexte initial dans lequel Mark Kac a établi sa célèbre formule [53] (inspirée par l’étude des opérateurs de Schrödinger par Richard Feynman). Parfois énoncée dans le cadre des équations différentielles rétrogrades (« backward » en anglais, avec une flèche du temps inversée, cadre qui ne nous intéresse pas ici), elle s’énonce simplement pour des équations antérogrades (« forward » en anglais).

Approche perturbative

L’idée de cette dernière section est d’introduire la fonction de perturbation qui permettra de généraliser les estimations spectrales de J Xt(JX t)T . L’intérêt de la représentation des semi-groupes de Feynman-Kac est de rendre possible, via le théorème de Girsanov et les h-transformations, l’introduction de nombreux degrés de libertés dans l’amélioration des inégalités. D’un point de vue probabiliste, h transformation et théorème de Girsanov sont deux faces d’une même pièce. On parlera d’ailleurs volontiers de « perturbation » dans ces deux cas. Nous commençons donc par introduire un processus perturbé et les objets stochastiques afférents.

Fonctions monotones

Outre le fait qu’il n’existe pas de définition canonique des fonctions monotones en dimension supérieure à un, le choix de la restriction à ce domaine en particulier peut sembler incongru. Il est inspiré par l’article de Miclo [62], où il établit en dimension un que la constante de Sobolev logarithmique est atteinte sur l’espace des fonction monotones (en d’autres termes, il existe des fonctions monotones pour lesquelles l’inégalité de Sobolev logarithmique est une égalité). Il n’est au demeurant pas possible d’obtenir un résultat analogue en dimension quelconque (du fait de la multiplicité des notions de monotonie dans ce cadre), mais l’étude de cette restriction apporte une précision intéressante au résultat précédent.

Perspectives

Outre l’aspect optimisation, dont on a déjà mentionné qu’il améliorerait la portée du résultat s’il était plus développé, les inégalités de Sobolev logarithmiques sont connues pour leur relation avec les inégalités de concentration. Brièvement, une mesure µ satisfait une inégalité de concentration à vitesse α s’il existe une constante c > 0 telle que pour toute fonction F : Rd → R lipschitzienne, pour toute médiane m de F et pour tout r ≥ 0,

P(F(X) > m + r) ≤ e−α(r)/c , X ∼ µ.

Cette propriété, de nature en fait très géométrique, décrit la façon dont µ concentre la masse dans l’espace. Elle a trait en dimension 1 à la queue des distributions. L’enjeu des inégalités de concentration est de déterminer la fonction α optimale, celle qui donnera la meilleure décroissance en r à l’infini. Plusieurs cas particuliers ont été étudiés, notamment la concentration exponentielle (α = | · |), mais c’est la concentration gaussienne (α = | · |2 ) qui est la plus recherchée. L’argument de Herbst présenté en introduction indique que toute mesure qui satisfait une inégalité de Sobolev logarithmique satisfait également une inégalité de concentration gaussienne. Explorer les liens entre ce domaine et les résultats présentés ici constituerait alors certainement un travail intéressant. Pour plus d’informations sur les inégalités de concentration, la monographie de Michel Ledoux [59] reste une référence, et les liens évoqués sont aussi présentés dans [8].

Une autre famille d’inégalités présente un fort lien avec les techniques évoquées ici : les inégalités de covariance. Ce nom assez générique désigne le fait de pouvoir contrôler la covariance de deux fonctions par deux termes distincts qui les séparent. Autrement dit, trouver deux fonctionnelles F et G telles que pour toutes fonctions f , g: Rd → R assez régulières et X ∼ µ, on a

Cov(f(X), g(X)) ≤ F(f)G(g).

Ces fonctionnelles peuvent être de nature assez diverses, voir par exemple [3, 16]. Dans l’article [3], les auteurs utilisent des techniques de Feynman-Kac pour obtenir de telles inégalités, techniques qui pourraient être revues à la lumière des présents travaux. De plus, les inégalités de covariance sont liées à de très nombreuses autres inégalités, comme la conjecture de corrélation gaussienne [12] ou les inégalités de concentration [16], et constituent en elles-mêmes un sujet d’étude intéressant. Enfin, une approche numérique s’inspirant de celle développée en fin de thèse pourrait être instructive, bien qu’applicable essentiellement en petite dimension. Cela reste néanmoins pertinent dans certaines situations, notamment en statistiques, comme le suggère le dernier chapitre pour les inégalités de Poincaré.

Une approche algébrique et géométrique à l’étude spectrale des générateurs

Réalisé en collaboration avec A. Joulin et M. Bonnefont (et objet d’un travail en cours de rédaction), on approfondit la réflexion sur l’analyse spectrale de l’opérateur L amorcée dans l’introduction (voir par exemple la Proposition 1.2.3). Plus précisément, on forme l’observation suivante. Étant donné un potentiel V, la condition de courbure-dimension revient à comparer la hessienne de V avec la matrice identité. Or, la matrice identité est elle-même la hessienne du potentiel gaussien (x 7→ |x| 2/2), la condition précitée peut donc être vue comme une comparaison des potentiels via les hessiennes. On sait de plus que le spectre de l’opérateur d’Ornstein-Uhlenbeck est discret, et on peut montrer que, sous la condition de courbure dimension, le spectre de L l’est aussi. Partant, il est raisonnable de se demander si la comparaison des potentiels peut se transposer aux spectres respectifs. En d’autres termes, si L satisfait CD(ρ, ∞) pour ρ > 0, peut-on obtenir une inégalité sur les valeurs propres du type :

λk(−L) ≥ ρλk(−LOU),

pour tout k ∈ N?
La pertinence de cette question tient dans le fait que le terme de droite de l’inégalité précédente est toujours explicite. En effet, parmi les nombreuses manifestations du miracle gaussien, il apparaît que le spectre de LOU est explicite et peut-être complètement décrit, multiplicités comprises. Il est alors naturel de se demander si ces informations peuvent être préservées via la comparaison des potentiels. Cette question peut être posée dans un contexte plus général, où l’on compare un opérateur de diffusion sur une variété riemannienne quelconque à la loi gaussienne sur l’espace euclidien. C’est en ces termes qu’Emanuel Milman a énoncé la question dans [63]. A priori fausse en toute généralité (l’auteur donne comme contre-exemple dans ce sens celui de la d-sphère normalisée), il parvient à y répondre par l’affirmative dans le cas euclidien. Il obtient le résultat suivant.

Théorème (Milman ’18). Supposons que ∇2V ≥ ρId pour un certain ρ > 0. Alors pour tout k ≥ 1,

λk(−L) ≥ ρλk(−LOU).

Table des matières

1 Introduction générale
1.1 Opérateurs de diffusion
1.1.1 Aspects historiques
1.1.2 Cadre formel
1.1.3 La théorie de Bakry-Émery
1.1.4 Hypothèses techniques
1.2 Inégalités fonctionnelles
1.2.1 Inégalité de Poincaré
1.2.2 Inégalité de Sobolev logarithmique
1.3 Contexte de la thèse et présentation des résultats
1.3.1 Relations d’entrelacement
1.3.2 Présentation de quelques résultats et plan de la thèse
2 Représentation des semi-groupes de Feynman-Kac, application aux inégalités de Sobolev logarithmiques
2.1 Représentation des semi-groupes de Feynman-Kac
2.1.1 Éléments de calcul stochastique
2.1.2 Heuristique scalaire
2.1.3 Régularité du processus et flot tangent
2.1.4 Approche perturbative
2.2 Inégalité de Sobolev logarithmique
2.2.1 Critère général
2.2.2 Fonctions monotones
2.2.3 Exemples
2.3 Perspectives
3 Une approche algébrique et géométrique à l’étude spectrale des générateurs
3.1 Éléments d’analyse spectrale
3.1.1 Décomposition du spectre
3.1.2 Cas du générateur d’Ornstein-Uhlenbeck
3.1.3 Trou spectral et caractérisation de Courant-Fischer
3.2 Contexte algébrique
3.2.1 Algèbre tensorielle
3.2.2 Opérateurs de diffusion et Schrödinger sur l’algèbre tensorielle et estimations préliminaires
3.2.3 Transformations de Riesz
3.3 Estimations spectrales pour −L
3.3.1 Résultat principal
3.3.2 Optimalité dans le cas gaussien
3.3.3 Perspectives
4 Aspects numériques des inégalités de Poincaré et application à l’analyse de sensibilité
4.1 Contexte général
4.1.1 Modèle physique
4.1.2 Modélisation probabiliste
4.2 Analyse de sensibilité
4.2.1 Principes de base
4.2.2 Indices globaux et liens avec l’inégalité de Poincaré
4.3 Aspects numériques de l’inégalité de Poincaré
4.3.1 Principe général
4.3.2 Généralités sur les éléments finis en dimension deux
4.3.3 Domaine et maillage
4.3.4 Validation de la méthode
4.3.5 Implémentation
4.3.6 Conclusion et perspectives
Bibliographie

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