Relief sur la notion de continuité et niveau de Conceptualisation visé

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Le cadre général de la théorie de l’activité

Notre positionnement en théorie de l’activité suppose une étude de l’activité définie du point de vue des sujets (pour nous : les élèves) en prenant en compte l’ensemble du contexte en jeu, en premier lieu les mathématiques et le cadre scolaire – ce que nous appelons la situation, avec ses contraintes et ses ressources – et en étant particulièrement sensibles aux médiations entre les sujets et l’objet de leur activité.

Distinction « tâche / activité »

La tâche correspond au but que le sujet doit atteindre sous certaines conditions (Leplat, 1997). Elle se situe du côté de l’objet de l’activité, et donc de la situation.
L’activité de l’élève c’est ce qu’il développe lors de la réalisation d’une tâche (dans un exercice, ou pendant l’écoute d’un cours, ou pendant la correction d’un exercice) en situation (en classe ou à la maison), ses actes mathématiques extériorisés (le dit, le fait, l’écouté, l’entendu, l’écrit) mais aussi les hypothèses, les décisions dans ce qu’il fait (dit) ou non. … : l’activité est inaccessible mais laisse des traces observables.
L’activité est ainsi une activité « située » – i.e. en situation – et finalisée par l’existence de la tâche, qu’il s’agit donc en premier lieu de bien analyser pour comprendre l’activité.
L’ergonomie cognitive a permis un centrage sur la dimension constructive de l’activité du sujet (Samurcay et Rabardel 2004, Pastré et Rabardel 2005). C’est parexemple en ce sens que Rabardel (1995), en reprenant l’idée de médiation de l’activité par des outils (Vygotsky 1934/1997), a introduit la notion de genèse instrumentale, définissant ainsi une distinction entre l’artefact et l’instrument.
Nous nous référons plus globalement au schéma de double régulation de l’activité proposé par Leplat (1997) et donné en figure 1.

Adaptation de la théorie de l’activité à la didactique des mathématiques (A. Robert)

Dans le même mouvement que l’adaptation de la théorie de l’activité à ladidactique professionnelle (Pastré, 1999), on trouve une adaptation à la didactiquedes mathématiques. Dès son article sur les analyses de tâches par exemple, Robert(1998, 2008) met en évidence l’importance des niveaux de mise en fonctionnement des connaissances – disponibles, mobilisables – et de ce qu’elle appelle les différentes adaptations des connaissances repérées dans les tâches : introduire des intermédiaires, des étapes, faire des choix… par opposition aux application simmédiates, sans adaptation (à un moment donné de la scolarité).
Ces développements en didactique des mathématiques intègrent aussi des concepts déjà utilisés en didactique des mathématiques : par exemple la notion de cadre et la dialectique outil-objet de Douady (1986), les registres de représentations sémiotiques de Duval (1995), que nous développons dans le paragraphe suivant.
Les développements de la théorie en didactique des mathématiques mettent aussi en avant la dimension constructive de l’activité, en référence à la conceptualisation, avec une importance des médiations et de la ZPD (Rogalski, 2008).

Les activités : catégorisation, dimensions

Robert (2008) propose d’introduire le mot « activités » – pluriel – pour des segments de l’activité, directement associés à une tâche mathématique précisée. Plusieurs « sous-activités mathématiques », liées à différentes mises en fonctionnement des connaissances à l’œuvre, sont distinguées, permettant de caractériser l’activité mathématique des élèves dans sa globalité. Il s’agit des sous-activités de reconnaissances, d’organisation et de traitement interne qui actualisent dans le cas de l’activité mathématique et de l’environnement scolaire les fonctions proposées par Galpérine : orientation, exécution et contrôle (Vandebrouck et Robert, 2017).
Les tâches complexes2 sont alors définies comme les tâches qui activent et imbriquent plusieurs de ces sous-activités mathématiques, à partir de diverses adaptations de connaissances à mettre en fonctionnement, repérées dans l’analyse a priori.
– Activités de reconnaissance d’outils ou d’objets mathématiques à mettre en fonctionnement : ce sont les théorèmes ou propriétés concernés, supposés disponibles ou non, ou/et l’identification des modalités d’application de ces théorèmes ou propriétés à mettre en fonctionnement. Cela peut comprendre des choix de connaissances, forcés ou non, selon les alternatives existantes. Il y a plusieurs niveaux de disponibilité (objet, outil), selon que l’on considère la reconnaissance du fait que la connaissance doit être utilisée (comme outil) ou que c’est la définition ou une propriété, à adapter au contexte, qui est uniquement en jeu (comme objet), externes pour former à gérer des situations concrètes, même si ces dernières conduisent à des tâches complexes
– Activités d’organisation du raisonnement global : il s’agit de repérer les différents raisonnements mathématiques à mener, avec les étapes éventuelles et leur ordre, les reprises des questions précédentes, les interprétations.
– Activités de traitement interne : il s’agit des constructions de figures, des calculs à effectuer, du travail sur les formules, simple remplacement des données par leurs valeurs ou transformations, équivalences, implications, mais aussi de l’introduction d’intermédiaires, notations ou expressions, des changements de registres ou de points de vue (imposés ou choisis) et des mélanges de cadres éventuels (imposés ou choisis) .
En relation avec une tâche complexe (comportant diverses adaptations de diverses connaissances), travaillée en classe et supposée contribuer à l’apprentissage d’une connaissance visée, tous les types de sous-activités à développer ne sont pas réalisés de la même manière par les élèves compte tenu des déroulementsorganisés.
Certains sont investis par tous les élèves (pourtous), alors que certains restent le fait de certains élèves seulement (sous-activités a maxima). Puis selon les cas, reprise ou non avec une réduction(alors sous-activités a minima). Ainsi :
– Sous-activités a maxima : celles investies d’emblée par des élèves, certains élèves, sans aide de l’enseignant
– Sous-activités a minima : sous-activités alternatives, complémentaires, proposées après les premières, sur les mêmes sous-tâches, qui peuvent être investies par les autres élèves, souvent réduites par rapport aux précédentes, avec des aides supplémentaires…

Les proximités

Plus récemment, Robert et Vandebrouck (2014), ont aussi introduit l’intérêt d’étudier les « proximités », repérables (ou non) dans les décisions et les discours de l’enseignant, dans lesquelles ce n’est pas la dialectique procédurale/constructivequi est mise en avant mais le fait que les apports de l’enseignant peuvent (ou veulent) prendre en compte les ZPD en jeu des élèves.

Les proximités – en-acte

Robert et Vandebrouck (2014) ont introduit la notion de proximité-en-acte pour qualifier ce qui, dans les discours ou même dans les décisions des enseignants pendant les déroulements des séances, peut être interprété par les chercheurs comme une tentative de rapprochement avec les élèves. Les proximités – en – acte traduisent ainsi une activité de l’enseignant (souvent discursive mais pas seulement) visant à provoquer et/ou à exploiter une proximité avec les activités (possibles, et supposées effectives) et/ou les connaissances des élèves ; cela est sans doute voulu par l’enseignant, mais plus ou moins explicitement, peut-être même automatiquement3
. Cette proximité est d’ordre cognitif ou non, et concerne ou non tous les élèves. Même si l’enseignant a explicitement conçu une activité préalable à un cours, pour préparer l’introduction de certaines connaissances visées, ce n’est pas pour autant que le passage de l’activité aux connaissances qui vont être dégagées soit automatiquement perçu comme proche par (tous) les élèves. Ainsi ce complément « en-actes » spécifie,dans notre idée, une qualité de l’activité de l’enseignant en classe, qui accompagne le développement des contenus, ni nécessairement consciente ni exprimable, tout comme chez Vergnaud (1990), dans l’expression concept-en-actes, où ce complément qualifie une connaissance qui se manifeste dans l’activité d’un sujet sans être toujours consciente ni exprimable.

Cadres, registres et points de vue

Notions de cadre

Le cadre est « constitué des objets d’une branche mathématique, des relations entre les objets, de leurs formulations éventuellement diverses et des images mentales associées à ces objets et ces relations » Douady (1996).
Le fonctionnement global d’un concept mathématique se fait à l’intérieur d’un (ou de plusieurs) cadre(s) mathématique(s).
Un même concept mathématique est amené à fonctionner dans différents cadres4 .
Chacun de ces cadres détermine un environnement conceptuel et technique spécifique qui y caractérise le fonctionnement du concept. Le mathématicien, dans son activité de résolution de problèmes, a recours à des changements de cadres. Il effectue un changement de cadres pour un problème donné, à chaque fois qu’il le transporte d’un cadre à un autre. La traduction du problème d’un cadre dans un autre permet de le poser autrement : « Le changement de cadres est un moyen d’obtenir des formulations différentes d’un problème qui, sans être nécessairement équivalentes, permettent un nouvel accès aux difficultés rencontrées et la mise en œuvre d’outils et de technique qui ne s’imposaient pas dans la première formulation. […] Quoi qu’il en soit, les traductions d’un cadre dans un autre aboutissent souvent à des résultats non connus, à des techniques nouvelles, à la création d’objets mathématiques nouveaux, en somme à l’enrichissement du cadre origine et des cadres auxiliaires de travail. » (ibid., p.11).
L’introduction en didactique des mathématiques de cette notion de cadre est due à Douady (1986) qui s’interroge sur l’activité du mathématicien dans un souci didactique. De son analyse épistémologique, il ressort que « une part importante de l’activité du mathématicien consiste à poser des questions et à résoudre des problèmes » et, de cette activité, elle retient deux points en particulier « le double statut de tout concept mathématique (statut outil / objet) ».

Le statut « outil / objet » des concepts mathématiques

Le mathématicien résout les problèmes à l’aide d’outils mathématiques. Ces outils sont généralement implicites au départ, c’est-à-dire qu’ils correspondent à une procédure qui se justifie par un concept en cours d’élaboration, ils deviennent ensuite explicites. Ils correspondent alors à la mise en œuvre intentionnelle d’un concept pour résoudre le problème. Peu à peu, et pour les besoins de la transmission à la communauté scientifique, les outils mathématiques ainsi créés sont décontextualisés, formulés de la façon la plus générale possible. Le concept acquiert alors le statut d’objet et va pouvoir s’intégrer au corps des connaissances déjà constituées.
Une distinction des statuts outil et objet d’un même concept se réfère à la précision suivante basée sur la théorie de l’équilibration de Piaget: « un concept est outil lorsque l’intérêt est focalisé sur l’usage qui en est fait pour résoudre un problème ou poser des questions. […] un concept est objet lorsqu’il est considéré d’un point de vue culturel, qu’il a une place dans l’édifice structuré des connaissances d’un moment reconnues socialement» (Douady, 1986 ; Perrin-Glorian, 1989, p. 388) ».
Dans ses travaux, Douady développe cette distinction pour un concept mathématique entre son caractère outil et son caractère objet. Outil : un concept est outil lorsque nous focalisons notre intérêt sur l’usage qui en est fait pour résoudre un problème. Un élève, en activité mathématique, peut recourir à un outil de manière implicite ou explicite.
Objet : « le concept mathématique considéré comme objet culturel ayant sa place dans un édifice plus large qui est le savoir savant à un moment donné, reconnu socialement » ;
Selon elle, un concept joue souvent le rôle d’outil implicite avant de devenir un objet du savoir constitué. Un concept peut être mobilisé en général dans plusieurs cadres (physique, géométrique, graphique) entre lesquels s’établissent des correspondances, numérique, graphiques… qui peuvent être des moteurs de la progression du savoir.

Les points de vue

L’idée de points de vue est à associer à des manières différentes d’aborder un problème mathématique, liées à des types de stratégies de portée variable. Plus flou que les cadres et registres, les points de vue permettent d’identifier différentes manières d’aborder la même propriété par exemple. Changer de point de vue pour faire une démonstration revient à adopter une certaine flexibilité (Gagatsis et al. 2010). Non seulement les mathématiciens font spontanément ces changements de points de vue, mais encore, ils savent bien que c’est une méthode générale derecherche.
Pour démontrer une égalité en arithmétique, en algèbre ou en analyse, on peut commencer par transformer le terme de gauche, ou celui de droite, ou transformer les deux, en montrant qu’ils sont égaux à un même troisième, ou en démontrant que leur différence est nulle ou de rapport égal à 1, ou en montrant que la valeur absolue de leur différence peut être rendue inférieure à n’importe quel réel positif donné : autant de points de vue enclenchant des stratégies différentes. De même lorsqu’on travaille sur différentes formes d’une expression algébrique, factorisée, développée, etc.

Notion de « Relief » d’une notion mathématique, « Niveaux de conceptualisation » et « Domaine de travail associé »

Robert introduit aussi « les niveaux de conceptualisation » d’une notion mathématique, en référence à une opérationnalisation de la conceptualisation et aux champs conceptuels de Vergnaud (1991), mais dans un sens plus modeste ; et elle ntroduit enfin plus récemment l’idée de « relief » d’une notion mathématique (Robert et al. 2012).
Il s’agit d’une étude épistémologique et mathématique de la notion mathématique,croisée avec une étude curriculaire et didactique, incluant les difficultés connues des élèves. L’étude du relief de la notion permet en particulier de définir différents domaines de travail de la notion, associés à différents niveaux de conceptualisation, conformes aux programmes d’enseignement. A l’instar des champs conceptuels qui sont des espaces de problèmes, les domaines de travail sont décrits par le corps des problèmes qui peuvent être résolus en leur sein (donc des tâches), en suivant des modes de raisonnements et des démarches caractéristiques du domaine, avec des fondements mathématiques et un niveau de rigueur spécifique, en utilisant un arsenal de définitions, théorèmes et propositions bien délimité (Robert, 2003).
Les niveaux de conceptualisation sont ainsi définis à partir des spécificités de la notion mathématique, à partir des programmes, en précisant les cadres (Douady, 1986) et les registres (Duval, 1995) à convoquer, et les niveaux de rigueur attendus (types de raisonnements, formalisme et démonstrations). Ils intègrent un ensemble d’activités mathématiques mettant en jeu la notion concernée, par la disponibilité des caractères objets et outils de la notion (Douady, 1986), associés aux mises en fonctionnement attendues sur des tâches caractéristiques du niveau. Cette disponibilité inclut l’organisation des connaissances impliquées, nouvelles et anciennes, toujours en référence à la notion de champ conceptuel (Vergnaud, 1991).
La conversion d’un niveau de conceptualisation visé (ou domaine de travail) en un ensemble d’activités mathématiques attendues pour les élèves n’a rien d’automatique. Elle suppose un ensemble de tâches prescrites, associé à un déroulement prévu, concrétisé par un scénario, plus ou moins accessible mais qu’il convient d’apprécier, en termes d’itinéraire cognitif (suite d’activités attendues). Le lien avec les apprentissages des élèves n’est pas non plus transparent et suppose d’aller regarder jusqu’au niveau des réalisations en classes, c’est-à-dire les actions et les activités possibles des élèves, voire les activités effectives (mais inobservables), compte tenu des déroulements. Les analyses à ce niveau mettent en jeu un certain nombre de variables qui orientent l’élaboration d’indicateurs méthodologiques (Robert et Vandebrouck, 2014 ; Vandebrouck et Robert, 2017).
Ces variables tiennent à la fois
 à la qualité de l’introduction de la notion visée, compte tenu du relief de la notion et du niveau de conceptualisation visé, les relations et les proximités entre le nouveau et les connaissances anciennes déjà enseignées ou supposées disponibles ;
 à la quantité, la qualité, la variété et l’ordre précis des tâches prescrites aux élèves (exercices et problèmes), ainsi qu’à leur robustesse (elles sont plus ou moins déformables par les déroulements),
 aux dynamiques prévues entre ces tâches, les formes de travail et notamment les moments collectifs en classe (moments d’exposition des connaissances par exemple), en relation avec les difficultés connues des élèves.

Table des matières

Chapitre I: Introduction
Introduction
I. Eléments de constat
1) L’enseignement de la continuité entre le prescrit et le vécu …
2) Ce que retiennent nos élèves de la notion de continuité à l’issue du cycle du secondaire
II. Passage en revue de quelques travaux de thèse en rapport avec notre recherche
Chapitre II : Etude exploratoire
Introduction
1) La notion de continuité chez les nouveaux étudiants
a) Premier questionnaire pour des étudiants de LFM
b) Deuxième questionnaire pour des étudiants du PREPA
2) Les enseignants des troisièmes et l’introduction de la continuité
a) Première étude : analyse d’un questionnaire proposé aux enseignants de troisièmes
b) Deuxième étude : compte – rendus des inspecteurs pédagogiques
3) Conclusion de ce chapitre
Chapitre III : Cadre théorique
Problématisation dans le cadre théorique choisi
A. Le cadre théorique
1. La théorie de l’activité
1.1. Le cadre général de la théorie de l’activité
1.2. Distinction « tâche / activité »
1.3. Adaptation de la théorie de l’activité à la didactique des mathématiques
1.4. Les activités : catégorisation, dimensions
1.5. Les aides
1.6. Les proximités
1.6.1. Les proximités – en-acte
1.6.2. Types de proximités
2. Cadres, registres et points de vue
2.1. Notions de cadre et registre
2.2. Le statut « outil / objet » des concepts mathématiques
2.3. Les registres
2.4. Les points de vue
3. Notion de « Relief » d’une notion mathématique, « Niveaux de conceptualisation » et « domaine de travail associé »
4. La notion d’ingénierie didactique
5. L’approche instrumentale
6. La double approche des pratiques enseignantes
B. Problématique
C. Méthodologie de la recherche
Chapitre IV : Relief sur la notion de continuité et niveau de Conceptualisation visé
I. Relief sur la notion de continuité
1. Etude épistémologique
1.1. Genèse historique
1.2. Conceptions et obstacles associés à la notion de continuité
1.2.1. Concept image et concept définition
1.2.2. Différents facteurs de conflits cognitifs
1.2.3. Obstacles épistémologiques
1.3. Points de vue épistémologiques sur la notion de limite
2. Etude didactique
2.1. La notion de continuité est un concept FUG
2.2. Paradigmes de l’Analyse standard
3. Etude curriculaire
3.1. Les réformes
3.2. particulièrement, concernant l’enseignement de l’Analyse au lycée
3.3. Finalement, en ce qui concerne l’enseignement de la notion de continuité
3.4. La notion de continuité dans les programmes actuels
3.4.1.Les concepts mathématiques utilisés dans la notion de continuité dans les programmes actuels
3.4.2. Les connaissances ultérieures occupées par la notion de continuité.
4. Les manuels scolaires :
4.1. Analyse du chapitre « continuité »
4.1.1. Une première rubrique intitulée « Pour commencer »
4.1.2. La rubrique « Cours »
4.1.3. La rubrique « Exercices et Problèmes »
4.2. Le manuel scolaire et la place de la définition formelle dans l’enseignement de la notion de continuité.
4.3. Synthèse de l’étude du manuel sur la continuité
II. Niveau de conceptualisation visé et domaine de travail associé
Chapitre V : Ingénierie didactique
1. Présentation de l’ingénierie
2. Présentation du logiciel « TIC_Analyse »
3. Eléments de scénario proposé qui compose l’ingénierie
3.1. Projet de scénario
3.1.1. Le plan de la leçon
3.1.2. Détails de la séance
3.2. Schéma du scénario proposé
4. Eléments implicites du scénario
Chapitre VI : Analyse a priori 
1. Introduction
2. Analyse des activités proposées par le manuel
2.1. Analyse de l’activité 1 page 23
2.2. Analyse de l’activité 2 page 23
3. Analyse des tâches proposées par le logiciel
3.1. L’approche cinématique.
3.2. L’approche formelle
3.3. L’exercice I
3.4. L’exercice II
4. Conclusion de ce chapitre
Chapitre VII : Analyse a posteriori
Introduction
Partie (1) Analyse des traces des élèves sur le logiciel …
1) Analyse des traces des élèves de l’enseignante « M » …
2) Analyse des traces des élèves de l’enseignante « A » …
3) Commentaires à l’issue de l’analyse des traces des binômes chez M et A
Partie (2) Analyse des séquences vidéo
I. Analyse des séquences vidéo relatives à l’introduction de la définition formelle
I.1. L’enseignante « M » (avec le logiciel)
a) Synopsis
b) Analyse des séquences vidéo
c) Commentaire
I.2. L’enseignant « L » (avec le logiciel)
a) Synopsis
b) Analyse des séquences vidéo
c) Commentaire
I.3. L’enseignant « A» (avec le logiciel)
a) Synopsis
b) Analyse des séquences vidéo
c) Commentaire
I.4. L’enseignante « N » (séance ordinaire)
b) Synopsis
c) Analyse des séquences vidéo
d) Commentaire
II. Analyse des séquences vidéo relatives à la gestion des exercices
II.1. La séquence des exercices de l’enseignante « M »
a) Synopsis
b) Analyse des séquences vidéo
c) Commentaire
II.2. La séquence des exercices de l’enseignant « L »
a) Synopsis
b) Analyse des séquences vidéo
c) Commentaire
Conclusion générale de ce chapitre
Chapitre VIII : Analyse des post – tests (proposés aux élèves)
Introduction
I. Analyse a priori
II. Analyse des post – tests
1) Pour les élèves en classe ordinaire
2) Pour les élèves qui ont profités d’un apprentissage dans
l’environnement TIC (à l’issue de notre ingénierie)
3) Analyse comparée des résultats des deux groupes « ordinaire vs technologique »
III. Conclusion de ce chapitre
Chapitre VIII : conclusion et perspectives
1) Synthèse et Conclusion
2) Perspectives de la recherche
Bibliographie

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