Relation entre filtre et ultrafiltre

Ensembles

Nous appelons ensemble toute liste, collection ou rassemblement d’objets bien définis, sur lesquelles on admet la possibilité de faire certaines opérations (réunion, intersection, ensemble des parties …) de manière que le résultat donne encore des ensembles. Dans les applications, on sera conduit souvent à faire l’hypothèse que les collections sur lesquelles on opère sont des parties d’un grand ensemble U, choisi de manière que les collections étudiées soient des parties de U ou se déduisent de U par des opérations dont le résultat soit encore un ensemble ; les axiomes que nous aborderons plus tard assurent alors que les collections obtenues sont des ensembles et qu’on ne sort pas de la classe des ensembles. Plus précisément cette classe constitue une catégorie dont les objets sont les ensembles et les morphismes les applications d’ensembles.

Lemme de zorn

Voici une façon d’interpréter intuitivement le lemme de Zorn Appelons X l’ensemble incriminé. Une chaîne peut être vue comme une progression vers des éléments de plus en plus grands de X. Imaginons donc que nous décidions de poursuivre une telle progression jusqu’à ne plus pouvoir continuer. La chaîne ultime que nous obtenons peut a priori se terminer de deux façons soit il y a en fin de chaîne une infinité d’éléments tous plus grands les uns que les autres (comme par exemple à la fin d’un intervalle ouvert), soit il y a un élément de la chaîne qui est le dernier (comme par exemple à la fin d’un intervalle fermé). Le premier cas est en fait impossible en effet s’il se produisait, la chaîne ayant un majorant par l’hypothèse, on pourrait ajouter celui-ci à la fin de la chaîne, ce qui contredirait l’ultimité de celle-ci. Ainsi la chaîne a un plus grand élément m. Mais à nouveau l’ultimité de la chaîne interdit qu’aucun xX soit strictement supérieur à m, attendu que sinon on pourrait ajouter x en fin de chaîne c’est donc que m est un élément maximal de X . Démonstration En effet, si a un plus grand élément a, a S se réduit à l’ensemble a. Toutes les sections i S contiennent a car on a i<a pour tout i. Donc le filtre des sections de est plus fin que le filtre de base a. Mais ce dernier est un ultrafiltre c’est le filtre a des parties de qui contiennent l’ensemble aformé d’un seul point si A est un sous-ensemble quelconque de , soit X A appartient à a  et a  est donc un ultrafiltre. Ainsi, le filtre S des sections de coïncide avec l’ultrafiltre a .

La réciproque utilise le lemme de Zorn. Soit  l’ensemble des parties A de qui possèdent la propriété suivante pour tout couple i, j d’éléments de A distincts et pour lesquels la relation de préordre est Page | 25 définie, il existek ,k A,i k j . La famille n’est pas vide car toute partie de réduite à un élément appartient à . Soient 1 2 A ,A  , on écrira 1 2 A A si l’on a 1 2 A A et si tout élément de A2 1 A majore 1 A , c’est-à-dire si les conditions 2 1 1 x A ,x A ,y A entraînent y<x. On définit ainsi une relation d’ordre (partiel) sur la famille . Cet ordre est inductif car si Aest une partie totalement ordonné de , la réunion des Aappartient à  et est une borne supérieure (pour la relation d’ordre définie plus haut) des A. D’après le lemme de Zorn, il existe un élément maximal au moins, soit m A dans . On va en déduire l’existence d’un plus grand élément unique sur, S étant un ultrafiltre. La propriété des ultrafiltres entraîne d’abord que, soit m A , soit X m A appartienne à S, c’est-à-dire 1) Ou bien il existea , tel que a m S A

2) Ou bien il existeb , tel que b m S A Dans le cas (1), si a S n’est pas réduit au seul élément a, il existe a i S ,a i,a i , soit ‘ m m A A i . Alors, on a ‘ mA  et ‘ m A majore strictement A pour l’ordre défini sur , ce qui contredit le caractère maximal de m A . On a donc a S a . Dans le cas (2), si b S n’est pas réduit à l’élément b, on prend b jS ,b j,b j . Alors, il n’existe pas d’élément k , tel qu’on ait b k j , et m k A , car la premier condition entraine b m k S A , on obtient ainsi une contradiction avec le fait que m A appartient à la famille. Finalement, on a trouvé c , tel que c S se réduit à c, ce qui montre l’existence dans d’un plus grand élément unique.

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Table des matières

Introduction
1 Rappels et préliminaires
1.1 Ensembles
1.2 Familles indexées
2 Axiome de choix
2.1 Produit IIXa
2.2 Axiome de choix
2.3 Fonction de choix
3 Lemme de Zorn
3.1 Relation d’équivalence, quotient
3.2 Ordre et ordre total
3.3 Ensembles inductifs
3.4 Lemme de Zorn
4 filtres
4.1 Qu’est-ce qu’un filtre
4.2 Base de filtre
4.3 Image d’un filtre et d’une base de filtre par une application
4.4 Image par restriction
4.5 Ultrafiltres
4.6 Relation entre filtre et ultrafiltre
4.7 Familles filtrées
4.8 Filtre des sections

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