Régulation de la glycémie

Régulation de la glycémie

La concentration de glucose dans le sang est considérée normale chez l’homme si elle est comprise entre 70 mg/dl et 110 mg/dl. Si le niveau de concentration du glucose chez un sujet est constamment hors cet intervalle, cette personne est considérée comme ayant des problèmes de glycémie appelés hyperglycémie si le taux de glucose dans le sang est trop élevé, ou hypoglycémie sinon.
Les îlots de Langerhans (Groupements de cellules situés dans le pancréas endocrine) et plus exactement les cellules alpha et beta sont responsables du maintient de la concentration du glucose dans son état normal. Ainsi les cellules beta sont les cellules produisant de l’insuline qui a pour but d’abaisser la concentration du glucose dans le sang lorsqu’elle est trop élevée. Sous son action, le glucose est stocké sous forme de glycogène dans le foie et les cellules musculaires (qui l’utiliseront pour produire de l’énergie), et sous forme de graisse dans les adipocytes (cellules spécialisées dans le stockage de la graisse). L’insuline diminue aussi la production du glucose hépatique. Le corps envoie un signal aux cellules alpha pour produire une hormone appelée glucagon lorsque la concentration en glucose sanguin est trop basse. Le glucagon atteint le foie en provoquant la libération du glucose dans la circulation sanguine par hydrolyse du glycogène.

Modélisation mathématique en diabétologie

La modélisation mathématique en diabétologie ne date pas d’hier. En 1939, Himswork et Ker introduisent la première approche pour mesurer la sensibilité de l’insuline in vivo. Les modèles mathématiques sont principalement utilisés pour l’étude de la disparition du glucose et de la dynamique de l’insuline-glucose en général.
Bien que différents modèles ont été proposés par plusieurs mathématiciens, le départ réel de la modélisation de la dynamique de l’insuline-glucose est du à l’équipe de Bergman et Cobelli  dans les années quatre-vingt avec leur modèle appelé « modèle minimal ». La décernation de la médaille Banting 2006 par l’association américaine du diabète au professeur Bergman montre l’importance du  rôle qu’a joué le modèle minimal dans l’étude du diabète. Plusieurs autres modèles
ont été développés à partir du modèle minimal et en 2002, plus de 500 publications portaient sur ce modèle.
D’autres modèles mathématiques ont été développés afin de mieux comprendre le système de régulation du mécanisme glucose-insuline.
Les types de modèle qui ont été utilisé dans la littérature peuvent être basés mathématiquement sur :
Des équations différentielles ordinaires.
Des équations différentielles à retard.
Des équations aux dérivées partielles.
Des équations intégrales de Fredholm.
Des équations différentielles stochastiques.
Des équations intégro-différentielles.

Présentation du Modèle

Le test IVGTT (test de tolérance au glucose par voix intraveineuse) est considéré comme l’un des tests les plus pratiqués pour mesurer la sensibilité à l’insuline chez un sujet, et cela en raison de sa facilité d’exécution et de la richesse en information qu’il peut donner.
Le teste consiste à injecter dans les veines du sujet un bolus (une quantité) de glucose, les mesures se font tout au long d’une période de trois heures, avant que les perturbations du glucose et de l’insuline dans le plasma ne se stabilisent.
Le modèle physiologique qui a été principalement utilisé dans les interprétations du test IVGTT est le modèle minimal. Le modèle tel que son auteur l’a présenté se compose de deux parties. La première partie utilise les équations (1) et (2) pour décrire l’évolution dans le temps de la concentration du glucose chez le sujet ; dans cette première partie, la concentration plasmatique d’insuline est considérée comme une fonction connue. L’autre partie utilise l’équation (3) afin de décrire l’évolution de la concentration plasmatique d’insuline dans le temps ; dans cette deuxième partie, c’est la concentration du glucose dans le plasma qui est considérée comme une fonction connue.

Modèle dynamique

Le modèle nommé « modèle dynamique » a été établi par De Gaetano et Arino pour résoudre les problèmes du modèle minimal, en permettant l’estimation simultanée de la sécrétion d’insuline et des paramètres d’absorption du glucose, les solutions du modèle sont positives, bornées, et il est globalement asymptotiquement stable autour de la concentration de pré-injection du glucose et d’insuline dans le sang .
Dans le modèle dynamique, les variables non observables à savoir X(t) ont été enlevé, ce qui a permit de traiter le système de l’insuline glucose couplé, les retards qui sont apparents ont été exprimés explicitement sans recours à une fonction auxiliaire, et sans introduire le terme non autonome en temps. L’hypothèse de linéarité entre l’évolution du taux de sécrétion de l’insuline et du terme p4 [ G(t) – p5]+ par rapport au temps n’a pas aussi pris place dans le modèle dynamique. Cette linéarité obligeait à établir un point d’origine du temps si on voulait utiliser le modèle minimal, ce qui limitait le domaine d’utilisation du modèle à l’IVGTT.

Etude de la stabilité du modèle dynamique

Les conditions initiales sont traduites physiologiquement par le fait que le sujet doit être vraisemblablement à son état d’équilibre (Gb, Ib ) pour au moins b5 minutes avant l’injection du bolus de glucose. A partir de cet état d’équilibre, les concentrations du glucose et de l’insuline sont supposées s’élever instantanément pour atteindre de nouvelles valeurs déterminées par la quantité du glucose administrée et par la première phase des sécrétions pancréatiques correspondante.
Puisque le modèle traité est une équation différentielle à retards, l’état du système est définit par la concentration actuelle de l’insuline I(t), et l’ensemble des concentrations du glucose à partir de l’instant (t – b5) jusqu’à l’instant actuel t.

Table des matières

Chapitre I. Introduction
1.1 Régulation de la glycémie
1.2 Modélisation mathématique en diabétologie
Chapitre II. Etude critique du modèle minimal 
2.1 Présentation du modèle
2.2 Etude analytique du modèle minimal
2.3 Modèle dynamique
2.4 Etude de la stabilité du modèle dynamique
Chapitre III. Traitement numérique 
3.1 Introduction
3.2 Résultats réels de l’IVGTT
3.3 Résolution numérique du modèle minimal
3.3.1 Traitement par θ shéma
3.3.2 Traitement par la méthode d’Adams Bashfort
3.3.3 Traitement par la méthode de Gear
3.4 Conclusion
Annexes

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