Régularisation pour une classe de problèmes inverses en EDP

Calcul fractionnaire

        Le terme « calcul fractionnaire » fait référence à la généralisation des intégrales et des dérivées d’ordre entier à l’ordre rationnel. Ce concept a été introduit pour la première fois par G.W. Leibniz et G. L’Hôpital (30 septembre 1695), où ils ont discuté sur la signification de la dérivée d’ordre 1/2 et ils ont donné quelques remarques sur sa possible existence. Cela attira l’attention de nombreux mathématiciens sur ce sujet mais vu l’insuffisance des outils mathématiques du calcul fractionnaire, cette théorie n’a pu être développée. Néanmoins, au dix neuvième siècle, des développements intéressants ont été réalisés dans le calcul fractionnaire. Par exemple, en 1812, Laplace a proposé une formulation intégrale, qui a été utilisée plus tard par S.F. Lacroix pour définir des dérivées d’ordre arbitraire. En 1823, Abel a été le premier à étudier un problème physique intéressant en utilisant des techniques du calcul fractionnaire. On peut citer aussi J. Liouville (1832-1873), B. Riemann (1847), A. K. Grunwald (1867-1872), A. V. Letnikov (1868 1872), H. Weyl (1917) et M. Riesz (1949). Ces mathématiciens ont beaucoup contribué à l’élaboration de la théorie du calcul fractionnaire. Pour plus de détails sur les aspects historiques de la théorie du calcul fractionnaire, on renvoie le lecteur aux ouvrages [101, 111]. Dans la seconde moitié du vingtième siècle, la plupart des outils pour traiter le calcul fractionnaire étant disponibles. Le calcul fractionnaire est passé de la formulation mathématique pure, aux applications et il a été utilisé pour modéliser de nombreux phénomènes physiques dans divers domaines [127]. Les dérivées fractionnaires et les dérivées d’ordre entier sont des opérateurs linéaires. Mais, les dérivées d’ordre entier sont des opérateurs locaux et les dérivées fractionnaires sont des opérateurs non locaux. Ce qui fait d’eux un outil puissant pour la description des effets héréditaires et mnémoniques de diverses substances, ainsi que pour la modélisation de certains processus dynamiques. Le calcul fractionnaire a été utilisé récemment dans divers domaines, tels que la physique, la chimie, la biologie, l’ingénierie mécanique, le traitement du signal et l’identification des systèmes, l’électrotechnique, la théorie du contrôle, la finance, la dynamique fractionnaire [99, 112].

Etude d’un problème inverse de type bi-fractionnaire

          La diffusion est l’un des mécanismes de transport les plus importants dans la nature. Dans la littérature, plusieurs modèles ont été proposés pour décrire ce mécanisme dans des milieux homogènes et hétérogènes ; parmi eux l’équation parabolique classique (EPC), l’équation bi-parabolique (EBP) et l’équation parabolique fractionnaire (EPF). Pour le premier modèle (EPC), l’utilisation de l’opérateur de Laplace et de la dérivée du premier ordre est la meilleure façon de décrire la diffusion canonique. Commençons par l’exemple typique d’un problème inverse engendré par une équation parabolique dans le cadre géométrique le plus simple :
L1u(x, t) ≡ ut(x, t) − a∆u(x, t) = 0, x ∈ (0, l) ; t ∈ [0, T ], (3.0.1)
où u(x, 0) = u0 est la condition initiale inconnue qui peut être déterminée à partir de la condition finale u(x, T ) = h(x), avec a > 0 et h une fonction donnée. Ce problème est bien connu comme étant un problème mal posé (problème de la chaleur rétrograde). En raison de son importance physique, le problème (3.0.1) a reçu une attention considérable au cours des soixante dernières années. Cependant, il est bien connu que l’équation parabolique classique ne peut pas décrire avec précision la procédure de conduction thermique, car dans la théorie mathématique classique de la conductivité thermique, certaines conditions simplificatrices sont imposées aux processus (voir [33, 50]). Dans le cas où on ne considère pas ces conditions, on ne peut pas obtenir une description suffisamment correcte des processus dynamiques de transfert de la chaleur et de la masse. Pour surmonter ces difficultés, certains nouveaux modèles ont été proposés par [26, 27, 89] via le modèle EBP, qui est une généralisation naturelle du modèle donné dans (3.0.1). Le modèle proposé a été donné par Lu(x, t) ≡ α1L1u(x, t) + α2L21u(x, t) = 0, x ∈ (0, l) ; t ∈ [0, T ], (3.0.2) où α1 et α2 sont des paramètres réels. Le cas α1 = 1 et α2 = 0 coincide avec le problème L’un des inconvénients majeurs des deux modèles proposés respectivement par (3.0.1) et (3.0.2) est qu’ils ne décrivent pas adéquatement le phénomène de diffusion dans les matériaux à mémoire, par exemple les matériaux viscoélastiques, et les milieux hétérogènes, tels que le sol, les aquifères hétérogènes et l’écoulement des fluides souterrains. Afin de mieux décrire le phénomène de diffusion dans des milieux hétérogènes, le modèle (3.0.1) a été remplacé par un problème analogue en introduisant une dérivée fractionnaire. En particulier de la façon dont les solutions régularisées se stabilisent avec un bon contrôle de deux régimes différents. Ce sujet n’a pas encore été étudié de façons globale dans la littérature pour des raisons de difficultés purement théoriques. C’est la principale motivation et le centre d’intérêt du travail actuel. Le modèle proposé dans ce chapitre est basé sur l’idée de combiner les avantages de l’équation bi-parabolique et les avantages de l’équation parabolique fractionnaire, afin de mieux décrire la diffusion anormale et de construire une solution stable.

Conclusion et perspectives

        Dans cette thèse, des méthodes de régularisation pour certaines classes d’équations de diffusion relaxée avec arguments déviés ont été développées. Dans ce contexte, deux stratégies de régularisation ont été développées. La première procédure repose sur un schéma itératif avec conditionnement appliqué à deux problèmes de diffusion relaxée (équation elliptique généralisée, équation bi-fractionnaire) et la deuxième procédure est une variante de la méthode de quasi-réversibilité, connue sous le nom « régularisation pseudo-parabolique » appliquée à une classe de problèmes paraboliques avec arguments déviés. Comme perspectives, on projette de développer un choix du paramètre de régularisation basé sur une stratégie à posteriori accompagnée par des tests numériques. On souhaite aussi essayer d’autres méthodes, comme la méthode de projection de Krylov, et faire une étude comparative entre ces trois approches de régularisation. On projette d’étudier des exemples définis sur des géométries de R3 en utilisant des outils sophistiqués, comme les éléments finis et d’autres techniques d’approximation numérique. Ces questions sont un peu difficiles, mais elles méritent d’être étudiées, parce que, ces modèles peuvent être considérés comme des approximations (modèles presque réversibles) de certains modèles classiques, lorsque α -→ 1 et β -→ 1. Cette motivation est inspirée des travaux récents : [Réf.1] B. Kaltenbacher and W. Rundell, Regularization of a backwards parabolic equation by fractional operators, Inverse Probl. Imaging, 2019 ; 13(2), 401–430. [Réf.2] G. Floridia, Zhiyuan Li, M. Yamamoto, Well-posedness for the backward problems in time for general time-fractional diffusion equation, arXiv :submit/3019468 [math.AP] 26 Jan 2020.

Table des matières

Introduction
Activités de recherches
Thématique de la thèse
Contenu de la thèse
1 Résultats préliminaires et notations 
1.1 Espaces fonctionnels
1.2 Eléments de la théorie spectrale
1.2.1 Opérateurs linéaires bornés
1.2.2 Inverse et adjoint d’un opérateur linéaire borné
1.2.3 Spectre d’un opérateur linéaire et décomposition spectrale
1.2.4 Opérateurs fermés et non-bornés
1.2.5 Adjoint d’un opérateur non-borné
1.2.6 Spectre et résolvante d’un opérateur non borné
1.3 Théorie de Riesz-Fredholm
1.3.1 Diagonalisation des opérateurs auto-adjoints compacts
1.3.2 Famille spectrale et résolution de l’identité
1.4 Problèmes mal posés et problèmes inverses 
1.4.1 Exemples des problèmes mal posés
1.4.2 Outils d’analyse de problèmes mal posés
1.5 Méthodes de régularisation
1.5.1 Méthode de Tikhonov
1.5.2 Méthode du gradient
1.6 Calcul fractionnaire 
1.6.1 Intégrale fractionnaire au sens de Riemann-Liouville
1.6.2 Dérivée fractionnaire au sens de Caputo
2 Problème de la chaleur avec une perturbation de type involution 
2.1 Position du problème
2.2 Rappels
2.3 Analyse du problème 
2.3.1 Stabilité conditionnelle
2.4 Méthode de régularisation pseudo-parabolique
2.5 Tests numériques
3 Etude d’un problème inverse de type bi-fractionnaire 
3.1 Formulation du problème 
3.2 Résultats Préliminaires
3.2.1 Opérateurs quasi-contractants
3.2.2 Fonction de Mittag-Leffler et ses propriétés
3.3 Analyse du Problème 
3.3.1 Caractère mal posé du problème (3.1.4)
3.3.2 Stabilité conditionnelle
3.4 Méthode de régularisation itérative de Kozlov-Mazya 
3.4.1 Déscription de la méthode
3.5 Tests numériques 
4 Régularisation d’un problème elliptique généralisé 
4.1 Formulation du problème 
4.2 Résultats préliminaires 
4.3 Analyse du problème
4.3.1 Caractère mal posé du problème
4.3.2 Stabilité du problème (4.1.5)
4.4 Méthodes de régularisation
4.4.1 Méthode de troncature spectrale
4.4.2 Méthode itérative de Kozlov Maz’ya
4.5 Tests numériques
Conclusion et perspectives
Bibliographie

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