Soutenance mémoire
La complexité des systèmes de production dont requiert l’évolution technologique actuelle nécessite une bonne ténue des systèmes automatiques, que ce soit en matière d’entraînement ou de positionnement, face aux conditions les plus exigeantes. Moyennant des outils informatiques et électroniques sophistiqués, les automaticiens ne cessent de porter des améliorations aux systèmes de réglages qu’ils mettent en œuvre.
Le réglage d’état est une méthode moderne qui permet d’influencer surtout sur les grandeurs internes du système à régler pour obtenir une performance inégalée vis à vis des sollicitations extérieures au système. Ses avantages se manifestent surtout lorsqu’on l’applique aux systèmes multivariables dont la méthode de réglage classique s’avère trop coûteuse et moins performante. C’est ainsi que nous avons opté pour cette méthode de réglage dont le présent mémoire se veut être le recueil.
Grandeurs et équation d’état
La représentation d’état met en évidence le comportement interne des systèmes physiques en donnant les relations entre les grandeurs d’entrée, les grandeurs de sortie et les grandeurs internes du système. Une grandeur d’état est une grandeur interne d’un système dont sa dérivée est encore fonction de la même grandeur.
Un système monovariable ou SISO (Single Input Single Output)est un système à grandeur d’entrée et de sortie unique, dans le cas contraire on a un système multivariable ou MIMO (Multiple Input Multiple Output).
Le choix des grandeurs d’état n’est pas unique ainsi les matrices A, B, Bv, C et D peuvent avoir des formes variées. Ces matrices peuvent se calculer soit à partir des équations différentielles, soit à partir des fonctions de transfert.
Résolution des équations d’état
Il s’agit de rechercher l’expression X(t) où t représente le temps. Comme nous avons une équation différentielle du premier ordre avec second membre, la solution est composée d’une solution générale Xg(t) et d’une solution particulière Xp(t). La solution générale s’obtienne facilement par:
X = AX .
Commandabilité
Pour qu’on puisse asservir un système afin d’obtenir un état final prédéterminé à partir d’un état existant, il faut que ce système soit commandable. Un système est commandable depuis l’entrée U s’il est possible d’intervenir sur cette entrée pour atteindre un état final X(t1) = 0 à partir de conditions initiales X(t0) quelconques en un temps t fini.
Observabilité
Pour des raisons technologiques ou économiques, on ne peut ou on ne veut pas mesurer les grandeurs d’état. On a recours alors aux observateurs d’état. Un système est dit observable si on peut déterminer de manière univoque son état de départ X(t0) en mesurant sa sortie Y(t) lorsqu’il est soumis à une commande U(t) pendant un temps fini. . Pour cela, considérons l’équation d’état d’un système libre:
X = AX
Y = CX
REGLAGE DANS L’ESPACE D’ETAT
Rappel d’asservissement
système en boucle ouverte:
Un système est en boucle ouverte si sa grandeur de commande U et sa grandeur de sortie Y sont indépendantes.
Un système en boucle ouverte présente l’avantage d’être simple, plus stable et économique. Par contre, ses performances sont médiocres par rapport aux variations des sollicitations extérieures: par exemple, lorsque la charge d’un moteur varie, il existe une variation de sa vitesse de rotation. Ces variations ne sont pas corrigées à cause de l’absence d’un circuit de retour.
Système bouclé:
Pour pallier les inconvénients du système en boucle ouverte, on insère un circuit de contre-réaction qui compare en permanence la grandeur de sortie y du système à sa grandeur de consigne w. La grandeur qui commande le système agit alors en relation avec l’écart entre y et w. Le système est plus précis que celui ouvert mais présente le désavantage d’être plus compliqué.
Régulateurs standards:
L’idée de base des régulateurs est d’améliorer les performances des systèmes en boucle ouverte. On insère ainsi un élément de correction R en série avec le système à régler.
Les régulateurs ont pour rôle de donner au système une performance optimale, c’est à dire un minimum de dépassement avec un meilleur temps de réponse. Parmi les régulateurs standards, on compte les régulateurs proportionnels(P), intégrales(I), dérivées(D), proportionnels- intégrales(PI), proportionnels- intégralesdérivées (PID), régulateurs tout ou rien, … Le régulateur d’état dont nous allons voir fait partie de ces régulateurs Il donne une meilleure performance au système asservi.
Stabilité:
Un système est stable si, abandonné hors état d’équilibre, il atteint ce dernier en un temps raisonnable. Appliqué à un système bouclé, cela signifie que lorsqu’on applique une consigne nulle, la grandeur réglée sera nulle en un temps raisonnable. De là, on peut encore attendre que lorsqu’on l’applique à une consigne constante, la grandeur réglée aura la même valeur. Les pôles d’un système stable sont tous à partie réelle négative, c’est à dire situé à gauche du plan complexe.
Relations entre les pôles et la performance d’un système
Les attentes pour le système asservi s’expriment souvent en termes de temps de réponse et de dépassement maximal de la réponse indicielle. Comme nous le savons, la stabilité peut être analysée par les lieux des pôles. On peut également y exprimer les performances d’un système. Le temps de réponse peut être approximé par à partir du pôle px le plus proche de l’axe des imaginaires, en considérant que l’effet des autres pôles s’atténue beaucoup plus rapidement.
Principe du réglage par contre-réaction d’état:
Le réglage par contre-réaction d’état ou tout simplement réglage d’état consiste, à l’aide de la contre réaction adéquate des vecteurs d’état et de l’intervention directe des vecteurs de consignes et de perturbation, à déplacer les pôles qui caractérisent le comportement dynamique d’un système. En particulier, un régulateur intégrateur incorporé assure l’annulation des erreurs statiques en régime établi.
Détermination de la matrice de contre-réaction d’état K
Pour les systèmes monovariables, d’après la relation (2-17), les pôles du système global sont déterminés par les matrices A et B qui sont inhérents au système à régler et par la matrice K=[Ks, Kr] : la contre-réaction d’état. Ainsi, il suffit d’imposer ces pôles pour pouvoir définir complètement la matrice K.Pour des systèmes d’ordre moins élevé, un calcul manuel ne poserait pas de problème, mais quand l’ordre augmente, le calcul devient très lourd, d’où la nécessité d’un outil de calcul numérique.
En ce qui concerne les systèmes multivariable, la matrice K contient (m.ns+m) éléments, alors que la matrice Ag est de dimension (m+ns, m+ns), l’imposition des ns pôles ne permet plus de déterminer complètement tous les éléments de la matrice K.Il existe une certaine liberté supplémentaire pour la détermination de ses éléments. Actuellement, on utilise généralement trois méthodes pour y accéder:
❖Par combinaison linéaire du vecteur de commande: on choisit un vecteur de longueur m, à savoir Ku, de telle sorte qu’on obtienne une grandeur de commande U0 (scalaire) qui ramènera le système à un système monovariable. On détermine ainsi les éléments de la matrice K comme on procède pour un système monovariable, à savoir l’imposition des ns pôles. Cette méthode, en dépit de sa facilité, donne malheureusement une dynamique médiocre par rapport aux consignes et perturbations.
❖En utilisant une forme canonique de réglage: on procède à une transformation linéaire pour obtenir une équation d’état sous forme canonique de réglage particulière qui permettrait de subdiviser le système global en m sous systèmes simples à dimensionner. L’alternative de cette méthode est de pouvoir obtenir une performance satisfaisante. Bien que le résultat obtenu soit excellent, le calcul se fait de manière aléatoire et arbitraire, ce qui rend très difficile et compliqué une éventuelle programmation numérique.
❖Par découplage: on procède de manière à découpler le système global en insérant une matrice de découplage Ku, pour que chaque grandeur de consigne agisse uniquement sur son propre grandeur de sortie. La méthode donne en générale une dynamique appréciable et la difficulté de calcul ne pose pas de problème en utilisant l’outil informatique. C’est ainsi qu’on a opté à utiliser cette dernière.
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Table des matières
INTRODUCTION
LISTE DES SYMBOLES UTILISEES
Chapitre I : GRANDEURS ET EQUATIONS D’ETAT
1-1: Représentation d’état
1-2 : Relation entre équation d’état et fonction de transfert
1-3 : Résolution des équations d’état
1-4 : Commandabilité
1-5 : Observabilité
1-6 : Equation d’état d’un MCC
Chapitre II : REGLAGE D’ETAT
2-1 : Rappel d’asservissement
2-1-1 : Système en boucle ouverte
2-1-2 : Système bouclé
2-1-3 : Régulateurs standards
2-1-4 : Stabilité
2-1-5 : Relations entre les pôles et la performance d’un système
2-2 : Principe du réglage par contre-réaction d’état
2-3 : Equation d’état du système global
2-4 : Détermination de la matrice de contre-réaction d’état K
2-5 : Détermination des matrices d’intervention directe
2-6 : Choix des pôles
Chapitre III : DIMENSIONNEMENT ET VERIFICATION DYNAMIQUE
3-1 : Dimensionnement
3-1-1 : Réglage d’état avec découplage
3-1-2 : Structure générale
3-1-3 : Principe
3-1-4 : Relations générales
3-1-5 : Déterminations des matrices Ku et Ks
3-1-6 : Calcul de l’intervention directe du vecteur consigne
3-1-7 : Calcul de l’intervention directe de la perturbation
3-1-8 : Analogie entre systèmes continus et échantillonnés
3-2 : Vérification dynamique
3-2-1 : Introduction
3-2-2 : Equation d’état discrète
3-2-3 : Calcul des matrices d’état discrétisées
3-2-4 : Evaluation des matrices F et H
3-2-5 : Réponse indicielle
Chapitre IV : LOGICIEL DE CALCUL ET DE SIMULATION
4-1 : L’environnement DELPHI
4-2 : Algorithme général de conception du réglage d’état
4-3 :Organigramme de calcul du régulateur
4-4: Organigramme général de simulation
4-5 : calcul de eAT
4-6 : Présentation du logiciel
4-7 : Exemple d’application
4-8 : Conclusion
Chapitre V : REGLAGE D’ETAT PARTIEL
5-1 : Introduction
5-2 : Structure du circuit de réglage
5-3 : Systèmes d’équation
5-4 : Détermination de la contre-réaction d’état
5-5 : Intervention directe de la consigne et de la perturbation
5-6 : Logiciel de calcul et de simulation
6-1 : Modélisation du MCC
6-2 : Circuits de réglage
6-3 : Convertisseur de courant
6-4 : Grandeurs relatives
6-5 : Données du moteur
6-6 : Circuit de réglage de courant
6-6-1 : Equations générales
6-6-2 : Schéma de réglage de courant
6-6-3 : Résultats
6-6-4 : Comportement approximatif du circuit de réglage de courant
6-7 : Circuit de réglage de la vitesse de rotation
6-7-1 : Equations générales
6-7-2 : Schéma de réglage de vitesse
6-7-3 : Résultats
6-8 : Observateur du couple résistant
6-8-1 : Observateur du couple résistant
6-8-2 : Observateur du couple résistant du premier ordre
6-8-3 : Observateur du couple résistant du second ordre
6-9 : Conclusion
CONCLUSION GENERALE
Annexe : LES REGULATEURS D’ETAT ANALOGIQUE
1-1 : Tâches d’un régulateur d’état
1-2 : Régulateur d’état analogique
1-3 : Relations de base
1-4 : Introduction des valeurs relatives
1-5 : Régulateurs d’état avec limitation
BIBLIOGRAPHIE
