Réflexion et hypothèses sur le calcul mental automatisé 

Les méthodes d’apprentissage

Claire Lethielleux (2000) préconise des séances de 10-15 minutes de façon quotidienne, en alternant une séquence apprentissage, une séquence d’entrainement et une évaluation. Les consignes peuvent être oralisées ou écrites. Le rôle du professeur des écoles est d’animer les séquences, de donner du rythme et de motiver les élèves. Elle conseille de passer au calcul écrit une fois que l’élève a acquis la procédure mentale.
Elle propose différents jeux collectifs comme découvrir un nombre parmi plusieurs autres nombres, le jeu du nombre pensé ou encore le jeu du portrait. Mais selon elle, « L’utilisation de jeux parait moins performante que le travail en classe entière pour la pratique du calcul mental» François Boule (2012), lui, considère que le calcul mental est efficace s’il est étudié dans des situations concrètes, réelles ou simulées mais il peut également être vu en dehors du cours de mathématiques.
La forme du calcul mental automatisée est principalement orale mais elle peut également se faire par le biais d’exercices ou de fiches. Ce qui importe le plus, c’est l’entrainement quotidien (« il est important d’entrainer la mémorisation de résultats simples ») afin que les résultats soient rapidement mobilisables et exploitables à tout moment.
Selon lui, il faut multiplier les séquences d’apprentissage sous différentes formes (défis, confrontation, jeux, exercices, collectif/individuel, oral/écrit) et accorder un temps vraiment suffisant au calcul mental afin d’enrichir les connaissances des élèves par différentes procédures.
De plus, il ne faut pas priver l’élève des outils permettant la représentation des nombres (frise, doigts, domino…) tant qu’il n’a pas acquis de procédures expertes. Ce n’est qu’avec l’entrainement que ces outils vont disparaître et laisser place à reconstruction du nombre permettant d’élaborer des procédures complexes.
Tout comme François Boule, Denis Butlen (2007) préconise une pratique régulière pour développer la connaissance des propriétés des opérations, se familiariser avec les nombres et diversifier les procédures de calcul. L’entrainement intensif au calcul mental permet à l’élève de résoudre des problèmes de manière plus efficace.
Enfin, Christophe Bolsius (2011) s’appuie sur la circulaire du 12 avril 2007 où il est mentionné de pratiquer le calcul mental pendant un quart d’heure quotidiennement. Le calcul mental réfléchi doit donner lieu à une séance à part entière pour pouvoir confronter les différentes stratégies de calcul mental, liées aux propriétés des opérations. Quant aux outils, c’est au maître de choisir en fonction de l’objectif et de la volonté à laisser une trace écrite ou non. L’important, selon lui, c’est de pouvoir suivre les progrès de l’élève.

L’automatisation

Denis Butlen (2007), dans son livre, explique sa démarche de recherche sur l’automatisation des calculs auprès d’un groupe d’élèves de classe de CE2. Dans une première partie, il développe les représentations des nombres en mémoire en citant deux psychologues, Boule et Fayol. Il s’agit de la distance symbolique où l’enfant admet plus aisément que 2+8= 10 que 2+8 = 15. Il ajoute que l’école enrichit les connaissances concernant la bande numérique en la complexifiant d’année en année.
Dans une seconde partie, il explique la démarche d’automatisation par la définition de Fisher « Seule une automatisation ou en tout cas un processu s reproductif plutôt qu’un processus reconstructif du rappel des faits numériques condui ra les élèves à estimer les ordres de grandeur et à remarquer certaines erreurs de calculs».
Denis Butlen (2007) insiste sur la mise en place d’un travail régulier et systématique. En s’appuyant sur d’autres études, il affirme qu’un apprentissage tardif est nocif à la compréhension des nombres. Il explique de la même manière, qu’une institutionnalisation trop faible ne permet par la mémorisation des procédures.
Dans une troisième partie, il énonce sa problématique sur l’automatisation. Il a essayé de comprendre comment les élèves réinvestissaient les procédures et si ces dernières perduraient dans le temps. Pour cela, il a mis en place une démarche qui consistait dans un premier temps à recueillir sur fiche, les procédures mise en œuvre de façon individuelle puis dans un second temps, il a relevé à l’oral, à l’aide d’un secrétaire, les résultats des élèves au fur et à mesure.
Les résultats de sa démarche ont révélé 3 procédures utilisées par les élèves :
1. Les élèves utilisent le comptage ou le décomptage (frise numérique)
2. Les élèves appliquent mentalement l’algorithme écrit
3. Les élèves utilisent la décomposition canonique
Il a effectué ce travail quelques mois plus tard pour voir l’évolution des pratiques. Les élèves ont tendance à supprimer d’eux-mêmes la procédure 1 pour passer à une procédure plus experte.
Pour conclure sur sa démarche, il estime que la classe de CE2 est la classe de transition où les élèves vont commencer à mobiliser les procédures 2 et 3.
Il souligne dans son étude le poids fort de l’algorithme écrit qui peut s’expliquer par une concurrence importance entre le calcul mental et le calcul posé mais aussi par une méconnaissance de la décomposition canonique (ou du moins une connaissance vague qui n’est pas disponible à ce moment-là).

Cadre méthodologique

Présentation de l’école

L’école qui m’a permis d’obtenir les résultats suivants se situe en Seine-Maritime, proche du littoral, à la frontière avec la Picardie. C’est une école qui compte 3 classes de maternelles et 12 classes élémentaires. Les élèves ont de grandes difficultés notamment au niveau de la production d’écrit, de la compréhension écrite ainsi que la résolution de problème. « Un maître plus » est ainsi présent pour aider les élèves dans ces 3 domaines, sur tout le cycle 2.

Observation d’écrits

L’échantillon « élèves »

La classe de CE2 dans laquelle sont réalisés les deux dispositifs est composée de 18 élèves dont 8 filles et 10 garçons. Parmi ces élèves, il ya 3 redoublants dont 2 qui éprouvent des difficultés dans les 3 domaines cités auparavant.
Le dispositif se faisant en demi- groupe, les élèves ont eu la possibilité de changer de place et de se rapprocher du professeur des écoles.

Déroulement de la séquence

Dans le cadre de ma réflexion, j’ai testé sur le mois de janvier, deux types de dispositif, liés aux supports.
La première semaine (du 3 janvier au 6 janvier) s’est déroulée de la façon suivante :
• Le mardi : Les élèves se sont réunis ensemble pour une évaluation diagnostique et une mise en commun des différentes stratégies possibles pour calculer rapidement. Ces stratégies ont été inscrites sur une affiche afin d’être utilisées si nécessaire durant la phase d’entrainement par les deux groupes, même ceux qui n’en ont pas. Une trace écrite reprenant une partie des stratégies a été collée dans leur cahier de leçon.
Suite aux résultats de l’évaluation diagnostique, j’ai divisé ma classe en 2 groupes pour tester ces deux méthodologies. Les demi-groupes ont été constitués de façon homogène au niveau de la parité fille/garçon et hétérogène au niveau de la difficulté des élèves. Ces groupes sont restés fixes en dépit des absences des élèves sur certaines séances :
Le groupe A : Méthodologie 1 (utilisation de différents supports)
Le groupe B : Méthodologie 2 (utilisation d’un seul support : l’ardoise)
• Du mercredi à vendredi : Le groupe A et B se sont entrainés à différents moments de la matinée selon la méthodologie définie.
La deuxième semaine (du 9 au 14 janvier) s’est décomposée ainsi :
• Du mardi au mercredi : Les groupes A et B ont continué à s’entraîner.
• Le jeudi : Les groupes A et B ont réalisé une évaluation formative de type calcul réfléchi à l’écrit. L’intérêt de cet exercice est de rappeler les différentes stratégies et d’en faire émerger d’autres.
• Le vendredi : Les groupes A et B ont effectué ensemble une évaluation sommative écrite sous la forme d’un problème, mettant en jeu le complément à 100.

Le sujet de la séquence

Suite à l’évaluation de début de période, nous avons décidé avec ma collègue de revoir les tables d’addition en calcul mental. En parallèle, sur cette même période, nous avons commandé un fichier mathématique pour nos élèves que nous avons reçu tardivement. Par conséquent, nous avons en période 2, orienté nos séquences de calcul mental sur la soustraction (ôter 9 et ôter 11 à un nombre à deux chiffres).
J’ai donc choisi pour la période 3, le complément à 100, date de la mise en place de ma méthodologie. Je ne l’ai pas choisi au hasard. En effet, sur cette même période, j’avais programmé d’étudier la monnaie et les problèmes liés à ce domaine. J’ai supposé que les élèves auraient plus de facilité à donner sens au calcul mental en le reliant à une notion connue.
Pour cela, je me suis aidée de deux manuels scolaires qui m’ont guidé sur le choix des jeux, sur le plan de séquence et sur la méthodologie à adopter.
Pour rappel, ce que j’appelle complément à 100, c’est une addition du type a + b =100 avec a ≤100 et b ≤100 et si a =100 alors b ≠100

Le déroulement des séances

J’ai souhaité mettre en place ces séances, de préférence le matin car les différentes études montrent que les élèves ont le pic d’attention à 12h. Ces séances ont duré entre 10 minutes et 30 minutes pour les évaluations et 5 à 10 minutes pour les autres séances en fonction des activités proposées.
La première séance s’est déroulée de cette façon, pour les deux groupes :
• un temps pour expliquer la consigne
• un temps pour pratiquer et pour confronter les procédures
• un temps pour institutionnaliser oralement et à l’écrit (fiche et trace écrite dans le cahier de l’élève.)
Pour les séances suivantes, le groupe A commençait l’entrainement pendant que l’autre groupe effectuait une lecture à deux d’un livre de leur choix, présent dans la bibliothèque de la classe. Puis une fois l’activité terminée, j’aiinversé les groupes.

Les activités proposées pour ces séances

• Le compte est bon : C’est une activité qui ressemble au jeu télévisé « des chiffres et les lettres ». Ce jeu permet d’utiliser les propriétés de l’addition et de la soustraction ainsi que les doubles, les compléments à 5 ou à 10 et les nombres ronds. L’avantage de cette activité, c’est de pouvoir confronter les différentes techniques employées par les élèves pour arriver à un nombre donné.
Ce jeu va être utilisé en séance 1 et 7. Pour la séance 1, les élèves auront 4 exercices où ils devront choisir 2, 3 ou 4 nombres pour reconstituer le nombre 100. Quant à la séance 7, les modalités ne changent mais le nombre d’exercices passent à 9. Les exercices étant de difficultés croissantes.
• Jeu de la boîte noire : L’enseignant dispose d’une boîte avec couvercle qu’elle pose devant les élèves. Elle met un certain nombre d’objet dans la boîte que les élèves doivent compter mentalement grâce au bruit. Puis ils doivent soit oralement ou à l’écrit, répondre à la consigne que le professeur aura donné. C’est un jeu qui fait travailler la mémoire auditive.
Cette activité a été utilisée en séance 2. Pour cela, j’ai pris des billes d’argiles et une boîte à chaussure. L’inconvénient de cette activitéré si de dans le nombre de billes à manipuler qui augmente le temps de la séance. Il faut également un silence complet.
• Jeu du furet : Le professeur dit à tour de rôle des nombres aux élèves en suivant une certaine règle. Elle interroge les élèves dans l’ordre où ils sont installés à leur table. Le but de jeu réside dans la rapidité et la mémorisation des calculs. Si un élève ne sait pas, il passe son tour et s’assoit. Il suffit de revenir à lui quelques secondes plus tard.
Les erreurs sont rectifiées par le professeur des écoles ou par un élève, mais ne sont pas analysées en temps réel. Ce jeu fait travailler la rapidité mais aussi la mémoire à court terme et la concentration.
Lors de la séance 4, j’ai pu mettre en œuvre cette activité sous la forme d’addition à trou sur une partie de groupe. Pour une bonne mise en œuvre, il faut également avoir le silence.
• L’Ardoise ou le procédé La Martinière : Les élèves disposent individuellement d’une ardoise. Le professeur donne oralement ou à l’écrit un calcul à effectuer. Au signal, les élèves doivent calculer mentalement et inscrire sur l’ardoise le résultat. Ils retournent l’ardoise pour cacher leur réponse. Au second signal du professeur, les élèves lèvent leur ardoise. Le professeur constate visuellement les erreurs. Les élèves peuvent alors effacer leur ardoise. Le professeur peut interroger un ou deux élèves oralement pour connaître leurs stratégies de calcul. Cette méthode est rapide, efficace et ludique. Les élèves font travailler davantage leur mémoire auditive plutôt que la mémoire visuelle et il améliore leur concentration.
Les groupe B a expérimenté ce support pendant les deux semaines et le second groupe a eu l’occasion de la pratiqué en séance 5. Il faut être vigilant sur la méthodologie notamment au moment où l’élève écrit sa réponse, il doit bien retourner son ardoise sinon il influence les autres élèves par sa réponse. De plus, la consigne utilisée doit varier afin d’habituer les élèves à différentes tournures.
• Jeu du mistigri : C’est un jeu de cartes qui peut se jouer à plusieurs. Toutes les cartes sont distribuées. Les élèves jouent chacun à leur tour, dans le sens des aiguilles d’une montre. A chaque tout, un élève tire une carte dans le jeu au hasard du joueur précédent et il la met dans son jeu. Puis il pose sur la table, une paire de cartes dont le complément est égal à 100 (ex : 60+40). Le but du jeu est d’avoir constitué le maximum de paires de carte sans avoir le mistigri dans son jeu. Cette activité ludique a l’avantage de jouer à plusieurs et d’entretenir la notion étudiée. Il laisse plus de temps aux élèves pour acquérir la notion et enlève le stress lié au temps, tout en faisant du calcul mental. Les groupes d’élèves doivent être homogènes afin que les élèves ayant plus de facilité ne découragent les autres.
J’ai pu entreprendre cette activité avec le groupe A en séance 6. L’inconvénient que j’ai pu rencontrer réside dans le comportement des élèves fassent au « jeu » (gagnant/perdant).

Les indicateurs

Pour comparer les deux dispositifs, j’ai souhaité utiliser comme indicateur les différentes procédures utilisées par les élèves ainsi que les résultats aux différentes évaluations.
Les procédures attendues étaient :
1 : procédure de comptage et décomptage avec utilisation de la bande numérique
2 : procédure mentale de l’algorithme écrit
3 : procédure avec décomposition canonique en dizaine et unité
4.3 Observation du comportement
Pour les séances évaluatives, j’ai souhaité observer les élèves individuellement pendant leur réflexion grâce à une grille d’observation physique et à la fin de l’activité avec une autre grille. Ces grilles ont pour but de regarder comment se comporte l’élève durant les évaluations mais aussi de comparer avec les résultats précédents, la motivation de chacun et donc l’efficacité de l’apprentissage du calcul mental.

L’évaluation sommative

Le choix des problèmes

Pour savoir si les élèves avaient bien compris le sens du complément à 100, je leur ai donné trois petits problèmes (voir annexe 5) liés à la notion de monnaie que j’étudiais en parallèle au calcul mental.
Pour cela, pour le premier exercice, j’ai demandé aux élèves de reconstituer 1 euro avec des pièces de 1, 2, 5, 10 et 20 centimes. Avec ces nombres, les élèves avaient le choix de procéder de la manière qu’ils le souhaitaient. Les difficultés envisagées étaient la compréhension de la consigne et la notion que 1’euro est égale à 100 centimes.
Pour le second exercice, les élèves devaient additionner deux nombres, puis soustraire la somme à 100. Les deux nombres donnés étaient 11 et 44. J’ai choisi ces nombres car les élèves avaient globalement bien réussi les nombres se finissant pas 5.
Enfin, le dernier problème, un peu plus complexe avec cette fois-ci 3 données : le prix de deux articles et la monnaie rendu sur 100 euros. J’ai pris des nombres volontairement plus complexe (32, 31, 13) pour observer les stratégies que les élèves pouvaient mettre en place.

Résultats des écrits et du comportement des élèves

• Critères « calme », « stressé » et « opposant » 

Au cours de cette séance, j’ai eu trois élèves « opposants ». En effet, les différents problèmes les ont bloqués et ils m’ont rendu copie blanche. Ensuite, une élève a ressenti un stress important face à cette évaluation mais a essayé de répondre au moins à un problème. Puis, il y a eu 4 élèves avec un stress modéré qui ont cherchéles différents problèmes tout en s’agitant sur leur chaise ou en s’exprimant sur la difficultédes exercices.

Critère « consigne »

Concernant la première consigne, elle a été comprise pour la plupart des élèves. Ils n’ont pas forcément tous trouvé la réponse.
Quant au deuxième exercice, la consigne a été comprise à 50 %. Nous pouvons supposer que c’est l’ensemble des données qui a perturbé les élèves ou les images ou qu’ils n’ont pas compris le sens des opérations à utiliser dans ce problème.
Enfin pour le dernier exercice, trois élèves ont compris une partie de la consigne mais pas la partie « on lui rend 13 euros ». Nous pouvons penser que les élèves n’ont pas compris le sens du problème, que les données étaient peut-être nombreuses ou encore que la mise en page n’a pas permis aux élèves de dissocier le deuxième problème du troisième.

Critère « actif », « activité », « tâche »

Durant cette évaluation, 5 élèves ont vraiment été actifs et ont rendu leur copie avant le temps imparti. Pour les autres, ils ont eu une réelle difficulté à déchiffrer les trois problèmes et ils ont rendu leur copie partiellement faite.

Discussion réflexive sur les résultats

Les résultats semblent montrer que la variété des supports n’a pas influencé les procédures ni aider les élèves les plus en difficulté. Quelles conclusions pouvons-nous faire en sachant que certains élèves ont modifié leur procédure ?
Comme le préconise, Claire Lethielleux, la méthodologie (séance diagnostique, entraînement et évaluation) a permis aux élèves de partager leurstratégie de calcul avec les autres. Le choix des supports est également très important. Même si le jeu de la boîte noire, de la fiche écrite et le jeu du mistigri ont bien fonctionné, certains n’ont pas été adaptés pour les élèves en difficulté comme le jeu du furet ou l’ardoise qui demande une certaine rapidité. Certains élèves ont en effet, été stressés. Comme dit, Jean-Pierre Abgrall, l’état émotionnel influe sur les capacités mentales. Il aurait dont fallu que jechoisisse des supports où le temps n’est pas une contrainte même si le calcul mental est synonyme de rapidité.
D’autre part, nous avons vu que les évaluations avaient été réussites pas les élèves utilisant les procédures 2 et 3 et la procédure 3. Nous pouvons penser que le support n’était pas adapté aux autres élèves. En effet, selon Antoine de la Garanderie, les enfants créeraient des images mentales à partir de leur sens. Or, comme la fiche d’entrainement et les premiers calculs de l’évaluation ont plutôt été réussis, ce paramètre été plutôt à exclure. Alors comment peut-on expliquer ces résultats ?
Parmi les choix des nombres lors des séances d’entraînement, nous avons pu observer que les élèves en difficulté quel que soit le support, avaient réussi les exercices pour les nombres se terminant par 0. Nous concluons que les élèves maîtrisent les compléments à 10 mais ils ont une lacune pour les notions de doubles. Ils ont également des difficultés à se représenter les nombres notamment lors du passage à la dizaine. Les élèves les plus experts vont prendre une stratégie plus longue (85+ 10 + 5) et plus coûteuse.
Rémy Brissiaud appelle cela la conceptualisation, c’est-à-dire la capacité à l’élève de recomposer et de décomposer un nombre en fonction du contexte donc d’avoir différentes stratégies. Selon lui, le procédé de la Martinière n’est efficace si et seulement, l’élève est capable de s’exprimer sur sa manière de calculer. Pour cela, le professeur des écoles ne doit pas faire apprendre la table de pythagore de façon automatique mais il doit apprendre à l’élève à la reconstruire au fur et à mesure et ainsi lui enseigner des premières stratégies (ex : 5+x).
Denis Butlen rejoint Rémi Brissiaud sur la nécessité pour l’élève d’avoir suffisamment de connaissances numériques pour construire les techniques opérationnelles et développer des procédures de calcul mental adapté. Toutefois, l’explication seule de ces dernières n’est pas suffisante pour les élèves en difficulté qui ont besoin de manipuler davantage les décompositions des nombres. Les travaux de Perrin-Glorian avaient mis d’ailleurs en évidence des caractéristiques d’élèves en difficultés notamment un manque de fiabilité des connaissances, un manque de capitalisation, des difficultés de point de vue ou encore des soucis à s’exprimer lors de la mise en commun.

Table des matières
Introduction
1. Réflexion et hypothèses sur le calcul mental automatisé 
2. Cadre institutionnel 
2.1 Le socle commun des connaissances, de compétences et de culture
2.2 Le programme du cycle 2
2.3 Le document d’accompagnement de 2002
3. Cadre théorique 
3.1 Le calcul mental : définitions, but et méthodologie
3.1.1 Définitions
3.1.2 Le but du calcul mental
3.1.3 Les méthodes d’apprentissage
3.2 L’automatisation
3.3 La mémoire à court terme et à long terme
3.3.1 L’encodage
3.3.2. Le stockage
3.3.3 Le rappel
3.4 L’image mentale
4. Cadre méthodologique 
4.1 Présentation de l’école
4.2 Observation d’écrits
4.2.1 L’échantillon « élèves »
4.2.2 Déroulement de la séquence
4.2.3 Le sujet de la séquence
4.2.4 Le déroulement des séances
4.2.5 Les activités proposées pour ces séances
4.2.6 Les indicateurs
4.3 Observation du comportement
4.3.1 Comportement et analyse écrite de l’élève
4.3.2 Comportements de l’élève sur la réalisation de l’évaluation
5. Présentation et analyse des données recueillisen classe 
5 .1 L’évaluation diagnostique
5.1.1 Le choix des nombres
5.1.2 Résultats des écrits et du comportement des élèves
5.2 Les séances d’entrainement
5.2.1 Le choix des nombres
5.2.2 Résultats des écrits et du comportement des élèves
5.3 L’évaluation formative
5.3.1 Le choix des nombres
5.3.2 Résultats des écrits et du comportement des élèves
5.4 L’évaluation sommative
5.4.1 Le choix des problèmes
5.4.2 Résultats des écrits et du comportement des élèves
6. Discussion réflexive sur les résultats 
Conclusion 
Bibliographie 
Annexes 

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