Réduction de Modèles Stochastiques pour la caractérisation robuste du comportement vibratoire des structures assemblées

Modèles rhéologiques

Contrairement aux modèles constitutifs, les modèles phénoménologiques ou modèles rhéologiques abordent le comportement des liaisons d’un point de vue macroscopique. Ils se basent sur des observations empiriques pour décrire une relation globale entre effort tangentiel et déplacement relatif dans l’interface de frottement. Bien qu’ils puissent être basés sur des considérations microscopiques, en règle générale, ce type de modèles ne cherche pas à traduire la physique fondamentale du problème. Leur principal avantage réside dans le faible nombre de paramètres nécessaires à leur description. Dans ce qui suit, on présente brièvement les principaux modèles rhéologiques issus de la littérature. Par souci d’uniformisation des notations utilisées pour présenter les différents modèles rhéologiques issus de la littérature, on définit sur la Figure 1.2 les sollicitations appliquées à une liaison boulonnée.
• Modèle Signum : Certainement l’approche la plus simple, le modèle dit Signum est basé sur la loi de Coulomb. La force de frottement s’écrit simplement :

Méthodes de simulation déterministe d’une structure assemblée complète

Une fois un modèle de comportement choisi pour les liaisons considérées et les paramètres de ce modèle identifiés, il est alors possible de simuler le comportement vibratoire d’une structure assemblée complète en tenant compte du comportement des liaisons.
Quatre types d’approches peuvent être recensées pour simuler le comportement d’une structure assemblée, chaque approche étant plus ou moins adaptée au régime de fonctionnement considéré (statique, dynamique transitoire ou stationnaire). On distingue ainsi les techniques d’intégration temporelle utilisées afin de caractériser le comportement statique et transitoire des structures assemblées [Belvin 1987 ; Gaul et Nitsche 2001 ; Song et al. 2004]. Ces techniques sont inefficaces pour l’étude du comportement vibratoire des structures et sont donc inadaptées au cadre de ce travail. Une seconde approche consiste à caractériser de manière « exacte » le comportement vibratoire d’une structure en exploitant le caractère linéaire par morceaux des lois de comportement du contact. Ces approches sont revues en détails par Gaul et Nitsche [Gaul et Nitsche 2001]. Il en ressort que, bien que précises, ces approches sont limitées à des structures ayant un faible nombre de liaisons.
La troisième classe de techniques de simulation répandues pour l’étude du comportement vibratoire des structure assemblées correspond aux techniques basées sur la méthode de la Balance Harmonique [Ahmadian et Jalali 2007a ; Bograd et al. 2011 ; Claeys et al. 2016 ; Gaul et Nitsche 2000]. Comme évoqué précédemment, la Balance Harmonique consiste à réécrire un problème non-linéaire dans le domaine fréquentiel. Pour cela, les forces non-linéaires sont supposées périodiques puis décomposées en série de Fourier. En négligeant les harmoniques d’ordres supérieurs, l’équation du mouvement peut alors se ramener à une équation algébrique non-linéaire pour chaque excitation mono-fréquentielle considérée. Les équations algébriques non-linéaires sont alors résolues à l’aide de méthodes de résolution classiques de type Newton-Raphson par exemple [Bograd et al. 2011]. La réponse en fréquence de la structure est obtenue en balayant une plage de fréquence point par point. Cette approche peut devenir très coûteuse dès lors qu’un grand nombre de degrés de libertés non-linéaires sont considérés ou que le système présente de fortes non-linéarités. Finalement, la dernière approche de simulation du comportement vibratoire d’une structure assemblée consiste à effectuer une analyse modale linéaire classique de la structure assemblée en considérant une raideur et un amortissement équivalent des liaisons [Bograd et al. 2011 ; Crocombe et al. 2006]. Dans le cas étudié par Crocombe [Crocombe et al. 2006], une relation entre l’énergie dissipée dans la liaison et la sollicitation de la liaison par le reste de la structure est déterminée. La liaison est modélisée par une raideur équivalente et l’analyse modale linéaire permet de déterminer l’effort appliqué à la liaison à l’aide d’un logiciel éléments finis commercial. Cette approche se justifie par le fait que, dans le cas des structures assemblées, les non-linéarités sont localisées au niveau des liaisons et le reste de la structure, les sous-structures assemblées, a un comportement globalement linéaire.

Outils de caractérisation vibratoire robuste des structures assemblées

La structure globale en régime forcé répond alors sur des modes quasi-linéaires comme le montrent Heller et al [Heller, Foltête et Piranda 2009] et les vecteurs propres d’une structure globale présentant des non-linéarités localisées peuvent être considérés comme linéaires.
Finalement, se pose la question de la modélisation de la structure assemblée et de ses différents constituants. En règle générale, les sous-structures élastiques sont modélisées en ayant recourt à une discrétisation éléments finis mais d’autres approches peuvent être trouvées dans la littérature comme par exemple les approches multi-corps [Gaul, Lenz et Sachau 1998] ou les approches par éléments spectraux (Spectral element method ) [Esteban et Rogers 2000 ; Lee 2001]. La méthode des éléments finis étant la plus répandue, on se basera sur cette dernière pour modéliser les sous-structures élastiques étudiées. Il reste alors à définir comment les liaisons peuvent être intégrées aux modèles de sous-structures.
Lorsque la structure globale le permet, c-à-d lorsque les liaisons sont suffisamment éloignées des singularités géométriques ou des discontinuités matériaux des sous-structures qu’elles relient ou lorsque les dimensions des liaisons sont faibles devant les dimensions du reste de la structure, un modèle rhéologique peut être implémenté directement entre deux noeuds du modèle éléments finis des sous-structures à assembler. Les éléments « sans-épaisseurs » (zero-thickness elements ) [Bograd et al. 2011 ; Mayer et Gaul 2007] permettent de modéliser l’interaction entre les surfaces de contact de deux structures définies par des maillages volumiques. Ce sont des éléments surfaciques entre lesquels sont imposées des relations traduisant les phénomènes physiques intervenant dans l’interface. On peut par exemple définir une raideur linéaire ou non et un amortissement par l’intermédiaire d’une matrice de dimension égale au nombre de noeuds des deux éléments surfaciques. D’autres éléments peuvent être définis pour modéliser le comportement de l’interface comme les éléments minces (thin layer elements ). Ces éléments sont des éléments volumiques dont l’épaisseur est faible devant les autres dimensions caractéristiques de l’élément sans que cela n’engendre de problèmes numériques. Ces éléments sont directement reliés aux éléments du maillage volumique des structures assemblées et nécessitent alors des maillages adaptés. Les derniers modèles d’interfaces présentés ici sont les éléments dits noeuds-ànoeuds (node-to-node elements ) [Belvin 1987 ; Bograd et al. 2011 ; Song et al. 2004]. Ils consistent à appliquer une relation traduisant le comportement de l’interface entre chaque noeud en vis-à-vis des maillages à assembler. Il y aura alors autant de relations à déterminer que de noeuds en vis-à-vis dans l’interface. Si l’interface comprend un grand nombre de noeuds, on comprend vite que le coût de ce type d’approche peut devenir rédhibitoire.
Lorsque l’influence locale de la liaison doit être prise en compte (ex. : rigidification locale des pièces assemblées) il est nécessaire de définir un modèle « numérique » adapté basé sur le modèle physique de comportement de la liaison et permettant de tenir compte de ceseffets. Les modèles précédents peuvent être adaptés en condensant une partie des surfaces de contact en un noeud. On parle alors d’éléments node-to-surface.

Prise en compte de la variabilité des paramètres de liaison

Afin de mieux prédire le comportement réel d’une structure, la variabilité observée du comportement réel de la structure doit être modélisée dès la phase de conception. On parle Outils de caractérisation vibratoire robuste des structures assemblées ainsi de dimensionnement robuste de la structure. On suppose ici que cette variabilité est principalement due aux incertitudes sur les paramètres du système étudié. Afin de propager les incertitudes au travers du modèle de comportement d’un système, deux types d’approches peuvent être identifiées suivant qu’elles soient probabilistes ou non. Parmi les approches non-probabilistes, on évoquera notamment les approches de type logique floue [Zadeh 1999], les approches par intervalles ou la théorie des méconnaissances [Daouk 2016 ; Ladevèze, Puel et Romeuf 2006]. Les approches non-probabilistes se justifient dès lors que les incertitudes sont d’ordre épistémiques, c’est à dire qu’elles sont dues à un manque d’information. Les approches probabilistes visent quant à elles à modéliser la variabilité naturelle des phénomènes aléatoires. Deux branches peuvent alors être distinguées suivant que l’on cherche à tenir compte de la variabilité des paramètres des modèles utilisés, on parle alors d’approches probabilistes paramétriques, ou que l’on cherche à tenir compte également de l’incertitude due au modèle choisi ou aux incertitudes de mesure, on parle alors d’approches probabilistes non-paramétriques [Soize 2013]. L’approche probabiliste est particulièrement bien adaptée à la résolution numérique des problèmes de structure [Blanzé 2003 ; Blanzé et Champaney 2004 ; Blanzé et Rouch 2005] et l’on suppose dans un premier temps que la qualité des modèles utilisés est suffisante pour ne pas significativement induire d’incertitudes supplémentaires. C’est donc tout naturellement dans le cadre probabiliste paramétrique que l’on se placera pour la suite de ce travail.
Afin de résoudre un problème dynamique en contexte incertain, les méthodes basées sur un échantillonnage statistique ou méthodes de Monte-Carlo constituent l’approche la plusdirecte, la plus simple d’implémentation et surtout la plus précise puisque ces méthodes
convergent, par définition, vers la solution exacte du problème stochastique [Schenk et Schüller 2005 ; Shinozuka et Astill 1972]. Le principe des méthodes de Monte-Carlo est le suivant : des réalisations des Variables Aléatoires associées aux paramètres structuraux incertains sont générées numériquement. L’ensemble des réponses correspondantes à chacune des réalisations est ensuite calculé. Enfin, un traitement statistique permet de qualifier l’incertitude des grandeurs d’intérêt [Ghanem et Spanos 1990]. Les principaux avantages des méthodes de Monte-Carlo sont qu’elles sont insensibles à la dimension stochastique du problème et qu’elles permettent de traiter n’importe quel niveau de variabilité des grandeurs considérées [Papadrakakis et Kotsopulos 1999]. En contrepartie, leurs performances sont fortement dépendantes de la qualité du générateur de nombres aléatoires utilisé mais surtout le coût en temps de calcul nécessaire à garantir la convergence du résultat explose lorsque la durée d’un seul calcul déterministe de la structure étudiée augmente. De nombreuses techniques ont été mises en place afin d’optimiser le temps de calcul des simulations de Monte-Carlo. Ces techniques sont généralement basées sur des méthodes de réduction de variance ou sur la parallélisation des calculs associés à chaque réalisation [Van den Nieuwenhof et Coyette 2003]. Malgré cela, dans le cas du calcul de structure, ces méthodes restent difficilement envisageables. Pour ces raisons, différentes méthodes sans échantillonnage statistique ont été développées ces dernières décennies. Les deux approches les plus répandues dans la littérature permettant d’estimer les propriétés statistiques de la réponse d’un système aléatoire sont les méthodes dites de perturbation et les méthodes spectrales. Ces deux familles de méthodes sont présentées ici afin d’identifier les avantages et inconvénients de chacune d’entre elles et d’évaluer leur potentielle application au cas des structures assemblées.

Outils de caractérisation vibratoire robuste des structures assemblées

Méthodes de perturbation

Les méthodes de perturbation sont basées sur l’approximation des variables aléatoires d’intérêt à l’aide d’un développement de Taylor tronqué. Simple à implémenter, le développement de Taylor utilisé est généralement limité à l’ordre deux car les termes d’ordre supérieur sont relativement coûteux en temps de calcul. De plus, ces méthodes se limitent aux faibles niveaux de variabilité des paramètres aléatoires d’entrée [Ghanem et Spanos 1990 ; Nair et Keane 2003 ; Sudret et Kiureghian 2000]. On considèrera typiquement comme ayant une faible variabilité des variables aléatoires dont le coefficient de variation est inférieur à 20 %. Le développement de Taylor est généralement appliqué au voisinage de la valeur moyenne des variables aléatoires à estimer. A titre d’exemple, Collins et Thomson [Collins et Thomson 1969] utilisent ce type de développement afin d’estimer les moments statistiques des valeurs propres et vecteurs propres aléatoires de systèmes simples. Adhikari et Friswell [Adhikari et Friswell 2007] proposent quant à eux de réaliser le développement de Taylor au voisinage d’un point optimal garantissant une meilleure estimation des premiers moments statistiques des valeurs propres aléatoires. Nair et Keane [Nair et Keane 2003] se basent sur une méthode de perturbation afin d’estimer les vecteurs propres aléatoires du système et d’en déduire les valeurs propres aléatoires associées. Les vecteurs propres aléatoires sont décomposés sur une base formée des vecteurs propres déterministes et des sensibilités de ces vecteurs propres calculées à lavaleur nominale des paramètres aléatoires d’entrée.

Méthode des Eléments Finis Spectraux Stochastiques

La méthode des Eléments Finis Spectraux Stochastiques (SSFEM) a été introduite par Ghanem et Spanos [Ghanem et Spanos 1990] à partir des travaux initiés par Wiener [Wiener 1938]. L’idée consiste à discrétiser les variables aléatoires du problème sur un espace fini engendré par une base de fonctions aléatoires. Les variables aléatoires sont ainsi généralement décomposées sur une base de polynômes multi-variés orthogonaux, fonctions de variables aléatoires de distribution connue. Cette base est appelée Chaos Polynomial.
Par exemple, pour les problèmes dont les paramètres d’entrée sont assimilables à des variables aléatoires gaussiennes, la base la mieux adaptée à la décomposition sur le ChaosPolynomial est composée des polynômes d’Hermite multivariés [Ghanem et Spanos 2003].
En effet, cette base assure une convergence rapide et une bonne estimation des variables aléatoires recherchées. Lorsque les paramètres d’entrée ne sont pas gaussiens, d’autres bases de décomposition ont été développées afin d’assurer une convergence optimale de l’approximation [Xiu et Karniadakis 2003]. Une fois la base de décomposition choisie, il reste à déterminer les coefficients correspondants à la variable aléatoire recherchée. Une première méthode, proposée par Ghanem et Gosh [Ghanem et Ghosh 2007], consiste à estimer ces coefficients à l’aide d’un échantillonnage de Monte-Carlo couplé à une méthode de Galerkin. Cependant, cette méthode souffre de sa sensibilité à la qualité du générateur de nombres aléatoires utilisé et devient vite très coûteuse dès lors que des polynômes d’ordres élevés sont nécessaires ou que le nombre de paramètres aléatoires devient important [Gha-1. E[•] et σ[•] sont définis comme étant respectivement les espérance et écart-type d’une variable aléatoire nem et Ghosh 2002 ; Ghosh, Ghanem et Petit 2003]. Afin de surmonter ces inconvénients, Ghanem et Gosh [Ghanem et Ghosh 2007] proposent une seconde approche basée sur une méthode de Galerkin permettant de déterminer les coefficients de la décomposition en se ramenant à un jeu d’équations non-linéaires mais déterministes. Cette méthode nécessite alors l’utilisation d’algorithmes de résolution de problèmes non-linéaires (type Newton-Raphson). D’autres méthodes dites de Chaos creux, permettent de rendre ce type d’approche moins contraignantes à implémenter. Cependant, le principal inconvénient des méthodes basées sur le Chaos Polynomial est leur coût lorsque le nombre de paramètres aléatoires augmente et que des polynômes d’ordre élevé sont requis.

Caractérisation et simulation du comportement vibratoire d’une structure assemblée

Introduction

Ce travail se concentre sur l’étude vibratoire des structures assemblées qualifiées de légères. Ces structures sont ici assimilées à des structures globalement linéaires présentant des non-linéarités localisées au niveau des liaisons. Cette hypothèse se justifie par le fait que, en dehors des liaisons, ces structures sont généralement constituées d’éléments de grandes dimensions (comparées à l’échelle des liaisons) dont le comportement est globalement linéaire (petites déformations, domaine élastique linéaire des matériaux, etc). En terme de simulation, la majeure partie d’une structure assemblée peut donc être facilement discrétisée par éléments finis et les méthodes de résolution linéaires classiques peuvent être appliquées directement. Les liaisons ont une influence non négligeable sur le comportement de la structure assemblée. Les phénomènes intervenant au niveau des interfaces de contact des liaisons sont non-linéaires ce qui peut induire certaines difficultés lors de la simulation de la structure. On pense notamment au temps de calcul nécessaire à la prise en compte de ces non-linéarités, temps de calcul d’autant plus important que le nombre de liaisons de la structure assemblée est important. Comme évoqué précédemment, le comportement de la structure assemblée globale restant très proche du domaine linéaire, il sera ainsi possible d’envisager certaines simplifications pour simuler le comportement de la structure assemblée en tenant compte de l’influence des liaisons.
Il existe de nombreuses géométries de liaison dépendantes des sous-structures à assembler, du type de sollicitation, du régime de fonctionnement attendu pour le système étudié, de son environnement, etc. Le choix d’une structure conditionne donc nécessairement le type de liaison étudié. Il semble difficile de définir une approche unique valide pour n’importe quelle structure assemblée. Dans le cadre de ce travail, on se focalisera sur l’étude d’une structure représentative des structures légères : un portique encastré à sa base et constitué de trois barres liées entre elles par des liaisons boulonnées. Un schéma de cette structure est présenté Figure 2.1 page 45.
L’objectif de ce chapitre est de mettre en place les outils nécessaires à la simulation du comportement vibratoire nominal d’une structure assemblée. Pour cela, trois étapes ont été mises en évidence au chapitre 1. La première consiste à identifier un modèle physique permettant de prendre en compte les phénomènes prépondérants influant sur le comportement d’une liaison dans un contexte donné (on s’intéresse ici au cas d’un portique boulonné dont les liaisons sont principalement sollicitées en flexion). Une fois ce modèle physique choisi, il est nécessaire d’identifier les paramètres du modèle correspondant au type de liaisons étudiées. Enfin, ce modèle peut être intégré à un modèle global de structure assemblée afin de simuler le comportement complet de la structure étudiée.
Le choix de chacune des étapes de la démarche est intimement lié à la structure étudiée.
Cela rejoint le raisonnement de Bograd et al. [Bograd et al. 2011] d’après lesquels, afin de simuler le comportement d’une structure assemblée, un modèle dédié doit être identifié et une technique d’identification adaptée doit être choisie pour évaluer les paramètres du modèle et ce pour chaque caractéristique de la liaison dont on souhaite tenir compte. Avant de s’arrêter sur un choix de modèle de liaison adapté à la structure considérée (ici le portique de référence présenté Figure 2.1), on choisit de procéder dans un premier temps à une phase d’analyse expérimentale du comportement d’une configuration simplifiée de portique. Cette
Caractérisation et simulation du comportement vibratoire d’une structure assemblée étape préliminaire a pour but de définir les limites des phénomènes observables pour ce type de structure et ainsi choisir un modèle de liaison de complexité adaptée aux observations expérimentales.
La première partie de ce chapitre présente la démarche expérimentale suivie ainsi que la caractérisation des différents éléments du dispositif expérimental utilisé. Cette étape préliminaire permet notamment de réduire les sources d’incertitudes dues aux conditions expérimentales et pouvant intervenir lors de l’identification du modèle de liaison. Afin d’identifier un modèle de liaison adapté au comportement observable des liaisons considérées, une phase d’analyse expérimentale est alors mise en place en deuxième partie de ce chapitre. Cette étape permet d’identifier un modèle de liaison « juste suffisant » permettant de rendre compte du comportement observé expérimentalement avec un coût de calcul minimal. Une fois le modèle de liaison choisi, ses paramètres peuvent être identifiés et la simulation du comportement vibratoire de la structure peut être effectuée. Ces dernières étapes de la démarche sont mises en place en dernière partie de ce chapitre.

Caractérisation du dispositif expérimental utilisé

L’objectif de cette partie est de caractériser le dispositif expérimental permettant d’évaluer l’influence des liaisons sur le comportement vibratoire de la structure globale étudiée (le portique présenté Figure 2.1). L’influence des liaisons sur le comportement de la structure peut être obtenue par analyse différentielle en comparant la structure assemblée à une structure monolithique équivalente. La différence de comportement observée entre les deux structures peut ainsi être imputée à la présence des liaisons. Les grandeurs influant principalement sur le comportement d’une liaison sont la pression au niveau de l’interface de contact et la surface effective de contact [Ames et al. 2009 ; Heller, Foltête et Piranda 2009 ; Ibrahim et Pettit 2005]. Ces grandeurs sont directement liées au serrage (ou précharge) de la liaison et à l’amplitude de la sollicitation appliquée à la liaison. Le dispositif expérimental doit donc permettre d’évaluer et idéalement de contrôler ces grandeurs. Afin de contrôler l’effort de serrage dans les liaisons du portique, on choisit de se doter de vis instrumentées. L’amplitude de la sollicitation appliquée aux liaisons est directement liée à l’amplitude d’excitation de la structure globale. On cherchera alors à évaluer le comportement de la structure pour différents niveaux d’excitation.
Après une présentation du protocole expérimental permettant de caractériser l’influence des liaisons sur le comportement du portique, on propose de caractériser les vis instrumentées permettant de mesurer et contrôler l’effort de serrage de chaque liaisons. Les conditions expérimentales seront ensuite étudiées en détail afin de réduire les sources de variabilité associées qui pourraient remettre en cause la caractérisation du comportement des liaisons.

Etalonnage des vis

Afin de mesurer avec précision l’effort de serrage appliqué à la liaison, on choisit d’instrumenter les vis utilisées à l’aide de jauges de déformation positionnées sur le fût de la vis.
Afin de garantir une mesure de la déformation due uniquement à l’effort normal appliqué au fût de la vis, on choisit d’utiliser une paire de jauges parallèles à l’axe de la vis. On peut montrer qu’un défaut de perpendicularité de l’axe de la vis par rapport à la surface plane sous la tête de vis ou un défaut de désaxage du point d’application de l’effort de traction peut conduire à une contrainte normale due à la flexion de la vis non négligeable devant la contrainte normale due au seul effort de traction. A titre d’exemple, pour les vis instrumentées réalisées au laboratoire, la partie du fût de la vis sur laquelle ont été collées les jauges a été usinée à un diamètre de 6.2 mm. Lorsque la vis est soumise à un effort de traction colinéaire à l’axe de la vis mais désaxé par rapport à cet axe, la vis travaille alors à la fois en traction et en flexion. Le rapport entre la déformation longitudinale du fût de la vis au niveau du point de mesure due à la flexion et la déformation longitudinale due à la traction seule est de 1.3 pour un défaut de 1 mm. Le même rapport peut être calculé dans le cas d’un défaut d’orthogonalité entre la surface sous la tête de vis et l’axe de la vis. Pour un défaut de perpendicularité de 1 , le rapport des déformations dues à la flexion induite par le défaut et la déformation due à la traction est de 0.45. Pour s’affranchir de cette source d’erreur de mesure, les jauges sont positionnées sur le fût de la vis de manière à être diamétralement opposées. L’utilisation d’un demi pont de Wheatstone permet d’annuler directement la déformation due à la flexion. Le branchement du pont est présenté sur la Figure 2.4.
Outre l’erreur de mesure due à la flexion, compensée par l’utilisation de deux jauges diamétralement opposées, le mauvais positionnement des jauges sur le fût de la vis peut également induire une erreur de mesure. Afin de minimiser l’influence de cette erreur sur la mesure, une expression de cette erreur en fonction du défaut de positionnement angulaire ou de coaxialité des jauges peut être obtenue analytiquement mais la compensation de cette erreur nécessiterait alors de connaître finement les défauts réels du capteur après collage des jauges. Ces grandeurs sont difficilement mesurables. On choisit donc de procéder à un étalonnage des vis instrumentées afin de déterminer les courbes caractéristiques P = f () = k de chacune des vis, où P est la précharge appliquée à la vis et la déformation des jauges de déformations dans leur configuration collée réelle.

Table des matières
Introduction 
1 Outils de caractérisation vibratoire robuste des structures assemblées
1.1 Introduction
1.2 Modèles de comportement
1.2.1 Modèles constitutifs
1.2.2 Modèles rhéologiques
1.3 Méthodes d’identification des paramètres de liaison
1.4 Méthodes de simulation déterministe d’une structure assemblée complète
1.5 Prise en compte de la variabilité des paramètres de liaison
1.5.1 Méthodes de perturbation
1.5.2 Méthode des Eléments Finis Spectraux Stochastiques
1.5.3 Bilan
1.6 Approche retenue
2 Caractérisation et simulation du comportement vibratoire d’une structure assemblée 
2.1 Caractérisation du dispositif expérimental utilisé
2.1.1 Présentation de la démarche expérimentale : Analyse différentielle du portique
2.1.2 Caractérisation de vis instrumentées pour la mesure de l’effort de serrage dans une liaison
2.1.2.1 Spécification des vis instrumentées
2.1.2.2 Etalonnage des vis
2.1.3 Caractérisation des conditions expérimentales
2.1.3.1 Identification des paramètres matériaux de la structure réelle
2.1.3.2 Caractérisation des conditions d’encastrement
2.1.3.3 Choix des conditions d’excitation
2.1.3.4 Modélisation du stinger
2.2 Identification d’un modèle de liaison
2.2.1 Analyse expérimentale des paramètres de liaison
2.2.1.1 Identification des fréquences propres et de l’amortissement modal du portique expérimental
2.2.1.2 Premières observations expérimentales
2.2.1.3 Influence du serrage de la liaison et de l’amplitude d’excitation sur le comportement expérimental du portique
2.2.1.4 Conclusions vis-à-vis du modèle de liaison
2.2.2 Identification de la raideur de liaison
2.2.2.1 Identification par minimisation d’erreur
2.2.2.2 Identification directe (ou par analyse différentielle)
2.3 Simulation du comportement vibratoire d’une autre configuration de portique
2.3.1 Modélisation du second portique muni d’une seule liaison
2.3.2 Validation du modèle de comportement de la liaison
2.4 Conclusion
3 Réduction de Modèles Stochastiques pour la caractérisation robuste du comportement vibratoire des structures assemblées
3.1 Introduction
3.2 Caractérisation des fréquences propres aléatoires d’une structure par l’approche de Réduction de Modèles Stochastiques
3.2.1 Définition du problème aux valeurs propres aléatoires
3.2.2 L’approche de Réduction de Modèles Stochastiques (SMR)
3.2.2.1 Hypothèse fondatrice de l’approche SMR
3.2.2.2 Premier niveau de raffinement : SMR1
3.2.2.3 Deuxième niveau de raffinement : SMR2
3.2.2.4 Comparaison avec la méthode de perturbation à l’ordre 2
3.2.3 Implémentation de l’approche SMR
3.2.3.1 Application au cas d’un structure réelle
3.2.3.2 Définition d’un Facteur de Proximité entre deux valeurs propres aléatoires
3.2.3.3 Calcul de sensibilité des vecteurs propres
3.2.3.4 Implémentation de la méthode de calcul de sensibilité des vecteurs propres
3.2.3.5 Implémentation de l’approche SMR couplée avec le logiciel éléments finis MSC Nastran
3.2.3.6 Modélisation stochastique des paramètres incertains
3.3 Applications de l’approche SMR
3.3.1 Système à trois degrés de liberté
3.3.1.1 Modélisation stochastique
3.3.1.2 Estimation des premiers moments statistiques et densité de probabilité pour des valeurs propres aléatoires distinctes ou proches
3.3.1.3 Comparaison de l’approche SMR à une méthode classique de perturbation à l’ordre deux
3.3.1.4 Caractérisation du facteur de proximité
3.3.2 Une structure simple modélisée par éléments finis : un portique
3.3.2.1 Modélisation stochastique du portique
3.3.2.2 Illustration « visuelle » de l’hypothèse fondatrice de l’approche SMR
3.3.2.3 Estimation des cinq premières valeurs propres aléatoires du portique
3.3.2.4 Estimation des 25 premières valeurs propres du portique
3.3.3 Une structure industrielle : l’Adaptateur Charge Utile d’Ariane
3.3.3.1 Modélisation stochastique
3.3.3.2 Résultats numériques
3.4 Conclusion
3.4.1 Validation de l’approche SMR
3.4.2 Application au cas d’un portique dont les paramètres aléatoires influent localement
4 Réduction robuste des vibrations d’un portique 3 barres
4.1 Introduction
4.2 Modélisation stochastique d’une liaison boulonnée à partir de résultats expérimentaux
4.2.1 Identification des premiers moments statistiques des variables aléatoires associées aux paramètres de liaison
4.2.2 Application de l’approche SMR au cas du portique muni d’une seule liaison
4.3 Cas d’un portique muni de plusieurs liaisons
4.3.1 Portique muni de deux liaisons
4.3.1.1 Campagne expérimentale
4.3.1.2 Simulation stochastique du comportement du portique muni de deux liaisons
4.3.2 Portique entièrement boulonné
4.3.2.1 Campagne expérimentale
4.3.2.2 Simulation stochastique du comportement du portique entièrement boulonné
4.4 Réduction robuste des vibrations d’une structure assemblée
4.4.1 Stratégie de réduction des vibrations d’une structure assemblée
4.4.2 Faisabilité de la réduction robuste du niveau vibratoire d’un portique boulonné par la stratégie proposée
4.4.2.1 Influence de la raideur kX de la liaison pilotée
4.4.2.2 Influence de la raideur k Y de la liaison pilotée
4.4.2.3 Influence de la raideur k θ de la liaison pilotée
4.4.3 Evaluation expérimentale de la faisabilité de la stratégie de réduction des vibrations du portique assemblé
4.4.3.1 Ajout d’un patin en polytétrafluoroéthylène (PTFE)
4.4.4 Modifications heuristiques de la liaison pilotée
4.4.4.1 Décallage de la position verticale de la liaison pilotée par rapport au troisième mode plan du portique
4.4.4.2 Positionnement de l’axe de la liaison orthogonalement au plan des modes étudiés
4.5 Conclusion
Conclusion 
Bibliographie
Annexes

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