Réduction de modèle pour les problèmes paramétriques linéaires

Réduction de modèle pour les problèmes paramétriques linéaires

De nombreux formats de données permettent de surmonter la « malédiction de la dimensionnalité », les plus classiques sont introduits dans ce chapitre avant de discuter en détail de la construction d’une structure adaptée aux problèmes mécaniques à paramètres distribués. Ensuite, différents algorithmes classiques de réduction de modèle sont présentés dans le contexte multi-paramétrique. Est illustrée en particulier la PGD et ses limites pour les grands nombres de paramètres.

La représentation de champs à grand nombre de dimensions et la résolution d’équations aux dérivées partielles (EDP) à grands nombres de paramètres semblent être deux problématiques différentes. Nous montrons en préambule de ce chapitre que ces deux catégories de problèmes sont finalement très proches. En effet, les différentes représentations de données possibles sont très liées à leur utilisation pour résoudre des EDP mécaniques grâce aux méthodes de réduction de modèle. Il est justifié de différencier le format retenu de la démarche de résolution pour des méthodes établies sur des bases réduites telles que la POD. Au contraire, la PGD par exemple ne peut se concevoir sans le format à variables séparées qui lui est associé. Par ailleurs, les formats compacts de représentation de données en grandes dimensions ne sont généralement que des approximations de champs exacts. On a de fait deux problématiques identiques, on cherche à approcher un champ multidimensionnel connu sous une forme explicite (approximation d’un champ donné) ou non (approximation d’une solution d’EDP).

Formellement il s’agit simplement de minimiser une fonctionnelle potentiellement plus complexe. Résoudre une équation via un modèle réduit et représenter un champ connu de manière compacte sont donc deux problèmes de même nature. Les méthodes appliquées sont cependant différentes et l’étude particulière des formats utilisés s’appuie sur les outils de l’analyse tensorielle, vaste domaine des mathématiques appliquées qui mérite d’être discuté en détails. On séparera donc dans ce chapitre l’étude des formats de données de la présentation des méthodes de réduction de modèle.

Remarque 1 (Problèmes espace-paramètres) Cette thèse traite de problèmes multiparamétriques et les exemples présentés sont des problèmes de statique. Toutes les méthodes de réduction introduites dans ce chapitre sont traitées dans ce contexte bien que la majorité d’entre elles aient été à l’origine développées dans un cadre mono ou bidimensionnel afin notamment de résoudre des problèmes spatio temporels.

Remarque 2 (Grand nombre de dimensions) On considère dans le présent manuscrit qu’un problème a un « grand nombre de dimensions » lorsqu’on atteint les limites liés à la « malédictions de la dimensionnalité » , ce qui apparait en général entre 5 et 10 dimensions suivant la complexité des problèmes traités.

« Malédiction de la dimensionnalité »

Pour concevoir des algorithmes de réduction de modèle à grands nombres de paramètres, il a fallu retenir un problème à mettre en œuvre numériquement qui permette de les tester. Deux critères principaux ont été retenus pour le choisir :
– La simplicité : le problème modèle doit être rapide à implémenter et doit permettre de mettre en avant les particularités et difficultés liées aux grands nombres de paramètres. Il doit être contrôlé et ne pas présenter de sources d’incertitudes qui masqueraient les caractéristiques que l’on veut isoler.
– La richesse : le problème modèle ne doit pas être un cas particulier dégénéré. Il doit permettre d’observer toutes les difficultés liées aux grands nombres de paramètres et bien représenter la diversité des situations qui peuvent se présenter. C’est pour la première raison qu’on a choisi de retenir un problème linéaire de statique. Sans intégration temporelle et sans comportement non-linéaire, la seule source d’erreur est la discrétisation spatiale. On va donc considérer que la solution discrétisée est notre référence. C’est par rapport à celle-ci qu’on définira la précision des modèles réduits construits.

La recherche de problèmes suffisamment riches nous a poussé à choisir des paramètres matériaux locaux. En décomposant le domaine spatial ≠ en sous domaines ≠E , chacun associé à un paramètre matériau µE , on peut augmenter le nombre de paramètres à volonté et donc la dimension de l’espace de résolution. Par ailleurs, le choix de paramètres locaux n’est pas une limitation en soi : un paramètre global peut toujours être décomposé localement sur un ensemble de paramètres distribués. C’est ce qui est fait grâce à des polynômes dans [Bachmayr et al., 2017], ce qui augmente l’efficacité des méthodes de réduction étudiées. Enfin, en agissant directement sur la loi de comportement, les paramètres matériaux sont délicats à prendre en compte et imposent d’écrire des algorithmes généraux qui pourraient être adaptés facilement à des paramètres plus simples comme par exemple les conditions limites ou initiales.

Formats de données en grandes dimensions

Séparation de variables et Analyse en Composantes Principales

En supposant que l’on se contente d’une approximation de la solution sur M modes, le nombre de données à stocker est alors réduit à M.(d + Np.nE ). Il est non seulement bien inférieur à celui de l’ensemble complet de toutes les solutions possibles pour des nombres raisonnables de modes mais en plus il n’augmente plus que linéairement en fonction du nombre de paramètres. Historiquement ce type de représentations a été introduit en dimension 2 grâce notamment aux outils de l’analyse matricielle qui permettent via une SVD (Singular Value Decomposition) de séparer deux dimensions [Stewart, 1993]. A plus de deux dimensions, ces outils peuvent toujours être utilisés, mais en donnant plus d’importance à une des variables. On choisit souvent l’espace qui a le plus de degrés de liberté et les variations les plus complexes. On s’intéressera dans la suite de cette partie uniquement à des champs représentés de manière discontinue.

Tenseurs : formats génériques

Il existe plusieurs formats adaptés au stockage et à la manipulation des données discrétisées de dimensions supérieures à 2. Les tenseurs, généralisations à N dimensions des matrices, peuvent être considérés comme des tableaux de dimension N que l’on cherche dans cette partie à stocker de manière optimale. L’analyse numérique des tenseurs (Numerical Tensor Analysis) est un vaste domaine des mathématiques appliquées né, dans les années 1940, de la recherche d’une généralisation en dimension supérieure à 3 du concept matriciel de SVD [Cattell, 1944, Tucker, 1966]. Les tenseurs de Tucker donnent la représentation compacte la plus proche de l’esprit d’une SVD mais ne permettent pas de s’affranchir de la « malédiction de la dimentionnalité ». Au contraire, la forme canonique d’un tenseur, basée sur l’hypothèse d’une séparation de variables, permet une forte compaction de données séparables.

Forme canonique, formulation à variables séparées
La représentation d’un champ multidimensionnel sous forme de produit à variables séparées est une technique simple permettant de contourner la « malédiction de la dimensionnalité ». D’un point de vue tensoriel, cette approximation est généralement nommée décomposition canonique ou décomposition CP (Canonical Polyadic). Elle peut redonner de manière exacte la valeur du tenseur initial, on nommera alors r le nombre minimal de modes nécessaires, c’est le rang du tenseur. Cependant, pour les applications mécaniques visées, seule une approximation des champs est nécessaire et on se contentera systématiquement d’une troncature de la décomposition canonique.

Vocabulaire
La diversité des noms de formats et des méthodes permettant de les obtenir ne reflète pas toujours la richesse réelle des formulations utilisées. Comme nous l’avons vu dans la partie précédente avec la PCA et la transformation de Karhunen-Loève qui représente la même méthode en dimension finie, de nombreuses formulations similaires portent des noms différents en fonction de leur origine ou de leur application. Pour le cas particulier qui nous intéresse, nous avons vu que les formulations à variables séparées, ou « forme PGD » en mécanique du solide, se nomment différemment dans le domaine de l’analyse tensorielle : décomposition canonique (canonical decomposition, abrégé CANDECOMP dans [Carroll et Chang, 1970]), facteurs parallèles (parallel factors, ou PARAFAC dans [Harshman, 1970]), deux noms regroupés dans les années 2000 par [Kiers, 2000] pour donner le format CP (CANDECOMP/PARAFAC) qui peut parfois être interprété comme « Canonical Polyadic » en reprenant l’appellation historique introduite dans [Hitchcock, 1927].

Table des matières

Introduction
1 Réduction de modèle pour les problèmes paramétriques linéaires
1 « Malédiction de la dimensionnalité »
1.1 Problème modèle
1.2 Dimension de la solution
2 Formats de données en grandes dimensions
2.1 Séparation de variables et Analyse en Composantes Principales
2.2 Tenseurs : formats génériques
2.2.1 Forme canonique, formulation à variables séparées
2.2.2 Technique de calcul : PGD
2.2.3 Technique de compression : CP-ALS
2.2.4 Format de Tucker
2.2.5 Diagrammes tensoriels et autres formats génériques
2.3 Format adapté aux problèmes mécaniques multiparamétriques
2.3.1 Principe de Saint-Venant
2.3.2 Développement de la solution
2.3.3 Format retenu
3 Résolution d’EDP : construction a priori de bases adaptées
3.1 POD : Proper Orthogonal Decomposition
3.2 RB : Reduced Basis
3.3 Méthodes d’hyper-réduction
4 La PGD, Proper Generalized Decomposition
4.1 Algorithmes gloutons classiques
4.1.1 Progressive Galerkin PGD
4.1.2 Minimal Residual PGD
4.2 Limites pour les grands nombres de paramètres
2 PGD multiéchelle en paramètres : méthodologie discontinue
1 Discrétisation spatiale discontinue
1.1 Méthodes discontinues
1.1.1 Méthodes de Trefftz
1.1.2 WTDG : Construction de la formulation
1.1.3 DG : application aux problèmes elliptiques
1.2 Mise en œuvre de la WTDG
1.2.1 Choix d’une base
1.2.2 Résultats tridimensionnels
2 La Parameter-Multiscale PGD
2.1 Justification théorique et construction de l’algorithme
2.1.1 Initialisation
2.1.2 Correction des erreurs locales
2.1.3 Structure de l’algorithme
2.2 Résultats et discussion
2.2.1 Le cas particulier monodimensionnel en espace
2.2.2 Résultats tridimensionnels en espace
2.3 Influence des paramètres de l’algorithme
2.3.1 Troncature
2.3.2 Influence des variations paramétriques
2.4 Limites de l’algorithme
3 PGD multiéchelle en paramètres compatible avec les EF
1 Compensation de l’erreur
1.1 Discrétisation du problème
1.2 Erreur et admissibilité au sens des EF
1.2.1 Respect de la loi de comportement
1.2.2 Correction globale de l’erreur
2 Construction de l’algorithme et implémentation
2.1 Vision continue en paramètres
2.2 Algorithme détaillé et discrétisation de l’espace paramétrique
2.2.1 Problème bidimensionnel espace-paramètre
2.2.2 Mise à jour de l’erreur et de la solution
2.3 Résultats
2.3.1 Différents estimateurs d’erreur
2.3.2 Résolution exacte
2.3.3 Convergence et analyse du cas à 60 paramètres
2.4 Paramètres de l’algorithme
2.4.1 Choix du voisinage
2.4.2 Influence de la géométrie
2.4.3 Influence des variations paramétriques
2.4.4 Compression de la solution
3 Comparaison avec la méthodologie discontinue
4 Résultats et applications
1 Grands nombres de degrés de libertés, grands nombres de paramètres
1.1 Cas-tests de grandes dimensions
1.1.1 Contrôle de la CP-ALS
1.1.2 Compression par groupes de modes
1.2 Résultats à très grand nombre de paramètres
1.2.1 Options de la méthode et résultats
1.2.2 Manipulation des solutions
1.3 Performances de la méthode
2 Problèmes inverses
2.1 Méthode retenue
2.1.1 Problème modèle
2.1.2 Résolution
2.1.3 Bruit et nombre de points de mesure
2.2 Résultats et performances
2.2.1 Utilisation du modèle réduit
2.2.2 Performances
Conclusion

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