Recherche et utilisation de méthodes analytiques inverses pour des problèmes couplés thermo élastiques

Le procédé de laminage

Le laminage est l’un des procédés de fabrication majeur de l’industrie de l’acier et de l’aluminium. Le principe fondamental du procédé est de déformer plastiquement le produit entre deux cylindres tournants, qui sont nommés cylindres de travail. Nous présentons uniquement le laminage des produits plats (tôle plus ou moins épaisse allant de la dizaine de centimètres à quelques centaines de micromètres d’épaisseur). Il existe beaucoup d’autres types de laminage (de poutres par exemple), mais ceux-ci ne sont pas considérés dans cette présentation générale. Dans le cas de l’industrie de l’acier, les cylindres de travail ont une largeur variant entre un et deux mètres et un diamètre variant entre 40 et 70 centimètres. Le cylindre de travail est massif, le plus souvent constitué de fonte en coeur et d’acier en superficie. Il s’agit d’un outil cher et dont la manipulation prend du temps en raison de sa masse importante. Chaque cylindre de travail a une forme assez complexe à ses extrémités (nommée tourillon et manchons), lui permettant d’être emmanché dans un axe de rotation motorisé. Une pression importante est exercée sur les cylindres de travail pour déformer plastiquement le produit. Cette pression est le plus souvent assurée par deux autres cylindres (de rayon plus élevé) nommés cylindres d’appui. Ce montage stabilise l’ensemble et limite la flexion des cylindres de travail ainsi que les vibrations (phénomène de broutage). Cependant certains petits laminoirs ne sont pas équipés de cylindres d’appui, la pression étant directement exercée au niveau de l’axe de rotation des cylindres de travail. C’est le cas notamment du laminoir de laboratoire dit « pilote » du centre de recherche d’ArcelorMittal à Maizières-les-Metz.

Le procédé peut être effectué à chaud (produit à 1300 K environ) pour les fortes épaisseurs (tôles appelées brame de 30 cm à des épaisseurs de l’ordre du centimètre) ou à froid (produit à 400 K) pour les épaisseurs plus faibles (tôles minces de quelques millimètres à quelques centaines de microns). Les températures indiquées dépendent assez largement de la nuance d’acier laminée, et modifient la structure cristalline du produit. Il existe un transfert thermique important entre le produit et le cylindre de travail, il est donc nécessaire de refroidir ce dernier en aspergeant de l’eau, une pièce supplémentaire assure que l’eau s’évacue sans s’écouler sur le produit. Par ailleurs une émulsion d’eau et d’huile est projetée à l’entrée de l’emprise pour lubrifier le contact. Une tension est également exercée sur la tôle grâce à un cylindre autour duquel s’enroule le produit laminé en fin de procédé. Ce cylindre est appelé la bobineuse. Un dernier cylindre appelé cylindre de planéité sert de support au produit avant de s’enrouler autour de la bobineuse.

Modélisation prédictive

La qualité du produit se mesure en termes de planéité  , de qualité de surface (fissures etc…) et de constance de l’épaisseur de sortie. Les différents matériaux laminés (aciers peu ou fortement alliés, à faible ou fort taux de carbone, aciers inoxydables ou spéciaux) présentent des propensions différentes aux défauts. La vitesse de rotation des cylindres de travail, la force de laminage (pression exercée par les cylindres d’appuis), la vitesse d’entrée du produit ainsi que sa température initiale, le débit et l’orientation du système de refroidissement et la lubrification sont autant de paramètres qui déterminent la qualité du produit.

Le procédé de laminage est bien antérieur à toute compréhension rationnelle des phénomènes mis en jeu. L’empirisme est donc l’approche première (des années 30 aux années 70) qui permit d’établir des lois expérimentales d’application et de précision très restreintes (applicables à certaines conditions de laminage). Cependant l’industrie contemporaine combine des vitesses de rotation plus élevées, des taux de réduction d’épaisseur du produit plus importants et surtout des aciers plus durs. Nous sortons alors du champ d’application des lois empiriques, ce qui motive le développement de simulations numériques. En effet, des phénomènes complexes interviennent au niveau du contact entre le produit et le cylindre de travail. Sans une bonne compréhension de ces phénomènes, les dispositifs de contrôle, le système de refroidissement et de lubrification restent non-optimisés. Ainsi, il existe des recherches très abondantes dans le domaine de la simulation numérique du procédé de laminage. Celles-ci permettent de prédire l’évolution des paramètres importants pour la qualité du produit, pendant la déformation plastique de celui-ci. La conception des systèmes de refroidissement etc… est par ce biais améliorée. Ces simulations sont de plus en plus fines et couplent les comportements du produit et des cylindres. Le produit nécessite une modélisation thermo-visco plastique. Les différents cylindres restent quant à eux en régime thermo-élastique. Beaucoup d’auteurs se concentrent sur la modélisation du procédé de laminage par éléments finis (le plus souvent). L’un des premiers outils permettant le couplage de la bande et du cylindre a été proposé par Hacquin (1996). Ce modèle a donné lieu à un logiciel appelé Lam3/Tec3 développé par le Cemef, Transvalor, ArcelorMittal Research et Alcan, et résout le problème thermo-elastique-viscoplastique de la bande par calcul aux éléments finis 3D (ou 2D) et résout le problème thermoélastique du cylindre par des calculs semi-analytiques. Jiang and Tieu (2001) ont proposé un modèle 3D aux éléments finis pour résoudre le problème en régime rigide-plastique. Plus récemment Montmitonnet (2006) a proposé un modèle couplé pour le laminage à chaud et à froid. Un modèle assez exhaustif adapté pour le laminage à chaud a été développé par Wang et al. (2009). En outre Abdelkhalek et al. (2011) a utilisé Lam3/Tec3 pour y ajouter un calcul en flambement pour les contraintes dans la bande au niveau de la sortie de l’emprise, de manière à prédire avec précision les défauts de planéité du produit.

Contact mécanique

La modélisation du contact entre le produit et le cylindre de travail est particulièrement délicate. En effet, il s’agit d’un problème de contact lubrifié, faisant intervenir une loi de frottement qu’il faut choisir, par exemple une loi de Coulomb de Tresca ou de Norton. Ce choix n’est pas sans incidence sur les résultats du modèle. Par ailleurs, comme nous l’avons déjà dit plus haut, ce contact résulte d’un couplage entre le produit sous régime thermo-visco-plastique et le cylindre de travail sous régime thermo élastique, il faut donc tenir compte de leurs déformations respectives.

Il apparaît par ailleurs que la vitesse relative entre le produit et le cylindre de travail n’est pas uniforme. En effet considérons le cas du laminage à froid où le produit est donc relativement dur. En début d’emprise, la vitesse tangentielle du cylindre est plus élevée que celle du produit, le cylindre est donc moteur, cette vitesse relative évolue à mesure que l’on avance dans l’emprise puis s’annule en un point appelé point neutre. Au-delà du point neutre la vitesse relative change de signe et le produit devient donc moteur. Ce fait s’explique par l’incompressibilité de la déformation plastique, c’est-à-dire la conservation du débit volumique (si l’on néglige la variation de volume élastique). Cela se traduit par une discontinuité des cisaillements dans l’emprise. Nous pouvons noter le fait remarquable que ce changement de signe des cisaillements explique le fait qu’il faille imposer une pression de laminage sur le cylindre de travail plus élevée que la contrainte d’écoulement du produit. En effet, si l’on considère le cylindre soumis à des cisaillements positifs jusqu’au point neutre puis négatifs au-delà, cela crée une résultante quasi-verticale qu’il faut naturellement compenser par une surpression au niveau du cylindre d’appui.

En d’autres termes, les cisaillements dans le contact entre le produit et le cylindre de travail résistent à la plastification du produit. Cependant le frottement est nécessaire au procédé dans la mesure où la bande est entraînée par frottement, il est donc impossible de laminer sans frottement, ainsi la position du point neutre et la quantification des cisaillements est primordiale pour bien optimiser la force de laminage et le niveau de lubrification. Pour le cas du laminage à chaud, les simulations numériques démontrent un autre mode de fonctionnement. Le produit étant beaucoup plus mou, il existe non pas un point neutre où l’on observe le changement brutal de signe de la vitesse relative entre le cylindre de travail et le produit, mais une zone neutre ou zone collante (qui peut éventuellement être discontinue), où la vitesse tangentielle du cylindre est la même que celle du produit. Les paramètres de laminages tels que la force de laminage, la lubrification (qui joue directement sur la loi de frottement) modifie très significativement la position du point neutre ou de la zone neutre. Par ailleurs, des irrégularités ou des défauts du produit se traduisent par une modification locale du profil de contrainte et de cisaillement surfacique dans l’emprise, mais restent très difficiles à appréhender numériquement. Les profils de pression et de cisaillement dans l’emprise ont une importance capitale du point de vue industriel.

Transfert thermique

Le transfert thermique est également difficile à modéliser correctement. Le contact entre le produit et le cylindre de travail fait l’objet d’une conduction de la chaleur, le frottement important et la déformation plastique du produit sont également des sources de chaleur à prendre en compte. Dans le cas du laminage à chaud la très haute température du produit implique aussi un transfert thermique par radiation. La lubrification et le système de refroidissement agissent comme une convection forcée pour le cylindre, tandis que l’air ambiant agit comme une convection libre. Ainsi de très nombreux types de transferts thermiques sont à envisager. A cela nous devons ajouter le fait que les coefficients de transfert thermique, qui permettent de caractériser le contact thermique entre le produit et le cylindre, sont à déterminer expérimentalement. Ces coefficients sont variables selon le type de contact (nuance d’acier, rugosité etc…) et varient le long du contact entre le cylindre et le produit en raison de la variation du profil de pression dans l’emprise  . Il existe ainsi dans les modèles prédictifs numériques une part d’arbitraire sur le choix de ces coefficients de transfert thermique de la même manière que la loi de frottement pour le contact mécanique. Les modèles numériques approchant ces problématiques montrent que l’emprise fait l’objet de gradients thermiques très forts. De plus un régime pseudo périodique semble s’installer, c’est-à-dire que la carte des températures (considérée dans un référentiel fixe) varie peu au cours du temps, cela revient à dire que l’on peut décrire la thermique du procédé à l’aide d’un régime permanent et d’un terme de dérive .

Les problèmes de transferts thermiques pendant le procédé de laminage sont fondamentaux du point de vue industriel. En effet, les gradients très élevés et cycliques (dus à la rotation des cylindres) sont responsables d’une usure en fatigue thermique, qui est observée sous forme de « griffes de chaleur » à la surface des cylindres. La qualité de surface du produit est très liée à l’apparition de tels défauts, et ainsi la durée de vie des cylindres est conditionnée par ces phénomènes de fatigue. Par ailleurs, le profil de température étant non-homogène dans l’axe du cylindre, les dilatations thermiques hétérogènes entraînent des problèmes de planéité du produit.

Table des matières

REMERCIEMENTS
PRÉFACE
CHAPITRE I. INTRODUCTION
1.1 Enjeux
1.2 Le procédé de laminage
1.3 Modélisation prédictive
1.3.1 Contact mécanique
1.3.2 Transfert thermique
1.4 Capteurs et méthodes inverses
1.5 Méthodes inverses appliquées à la métrologie en laminage
1.6 Problèmes mal posés
1.7 Plan
CHAPITRE II. PRÉLIMINAIRES MATHÉMATIQUES
2.1 Avertissement
2.2 Mesures et développement en séries
2.2.1 Mesures
2.2.2 Analyse de Fourier
2.2.3 Séries hypergéométriques
2.2.4 Fonction Gamma
2.2.5 Fonctions de Bessel
2.2.6 Analyse de Fourier-Bessel
2.2.7 Polynômes orthogonaux
2.3 Fonctions harmoniques et bi-harmoniques
2.3.1 Harmoniques sphériques
2.3.2 Fonctions harmoniques en cylindrique
2.3.3 Fonctions harmoniques et bi-harmoniques en deux dimensions
2.4 Intégrales de frontière
CHAPITRE III. THERMO-ELASTICITÉ BIDIMENSIONNELLE
3.1 Résultat de Kolosov-Muskhelishvili
3.2 Equation de Navier avec second membre
3.3 Equation de la chaleur pour un solide tournant à vitesse constante
3.4 Famille de solutions
3.5 Conclusion
3.6 Compléments
3.6.1 Dans un domaine élastique simplement connexe
3.6.2 Dans un domaine élastique connexe
CHAPITRE IV. ÉVALUATION DES CONTRAINTES DE CONTACT
4.1 Introduction
4.1.1 Principes
4.1.2 Fibres optiques
4.1.3 Approche mathématique
4.2 Analyse inverse
4.3 Précision et temps de calcul
4.4 Erreur de reconstruction
4.5 Critère de troncature
4.6 Discussion sur le nombre de points d’interpolation
4.7 Validation et comparaison
4.7.1 Contraintes prescrites dans l’emprise
4.7.2 Mesures simulées
4.7.3 Résultats sans bruit de mesure
4.8 Bruit de mesure
4.9 Conclusion
CHAPITRE V. CONCLUSION

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