Soutenance mémoire
Modules
Définitions et Exemples
Définition 1.1.1. On appelle anneau tout abelien (A, +) muni d´une multiplication interne
A × A → A
(a, b) → a.b
telles que les proprietes suivantes soient vérifiées :
i) a.(b + c) = a.b + a.c, ∀ a, b, c ∈ A ;
ii) (b + c).a = b.a + c.a, ∀ a, b, c ∈ A ;
iii) a(bc) = (ab)c, ∀ a, b, c ∈ A
Si de plus la deuxième loi est commutatif (respectivement possède un élément unité) on dira que l´anneau A est commutatif (respectivement unitaire).
Exemple 1.1.1. (Z, +, .) et (Q, +, .) sont des anneaux commutatifs et unitaires.
Définition 1.1.2. Soit A un anneau untaire d’élément unité 1A ≠ 0 et B une partie de A. B est un sous-anneau de A si :
a) 1A ∈ B ;
b) B est un anneau pour les opérations induites par celles de A.
Exemple 1.1.2. A = Z × Z = {(x, y), x, y ∈ Z} est un anneau unitaire d’élément unité (1, 1). Et B = {(x, x), x ∈ Z} est un sous-anneau de A.
Définition 1.1.3. Soit A un anneau et I une partie de A. On dit que I est un idéal à gauche (respectivement à droite) de A si :
1) (I, +) est un sous-groupe de (A, +) ;
2) ∀ a ∈ A, ∀ x ∈ I, on a ax ∈ I (respectivement xa ∈ I).
L’idéal I est dite idéal bilatère (ou idéal) de A s’il est à la fois idéal à gauche et idéal à droite de A.
Exemple 1.1.3. A = (Z, +, .) est un anneau et les sous-ensembles I = nZ (où n est un entier naturel) sont des idéaux de Z.
Remarque 1.1.1. Si l’anneau A est commutatif tous les idéaux à gauche ou à droite de A sont bilatère.
Dans toute la suite sauf mention du contaire, les anneaux considérés sont commutatifs et unitaires.
Définition 1.1.4. Soit A un anneau quelconque. On appelle A-module (ou module sur A) à gauche tout groupe abélien (M, +) muni d’une multiplication
A × M → M
(a, m) → a.m
telles que les propriétés suivantes soient vérifiées :
i) a.(m + m’
) = a.m + a.m’ ∀ a ∈ A et ∀ m, m’ ∈ M ;
ii) (a + b).m = a.m + a.m ∀ a, b ∈ A et ∀ m ∈ M ;
(a.b).m = a.(b.m) ∀ a, b ∈ A et ∀ m ∈ M ;
iii) 1.m = m ∀ m ∈ M.
Exemple 1.1.4. 1) Tout anneau A est un A-module à gauche sur lui-meme.
2) Tout K-espace vectoriel est un K-module à gauche.
Si A est un anneau, on définit de la même manière un A -module à droite, la multiplication étant donnée par
M × A → M
(m, a) → m.a.
Dans toute la suite sauf mention du contraire, les modules utilisés sont des A-modules à gauche où A est un anneau unitaire d’élément unité 1 ≠ 0.
Sous-modules
Définition 1.1.5. Soit M un A-module et N une partie de M. N est un sous-module de M si :
i) N ≠ ∅ ;
ii) (N, +) est un sous-groupe de (M, +) ;
iii) ∀ a ∈ A et ∀ n ∈ N, a.n ∈ N.
Exemple 1.1.5. Soit M un module sur un anneau A. Alors M et {0} sont des sous-modules de M appelé sous-modules triviaux.
Définition 1.1.6. Soit X une partie d’un A-module M. Il existe un plus petit sous module de M contenant X et ce sous-module est appelé le sous module de M engendré par X.
Définition 1.1.7. Un A-module M est dit de type fini s’il peut être engendré par une partie finie de M ; il est dit monogène s’il est engendré par un seul élément et cyclique s’il est monogène fini.
Définition 1.1.8. Soit M un A-module. Un A-sous-module N propre de M (c’est-à-dire N ≠ {0} et N ≠ M) est dit maximale s’il n’est contenu dans aucun sous-module propre de M .
Lemme 1.1.1. Tout A-module M de type fini admet un sous-module maximal.
Preuve 1.1.1. Se reférer à [12].
Modules quotients
Définition 1.1.9. Une relation d’équivalence R sur M est une relation binaire sur M possédant les propriétés suivantes :
1. ∀ x ∈ M, xRx (R est réflexive) ;
2. ∀ x, y ∈ M, xRy ⇒ yRx (R est symétrique) ;
3. ∀ x, y, z ∈ M, xRy et yRz ⇒ xRz (R est transitive).
|
Table des matières
Introduction
1 Rappels sur les modules et les suites récurrentes linéaires
1.1 Modules
1.1.1 Définitions et Exemples
1.1.2 Sous-modules
1.1.3 Modules quotients
1.1.4 Homomorphismes de Modules
1.1.5 Modules libres
1.1.6 Notion de torsion et d’annulateur
1.1.7 Modules noethériens et Modules artiniens
1.2 Suites récurrentes linéaires
2 Quelques notions de bases et propriétés sur les suites récurrentes linéaires
2.1 Suites annulées par un polynôme
2.2 Matrice associée à une suite récurrente linéaire
2.3 Famille de suites
2.4 Relations entre familles et annulateurs de suites
2.5 Extraction et emboitement de suites
2.6 Suites périodiques
3 Quelques concepts de bases sur les semi-anneaux et les semimodules
3.1 Semi-anneaux
3.1.1 Semi-idéaux
3.1.2 Semi-anneaux quotients
3.1.3 Homomorphismes de semi-anneaux
3.1.4 Semi-anneaux noethériens et semi-anneaux artiniens
3.2 Semimodules
3.2.1 Sous-semimodules
3.2.2 Semimodules quotients
3.2.3 Homomorphisme de semimodules
Conclusion
Bibliographie
