Rappel du calcul stochastique

Rappel du calcul stochastique

Définitions

Soit (Ω,F,P) est un espace de probabilité.

Définition 1.1.1
On appelle processus stochastique à temps continu à valeurs dans un espace E muni d’une tribu E, une famille (Xt) t∈R+ de variables aléatoires sur un espace de probabilité (Ω,F,P) à valeurs dans (E,E).

Définition 1.1.2
Une filtration (Ft) t≥0 est une famille croissante de sous-tribus de F.

Définition 1.1.3
On appelle Ft-mouvement brownien un processus stochastique à valeurs réelles qui vérifie :
— Pour tout t ≥ 0, Xt est Ft-mesurable,
— Continuité : P-p.s. la fonction s 7→ Xs (ω) est une fonction continue,
— Indépendance des accroissements : si s ≤ t, Xt−Xs est indépendant de la tribu Fs,
— Stationnarité des accroissements : si s ≤ t, la loi de Xt −Xs est identique à celle de Xt−s − X0.

Terminologies financières

Marché complet

Le théorème suivant nous permet de définir un marché complet. Théorème 1.1.1 ([20]) Un marché est complet si, et seulement si, il existe une unique probabilité P∗ sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales.

Les options

Définition 1.1.4
Une option est un contrat transférable qui confère à son détenteur le droit, et non l’obligation d’acheter appelée Call (où de vendre appelée Put) :
— un actif Xt ( mobilier, immobilier),
— à un prix fixé E,
— pendant une période T.

On distingue deux types d’options :
— Européenne : L’exercice ce fait à la date T,
— Américaine : L’exercice ce fait à n’import quel moment de [0,T].

Fonction pay-off

Définition 1.1.5 Fonction qui donne la valeur d’un produit à son échéance en fonction de la valeur de l’actif sous-jacent.

Dans le cas de l’option d’achat, la fonction pay-off Ψ est définie par
Ψ (X) = (X −E)+ = max (X −E,0).

Inéquation variationnelle et complémentarité linéaire

Définition 1.3.1 Un problème d’inéquation variationnelle (IV) consiste à trouver u ∈ K (espace des fonctions admissibles) tel que a(u,v −u) ≥ (f,v −u), (1.1)

pour tout v ∈ K.

Après avoir discrétisé le problème d’inéquation variationnelle, on s’appuie sur le problème de complémentarité linéaire afin de résoudre numériquement les inéquations variationnelles.

Définition 1.3.2 Un problème de complémentarité linéaire (PCL) consiste à trouver u pour tous vecteurs, θ et ϕ de Rm :

Au ≥ θ,
u ≥ ϕ,
(Au−θ,ϕ−u) = 0,

où A est matrice carrée réelle d’ordre m.

Ce résultat relie les problèmes d’inéquations variationnelles aux problèmes de complémentarité linéaire.

Théorème de régularité

Théorème 2.4.2 (voir [10]) Soit ψ ∈ W2,2,α (R), alors la solution de l’inéquation variationnelle (2.12) vérifie :

u ∈ L2 ( [0,T];W2,2,α (R) ).

Remarque 2.4.1 Soit ψ(x) = (E exp (x)−E)+ (resp. ψ(x) = (E −E exp (x))+ ), et ψ ∈ W1,2,α (R) mais n’est pas dans W2,2,α (R). Pour que ce théorème soit adapté pour notre cas, on prend une suite (ψm) d’éléments de W2,2,α (R) qui converge uniformément vers ψ. Dans ce cas, la solution associée à ψ ∈ W1,2,α (R) coïncide avec la solution associée à ψ ∈ W2,2,α (R) donné dans le théorème 2.4.2. Pour plus de détails, voir [23].

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Table des matières

Introduction
1 Préliminaires
1.1 Rappel du calcul stochastique
1.1.1 Définitions
1.1.2 Terminologies financières
Marché complet
Les options
Fonction pay-off
1.2 Rappel d’analyse fonctionnelle
1.3 Inéquation variationnelle et complémentarité linéaire
2 Problème continu
2.1 Formulation du problème
2.2 Courbe d’exercice
2.3 Changement de variable
2.4 Formulation variationnelle
2.4.1 Existence et unicité de la solution du problème
2.4.2 Théorème de régularité
2.4.3 Monotonie et continuité
3 Problème discret
3.1 Localisation à domaine borné
3.2 Discrétisation du problème par la méthode des éléments finis
3.2.1 Discrétisation en temps
3.2.2 Discrétisation en espace
3.2.3 Forme matricielle
Construction des matrices M et R
3.3 Discrétisation par la méthode des différences finies
3.4 Convergence de la solution du problème discret
4 Implémentation des méthodes
4.1 Algorithme Brennan-Schwartz
Factorisation LU standard et UL
4.2 La méthode PSOR
5 Observations Numériques
5.1 Évaluation de Brenann-Schwartz
5.1.1 Comparaison sur les deux approches FE et FD
Option put
Option call
5.1.2 Comparaison avec PSOR
Option put
Option call
5.2 Brennan-Schwartz pour le schéma Crank-Nicolson
Conclusion