Raffinement de maillage en mécanique des solides 

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Pastille de combustible

Le combustible des REP se présente sous forme de pastilles cylindriques mesurant 8,2 mm de diamètre pour 13,5 mm de hauteur (voir figure 1.3). Le matériau est du dioxyde d’uranium (UO2) ou de l’oxyde mixte d’uranium et de plutonium (MOX). La pastille est une céramique fragile avec une contrainte de rupture comprise entre 100 MPa et 150 MPa. Après fabrication, la pastille a une porosité comprise entre 5 et 6%.
La pastille de combustible présente un évidement hémisphérique et un chanfrein à chacune de ses extrémités. L’évidement a pour but de compenser l’excès de dilatation du centre de la pastille et le chanfrein facilite son introduction dans la gaine.

Gaine

La gaine est un tube de diamètre extérieur valant 9,5 mm et d’épaisseur 0.57 mm. Il s’agit de la première barrière de confinement des produits de fission.
Les matériaux utilisés pour la gaine des REP actuellement en fonctionnement en France et à l’international sont des alliages à base de zirconium (Zircaloy-4,M5 R , ZIRLO TM, Optimized ZIRLOTM). Leurs propriétés répondent à certains besoins :
une très faible absorption des neutrons thermiques (utiles à la réaction en chaine),
une bonne conductivité thermique en vue d’évacuer vers l’eau la chaleur produite dans le crayon,
une bonne résistance mécanique, une bonne résistance à la corrosion vis-à-vis de l’eau à haute température et du com-bustible.

Comportement du crayon combustible

Le comportement du crayon combustible dans un réacteur nucléaire est principalement piloté par la haute température et l’irradiation. La connaissance des phénomènes mécaniques concernant la pastille et la gaine ainsi que leurs interactions est très importante pour s’assurer du bon fonctionnement du crayon et de l’assemblage combustible.
Le schéma 1.4 décrit les principaux phénomènes se produisant dans un crayon REP du début de sa vie jusqu’au 3e cycle 1 de fonctionnement en réacteur. Dans cette section, nous allons uniquement présenter les phénomènes relatifs à l’interaction mécanique pastille-gaine.

Dilatation thermique

Dans les REP, la température dans le coeur d’une pastille peut atteindre plus de 1000 C en fonctionnement normal. Le premier phénomène présenté ici est la dilatation thermique de la pastille et de la gaine. Du fait que les coefficients de dilatation et les températures de la pastille et de la gaine sont différentes, leurs dilatations sont également différentes. Bien que le coefficient de dilatation de la gaine soit plus important que celui de la pastille, la température dans la pastille est beaucoup plus élevée que celle dans la gaine (voir figure 1.5). La dilatation de la pastille est finalement plus importante que celle de la gaine. Par conséquent, le jeu radial initial d’environ 85 m diminue jusqu’à environ 60 m en raison des dilatations thermiques différentielles de la pastille et de la gaine.

Densification et gonflement du combustible

En début de vie, l’irradiation conduit au phénomène de densification. La baisse de la porosité diminue le volume de la pastille et retarde légèrement l’instant du premier contact pastille-gaine.
Au cours de l’irradiation, la production de produits de fission au sein du combustible provoque une déformation macroscopique, appelée gonflement de la pastille. Ce gonflement dépend donc de la quantité et de l’état physico-chimique des produits de fission.

Fluage de la gaine

Le fluage est le phénomène physique qui provoque progressivement une déformation ir-réversible sous charge constante inférieure à la limite d’élasticité du matériau. Il existe deux types de fluage pour la gaine : le fluage d’irradiation et le fluage thermique [Bailly et al. 1997]. Le fluage d’irradiation décrit la déformation sous l’effet du flux neutronique. Le flux neutro-nique participe à la mobilité des défauts et accroît la vitesse de fluage. La vitesse du fluage thermique dépend de la température. En fonctionnement normal, à faible contrainte (inférieure à 100 MPa), le fluage d’irra-diation contribue à près de 80% de la déformation totale par fluage. À forte contrainte, il représente environ 20% de la déformation totale par fluage.
La pression interne dans le crayon est initialement de 2,5 MPa et augmente jusqu’à environ 6 MPa en début d’irradiation. Au cours de la vie, dû au relâchement des gaz de fission, cette pression continue d’augmenter mais ne dépasse pas celle du fluide caloporteur. La gaine subit donc une contrainte circonférentielle de compression. Sous l’effet de l’irradiation, le diamètre de la gaine a donc tendance à diminuer.

Interaction mécanique pastille-gaine

Au cours du premier cycle, le jeu initial entre la pastille et la gaine diminue du fait des phénomènes précedément cités : gonflement et mise en diabolo de pastille, et fluage de la gaine. Au début du deuxième cycle d’irradiation, le jeu commence à se fermer sur certaines zones du crayon et un contact entre la pastille et la gaine se présente au niveau des plans inter-pastilles. Ce phénomène est appelé l’Interaction Pastille-Gaine (IPG). De plus, la fissuration de la pastille introduit un contact discontinu entre la pastille et la gaine. Ces deux phénomènes induisent une concentration locale importante de contraintes au niveau du contact pastille-gaine, au droit des fissures.
La fermeture du jeu entre la pastille et la gaine modifie les contraintes auxquelles la gaine est soumise. Avant la fermeture du jeu, la contrainte principale dans la gaine est une contrainte de compression due au fluide calopoteur. Lorsque la fermeture du jeu a eu lieu, la valeur absolue de la contrainte de compression décroît jusqu’à devenir nulle et devient ensuite une contrainte de traction à cause des contraintes exercées par la pastille. Après plusieurs cycles d’irradiation, la gaine présente une forme de bambou due à l’influence de la mise en diabolo des pastilles (voir figure 1.8).

Critères de comparaison des estimateurs

Afin de comparer les performances des différentes familles d’estimateurs a posteriori, des critères de comparaison doivent être définis. On en introduit plusieurs dans ce qui suit.
— Indice d’efficacité :
Soit ηK la norme d’un estimateur d’erreur local sur un élément K, on peut calculer la norme globale η de l’estimateur d’erreur avec η = 8<: X K 2Th ηK2 9=; 1=2
L’indice d’efficacité est le rapport entre la norme globale η de l’estimateur d’erreur et la norme de l’erreur de discrétisation kehk : γ = η kehk où l’erreur de discrétisation globale eh est définie comme la différence entre la solution analytique et la solution numérique (voir (2.1.22) ou (2.1.23)), k·k désigne une norme (choix arbitraire). En général, on ne connaît pas la solution analytique. On utilise donc une solution approchée sur un maillage très fin pour calculer l’erreur de discrétisation. Un bon estimateur doit avoir un indice d’efficacité proche de 1, même pour un maillage assez grossier, afin d’être utilisable. — Fiabilité :
On dit qu’un estimateur est fiable si l’erreur estimée associée tend vers zéro quand la taille du maillage tend vers zéro. Idéalement, l’erreur estimée et l’erreur de discrétisation doivent tendre vers zéro simultanément. De plus, l’erreur estimée doit garantir des bornes supérieure et inférieure de l’erreur de discrétisation.
— Simplicité d’implantation et coût d’utilisation
Un bon estimateur doit être simple à implémenter et rapide à utiliser afin de ne pas polluer le temps de calcul global de la méthode de résolution.

Estimateur basé sur le résidu d’équilibre

Il existe deux types d’estimateurs dans la famille des estimateurs basés sur le résidu d’équilibre : des estimateurs dits explicites et des estimateurs dits implicites. Les estimateurs d’erreur basés directement sur la solution obtenue par la méthode des éléments finis sont appelés estimateurs explicites. Au contraire, les estimateurs d’erreur implicites ont besoin de résoudre des problèmes locaux auxiliaires. En conséquence, les estimateurs explicites nécessitent un coût de calcul moindre mais sont souvent moins précis que les estimateurs implicites.

Estimateur basé sur la loi de comportement

Sachant que la solution obtenue par éléments finis est cinématiquement admissible mais qu’elle n’est pas statiquement admissible (régularité du champ des contraintes), les estimateurs basés sur la loi de comportement consistent à construire une solution (uCA; σSA) qui est à la fois cinématiquement admissible (CA) et statiquement admissible (SA) et mais qui ne respecte pas forcément la loi de comportement. Comme la solution en déplacement obtenue avec la méthode des éléments finis est CA, on choisit uCA = uh.
La difficulté de ce type d’estimateur est donc de construire le champ de contraintes statiquement admissible. De nombreuses techniques ont été développées. Les trois principales techniques sont la technique d’équilibre par élé- ment (EET) [Ladevèze & Leguillon 1983, Ladevèze et al. 1991, Ladevèze et al. 1986, Ladevèze & Pelle 2005], la technique d’équilibrage par patch d’éléments SPET (ou méthode flux-free) [Pares et al. 2006, Machiels et al. 2000, Carstensen & Funken 1999, Gallimard 2009] et la technique d’équilibrage par éléments et patch d’éléments (ou mé- thode hybride) [Ladevèze et al. 2010]. La comparaison des différentes techniques a été publiée par Pled et al. [Pled et al. 2011]. Les auteurs ont montré que la méthode SPET fournit l’estimateur le plus précis même si les trois techniques garantissent les bornes supérieures de l’erreur en norme energie.
La méthode standard [Ladevèze & Leguillon 1983], aussi appelée la technique d’équilibrage par élément EET, est basée sur la condition de prolongement : ZK (σSA – σh) gradNi dΩ = 0 8K 2 Th; 8i 2 I (2.3.26)
où I = f1; :::; n0 hg est l’ensemble des noeuds du maillage et Ni la fonction de forme associée au noeud i . Cette condition de prolongement permet de prolonger σh en σSA.
Il y a deux étapes successives pour construire le champ statiquement admissible :
— construction du second membre élémentaire F¯K à partir de la solution éléments finis pour chaque élément K.
— calcul des champs de contraintes admissibles par résolution des problèmes d’équilibre locaux avec F¯K donnée.

Estimateur basé sur le lissage des contraintes

Les contraintes calculées par la méthode des éléments finis de Lagrange présentent des discontinuités sur les interfaces entre les éléments d’où le problème de régularité. Zienkiewicz et Zhu [Zienkiewicz & Zhu 1987] ont proposé d’interpoler les contraintes avec les mêmes fonctions de forme que le déplacement afin d’obtenir des contraintes continues sur tout le domaine. On a alors :σ∗ = N · σ¯∗ avec σ¯∗ : contraintes aux noeuds et N : fonctions de forme du déplacement.(2.3.33)
La clef de ce type d’estimateur est de construire les contraintes aux noeuds σ¯∗. Zienkiewicz et Zhu ont proposé deux méthodes : la méthode de projection [Zienkiewicz & Zhu 1987] et la méthode ’Superconvergent Patch Recovery’ [Zienkiewicz & Zhu 1992a, Zienkiewicz & Zhu 1992b].
Méthode de projection :
La méthode de projection proposée dans [Zienkiewicz & Zhu 1987] consiste à construire σ¯∗ au sens des moindres carrés à partir de σh. σ¯∗ doit minimiserJ(¯ σ∗) = ZΩ(N · σ¯∗ – σh)2 dΩ(2.3.34)

Combinaison de la méthode LDC et de l’estimateur ZZ

Afin de détecter automatiquement les zones du maillage à raffiner, nous décidons de combiner la méthode LDC avec un estimateur d’erreur a posteriori. Comme présenté dans la section 2.3, nous choisissons d’utiliser l’estimateur d’erreur a posteriori de Zienkiewicz et Zhu (ZZ) [Zienkiewicz & Zhu 1987] en raison de sa simplicité de mise en oeuvre, de sa rapidité et de son efficacité démontrée dans la littérature. L’idée ici est de générer automatiquement des sous-niveaux indépendemment de la connaissance de l’utilisateur et du problème traité.
La méthode LDC étant très générique, elle se combine facilement avec un estimateur d’erreur a posteriori. La combinaison de la méthode LDC et de l’estimateur ZZ est réalisée de façon séquentielle. Comme dans les travaux de Barbié et al. [Barbié 2013, Barbié et al. 2014], nous appliquons uniquement l’estimateur d’erreur durant la première étape de prolongement afin de générer les différents niveaux de grilles fines. Pendant la première étape de prolongement, après chaque résolution, l’estimateur ZZ est appliqué sur ce niveau afin de détecter la zone à raffiner qui va générer une nouvelle grille. Les grilles ainsi générées seront conservées pendant tout le processus LDC. Ce processus génère donc automatiquement les grilles imbriquées Gl; 1 ≤ l ≤ l∗. Dans la stratégie proposée par Barbié et al. [Barbié et al. 2014], pour chaque grille Gl, les auteurs ont choisi de raffiner les éléments dont l’indicateur donné par l’estimateur ZZ en norme énergie relative était supérieur à α fois la valeur maximale de cet indicateur avec α une constante donnée entre 0 et 1.
Cette stratégie est simple à implémenter et s’applique à n’importe quel estimateur d’erreur et n’importe quelle norme. Les résultats numériques dans [Barbié et al. 2014] ont montré l’efficacité de cette méthode.
Cependant, les zones détectées sont dépendantes du choix du coefficient α. Ce coefficient est difficile à trouver a priori et dépendant du problème. Par définition, il y a toujours des éléments qui vérifient la condition de raffinement. Un critère d’arrêt doit donc être ajouté afin de stopper la génération de sous-niveaux dans la méthode LDC. Barbié et al. [Barbié et al. 2014] ont proposé que ce critère d’arrêt s’appuie sur un nombre minimal d’éléments dans la zone à raffiner.
En vue d’améliorer la façon d’automatiser la détection des zones à raffiner et ainsi la procédure de raffinement, nous proposons ici de raffiner tous les éléments possédant une erreur estimée en contraintes supérieure d’un seuil fixé par l’utilisateur. C’est-à-dire que nous raffinons les éléments K de la grille Gl pour lesquels l’erreur estimée locale eK vérifie : keKk > β (3.2.1)

Présentation des cas tests 2D issus de la simulation de l’IPG

Nous avons proposé une stratégie de raffinement automatique de maillage combinant la méthode LDC et l’estimateur ZZ avec plusieurs critères d’arrêt dans section 3.2. Nous présentons dans cette section des cas tests 2D simplifiés issus de la simulations de l’IPG pour évaluer les performances de cette stratégie. Les cas tests utilisés ici sont inspirés de Marelle et Thouvenin [Marelle & Thouvenin 2011]. Nous n’étudions que la réponse de la gaine ayant un comportement élastique avec un module d’Young E = 100 GPa et un coefficient de Poisson ν = 0; 3. Le contact entre la pastille et la gaine est représenté par une pression discontinue sur le rayon interne de la gaine. Nous présentons ici deux cas tests (2D axisymétrie et 2D déformation plane) afin d’étudier séparément les deux phénomènes caractéristiques de l’Interaction mécanique Pastille-Gaine (IPG) : la déformation en diabolo et la fissuration de la pastille (voir la section 1.4).

Mise en diabolo : cas 2D(r,z)

Le cas test 2D axisymétrique, appelé par la suite cas test 2D(r,z), représente l’effet du phénomène de mise en diabolo de la pastille sur la gaine (voir section 1.3.1 et section 1.4). Le contact avec la pastille est modélisé par un pic de pression sur 600 µm au dessus du plan interpastille. Pour des raisons de symétrie, seule une demi-hauteur de pastille est modélisée (voir figure 3.6). 

Erreur absolue en norme infinie

Généralités

Dans le cadre de la modélisation de l’IPG, l’erreur absolue en norme infinie sur les contraintes est souvent beaucoup plus intéressante d’un point de vue pratique pour les mécaniciens. L’erreur absolue en norme infinie estimée par ZZ peut être exprimée sous la forme suivante : keK;absk1 = kσ∗ – σhk1 (3.4.4)
Cependant, cette norme est rarement utilisée pour les estimateurs d’erreur a posteriori dans la littérature car elle repose directement sur la « fiabilité » quantitative de l’estimateur.

Résultats pour le cas test 2D(r,z)

Dans un premier temps, nous comparons les erreurs absolues estimées par l’estimateur de ZZ et les erreurs absolues par rapport à la solution de référence pour le cas test 2D(r,z) sur les contraintes équivalentes de von Mises et sur différentes composantes du champ de contraintes dans la figure 3.13. Cette figure montre que les erreurs sur la contrainte équivalente de von Mises et les erreurs sur les contraintes les contraintes cisaillement sont celles qui sont les mieux estimées par l’estimateur ZZ. De plus, la contrainte équivalente de von Mises prend en compte toutes les des composantes des contraintes. C’est donc plus intéressant d’estimer l’erreur absolue en norme infinie de la contrainte équivalente de von Mises.
Nous allons donc nous baser sur les erreurs absolues sur les contraintes équivalentes de von Mises pour détecter les éléments à raffiner. A la fin du calcul, afin de valider la stratégie proposée nous évaluerons les erreurs absolues entre la solution de LDC et la solution de référence sur le maillage composite privé du dernier niveau. En effet, du fait de la singularité de contrainte, le dernier niveau contient toujours une zone sur laque

Table des matières

Introduction
1 Contexte industriel 
1.1 Réacteur à Eau Pressurisée (REP)
1.2 Crayon combustible
1.2.1 Pastille de combustible
1.2.2 Gaine
1.3 Comportement du crayon combustible
1.3.1 Dilatation thermique
1.3.2 Densification et gonflement du combustible
1.3.3 Fluage de la gaine
1.4 Interaction mécanique pastille-gaine
1.5 Objectif du travail
2 Raffinement de maillage en mécanique des solides 
2.1 Préliminaires
2.1.1 Problème élastostatique linéaire
2.1.2 Formulation variationnelle
2.1.3 Approximation par la méthode des éléments finis
2.1.4 Erreur de discrétisation
2.2 Raffinement de maillage
2.2.1 Méthodes adaptatives
2.2.2 Méthodes multi-grilles locales
2.3 Estimateurs d’erreur a posteriori
2.3.1 Généralités
2.3.2 Critères de comparaison des estimateurs
2.3.3 Estimateur basé sur le résidu d’équilibre
2.3.4 Estimateur basé sur la loi de comportement
2.3.5 Estimateur basé sur le lissage des contraintes
3 Stratégie de raffinement automatique de maillage 
3.1 Méthode “Local defect correction”
3.1.1 Formulation de la méthode LDC
3.1.2 Application la méthode LDC dans le cadre de la méthode des éléments finis
3.2 Combinaison de la méthode LDC et de l’estimateur ZZ
3.3 Présentation des cas tests 2D issus de la simulation de l’IPG
3.3.1 Mise en diabolo : cas 2D(r,z)
3.3.2 Fissuration de la pastille : cas 2D(r,θ)
3.4 Résultats numériques
3.4.1 Choix numériques
3.4.2 Erreur relative en norme énergie
3.4.3 Erreur absolue en norme infinie
4 Application de la stratégie de raffinement automatique au problème de contact 
4.1 Problème de contact
4.1.1 Problème de contact unilatéral
4.1.2 Problème de contact avec frottement
4.2 Quelques méthodes pour résoudre le problème de contact avec ou sans frottement
4.2.1 Méthode de pénalisation
4.2.2 Méthode des multiplicateurs de Lagrange
4.2.3 Méthode du Lagrangien augmenté
4.2.4 Méthode de point fixe
4.2.5 Algorithmes de résolutions
4.3 Stratégie de raffinement automatique du maillage adaptée au problème de contact
4.4 Résultats numériques
4.4.1 Présentation du cas test
4.4.2 Illustration de la détection des zones à raffiner
4.4.3 Résultats numérique pour un cas test sans jeu ni frottement
4.4.4 Résultats numériques pour un cas test avec jeu sans frottement
4.4.5 Résultats numériques pour un cas test avec jeu avec frottement
4.4.6 Contact avec frontière courbe
Conclusion et Perspectives 
Bibliographie 

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