Rˆole des propri´et´es microscopiques dans la r´esistance au ci- saillement et la dilatance d’un milieu granulaire coh´esif 

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Caract´erisation du comportement macro-scopique : essais exp´erimentaux

Des nombreux essais exp´erimentaux ont et´ con¸cus pour ´etudier la plas-ticit´e des mat´eriaux granulaires cisaill´es. Ici, nous ne pr´esentons que les plus utilis´es : l’essai de cisaillement direct, l’essai de cisaillement annulaire, et l’essai triaxial de r´evolution.

Essais de cisaillement direct et annulaire

Dans un essai de cisaillement direct, un ´echantillon de mat´eriau granu-laire est plac´e dans une boˆıte s´epar´ee en deux compartiments pouvant glisser l’un par rapport a` l’autre (Figure 1.5). Une force verticale Fv est appliqu´ee sur l’´echantillon, et le compartiment sup´erieur est d´eplac´e par rapport au compartiment inf´erieur, ce qui provoque le cisaillement de l’´echantillon. Lors du cisaillement, on mesure la force horizontale Fh, et les contraintes normale σ et tangentielle τ le long du plan cisaill´e sont calcul´ees comme suit : σ = Fv /S (1.5)
τ = Fh/S, o`u S est l’aire du plan, qui change le long de l’essai. Cette proc´edure est r´ep´et´ee pour diff´erentes valeurs de Fv , rajoutant `a chaque fois un nouveau point sur la surface limite de charge. Ceci permet de calculer l’angle de frot-tement interne et la coh´esion du mat´eriau.
On obtient deux types de r´eponses, suivant la densit´ initiale du milieu. Si le milieu est dense, la courbe contraintes-d´eformation pr´esente un pic de r´esistance pour des d´eformations tr`es faibles. Lorsqu’on continue a` cisailler, la r´esistance du mat´eriau diminue et se stabilise a` une valeur plus faible appel´ee la r´esistance r´esiduelle du mat´eriau (Figure 1.6(a)). Dans les phases initiales de l’essai, le volume de l’´echantillon V augmente ; ce ph´enom`ene est connu sous le nom de dilatance (Figure 1.6(b)).
En revanche, si le milieu est lˆache, on n’observe pas un pic de r´esistance, mais uniquement une r´esistance r´esiduelle (Figure 1.6(a)). Dans les phases initiales de l’essai, le volume de l’´echantillon diminue ; ce ph´enom`ene corres-pond `a une dilatance n´egative ou contractance (Figure 1.6(b)).
Une des limitations principales d’un essai de cisaillement direct est que le taux de cisaillement ne peut pas ˆetre tr`es elev´e, car l’aire du plan ci-saill´e diminue le long de l’essai. Un essai qui permet de contourner cette difficult´e est l’essai de cisaillement annulaire. Dans cet essai, un ´echantillon de mat´eriau granulaire en forme d’anneau est plac´e dans une boˆıte, aussi de forme annulaire, s´epar´ en deux compartiments pouvant tourner l’un par rapport a` l’autre (Figure 1.7) Comme dans l’essai de cisaillement direct, le glissement a lieu le long d’un plan pr´ed´etermin´e, qui correspond au contact entre les deux compartiments de la boˆıte. L’avantage de l’essai annulaire est que l’´echantillon peut ˆetre cisaill´e ind´efiniment, ce qui permet l’´etude des propri´et´es r´esiduelles du mat´eriau.

L’essai triaxial de r´evolution

Dans un essai triaxial de r´evolution, un ´echantillon cylindrique de ma-t´eriau granulaire est plac´e entre deux plaques et envelopp´e d’une membrane flexible et imperm´eable. Un fluide environnant permet d’appliquer une pres-sion de confinement σ3 (Figure 1.8(a)). Pour cisailler l’´echantillon, la plaque sup´erieure est d´eplac´ee vers le bas, ce qui entraˆıne la rupture du milieu et la localisation de la d´eformation le long d’une bande de cisaillement (Figure 1.8(b)). Lors du cisaillement, on mesure la force verticale Fv . Cette force permet de calculer la contrainte normale verticale σv comme suit : σv = Fv /S, (1.6)
o`u S est l’aire transversale de l’´echantillon, qui peut changer le long de l’es-sai. Si l’on suppose qu’il n’y a pas des contraintes tangentielles entre les plaques et l’´echantillon, alors la contrainte σv peut ˆetre consid´er´ee comme la contrainte principale majeur σ1, et un cercle de Mohr peut ˆetre trac´e. Cette proc´edure est r´ep´et´ee pour diff´erentes valeurs de σ3, permettant de tracer `a chaque fois un nouveau cercle de Mohr. La droite tangente a` ces cercles est la surface limite de charge du mat´eriau, et elle permet de calculer son angle de frottement interne et sa coh´esion.

Pourquoi choisir une approche non r´eguli`ere ?

Nous avons vu que la r´egularit´e, ou la non-r´egularit´e, du mouvement est une question d’´echelle d’observation. En d’autres termes, si l’on s’int´eresse `a des ph´enom`enes qui rel`event de l’´echelle du contact il est n´ecessaire d’avoir une relation constitutive au niveau des contacts et, donc, d’adopter une approche r´eguli`ere ; en revanche, si l’on ne s’int´eresse pas `a ces ph´enom`enes, il est raisonnable, et mˆeme souhaitable, d’utiliser une approche qui ne requiert pas une telle relation constitutive ; c’est le cas des approches non r´eguli`eres.
Ces approches peuvent paraˆıtre moins intuitives que les approches r´eguli`eres.
Cependant, elles pr´esentent aussi de grands avantages ; par exemple :
– En n´egligeant l’´echelle du contact, les approches non r´eguli`eres requi`erent une discr´etisation du temps beaucoup moins fine que celle des approches r´eguli`eres. Pour cette raison, ces approches sont, en principe, plus rapides.
– Les interactions aux contacts font intervenir des ph´enom`enes physicochimiques complexes, qui ne sont pas toujours bien connus. Dans les approches r´eguli`eres, ces ph´enom`enes doivent ˆetre repr´esent´es par une relation constitutive au niveau des contacts. Or, l’´ecriture de cette relation n’est pas toujours un exercice facile, et, souvent, elle implique l’introduction de nouveaux param`etres dont le sens n’est pas forc´ement clair. Les approches non r´eguli`eres, s’int´eressant `a des ´echelles sup´erieures `a celle du contact, ne pr´esentent pas cette difficult´e.
Dans ce travail de th`ese, nous nous sommes int´eress´es `a des ph´enom`enes plastiques, dont la mod´elisation ne requiert pas une relation constitutive au niveau des contacts (e.g., la r´esistance au cisaillement, la dilatance, et la microstructure du milieu). Pour cette raison, nous avons adopt´e une m´ethode d´evelopp´ee avec une approche non r´eguli`ere, `a savoir, la Dynamique des Contacts.

La Dynamique des Contacts

Dans ce travail, nous avons utilis´e la m´ethode de la Dynamique de Contacts. Cette m´ethode a ´et´e propos´ee par Moreau [51] et Jean [39, 40] en utilisant des concepts de la m´ecanique non r´eguli`ere, d’o`u son nom en anglais : Non-Smooth Contact Dynamics. Dans ce qui suit, nous pr´esentons l’id´ee g´en´erale de cette m´ethode, ainsi que les ´equations et l’algorithme de  ´esolution que nous avons utilis´e.

Id´ee g´en´erale de la Dynamique des Contacts

Le but de la Dynamique des Contacts est de simuler l’´evolution dans le temps (i.e., les positions des particules, leurs vitesses, et les forces aux contacts) d’un syst`eme compos´e de plusieurs particules rigides. Typiquement, ces particules sont en contact entre elles formant un syst`eme multicontacts.
Le temps est discr´etis´e en pas de temps, et la m´ethode permet de calculer les impulsions exerc´ees sur chaque particule pendant chaque pas de temps ainsi que les vitesses des particules `a la fin de chaque pas.
La m´ethode de la Dynamique des Contacts peut ˆetre vue comme la superposition de trois ingr´edients :
1. Les ´equations de la dynamique de chaque particule int´egr´ees pour un pas de temps t (dans cette forme, les ´equations de la dynamique relient l’impulsion et le changement de quantit´e de mouvement).
2. Un ensemble de lois de contact qui d´efinissent l’ensemble de valeurs admissibles d’impulsion et de vitesse relative aux contacts (i.e., les contraintes cin´ematiques).
3. Un algorithme de r´esolution.

Prise en compte de la r´esistance au roulement dans la Dynamique des Contacts

Dans la section pr´ec´edente, nous avons pr´esent´e la m´ethode de la Dynamique de Contacts pour le cas des disques pouvant exercer des forces normales et tangentielles aux contacts. Or, comme nous l’avons mentionn´e dans la section 1.3, dans les milieux granulaires r´eels il est courant que les contacts puissent aussi exercer des moments et r´esister ainsi au roulement. Ceci peut avoir diff´erentes origines microscopiques telles que la pr´esence d’un ciment, la d´eformation plastique de la r´egion de contact, et la forme non convexe des grains. Dans cette section, nous montrons comment cet effet peut ˆetre introduit dans la Dynamique des Contacts en modifiant l´eg`erement les ´equations de la dynamique, ainsi qu’en rajoutant une nouvelle loi de contact qui contrˆole la r´esistance au roulement.

Loi de contact pour le roulement

La possibilit´e d’exercer des moments donne au contact la facult´e de r´esister au roulement. Dans la Dynamique des Contacts, ceci peut ˆetre pris en compte en rajoutant une loi de contact analogue `a la loi de frottement de Coulomb.
Pour illustrer la loi de frottement de roulement, consid´erons l’´equilibre d’un bloc et d’un disque de rayon r plac´es sur un plan inclin´e d’un angle θ (Figure 2.13). La stabilit´e du bloc est assur´ee par la force tangentielle ft = mg sin θ < μsfn, et le glissement a lieu si θ = φs. La stabilit´e du disque, par rapport au roulement, est assur´ee par le moment de contact M, qui est ´egal au moment exerc´e par le poids du disque autour du point de contact mgr sin θ, et qui doit ˆetre inf´erieur au moment maximal Mmax. Si l’on suppose que, comme pour le glissement, le roulement a lieu une fois que l’angle d’inclinaison du plan θ atteint une valeur limite φr, on obtient : Mmax = μrrmg cos θ (2.62)

Prise en compte de l’adh´esion dans la Dynamique des Contacts : mod`ele de cimentation

Dans des nombreux milieux granulaires r´eels tels que les sols partiellement satur´es, les sols ciment´es, et les roches, les contacts peuvent r´esister, jusqu’`a un certain seuil, des forces de traction. Dans ces milieux, la r´esistance `a la traction peut avoir diff´erentes origines telles que la capillarit´e, la cimentation, et les forces de van der Waals.
Dans cette section, nous montrons comment l’adh´esion au niveau des contacts peut ˆetre introduite dans la Dynamique des Contacts en modifiant l´eg`erement la loi de contact dans la direction normale, ainsi qu’en rajoutant un mod`ele de cr´eation et de rupture des liens coh´esifs. Notre mod`ele de coh´esion local cherche `a imiter la coh´esion par cimentation, comme celle qu’on peut observer dans les sols ciment´es et les roches tendres. Ce processus de cimentation r´esulte de la pr´ecipitation de certains min´eraux dans la zone de contact entre les grains ou entre des grains qui sont tr`es proches mais qui ne se touchent pas. Une fois que le ciment est cass´e, nous supposons que les liens coh´esifs sont d´etruits et le contact devient non coh´esif.

Compression biaxial

Le cisaillement de l’´echantillon se fait en deux ´etapes. Premi`erement, la pression de confinement p est appliqu´ee sur les membranes de particules ainsi que sur le mur sup´erieur. Deuxi`emement, le mur sup´erieur est d´eplac´e vers le bas `a vitesse contrˆol´ee. La vitesse du mur est incr´ement´ee lin´eairement de z´ero jusqu’`a sa valeur maximale vwall = 0.25 m/s (i.e., vwall = 0.15hdi/s) dans un intervalle de temps de 1 s (Figure 3.5(a)). Le raccourcissement vertical de l’´echantillon provoque l’apparition de deux bandes de cisaillement conjugu´ees (Figure 3.5(b)). L’´epaisseur de ces bandes `a la fin de l’essai est de ≃ 10hdi.
Lors du cisaillement, la force verticale Fv, appliqu´ee par les particules sur le mur sup´erieur, est mesur´ee. A partir de cette force, la contrainte normale verticale σv est calcul´ee comme suit : σv = Fv hLi , (3.1) o`u hLi est la largeur moyenne de l’´echantillon. Lors du cisaillement, le coefficient de frottement entre les particules et les murs est nul. Pour cette raison, il n’y a pas des contraintes tangentielles entre l’´echantillon et les murs, et la contrainte verticale σv et la pression de confinement p peuvent ˆetre assimil´ees aux contraintes principales majeure et mineure en 2D, σ1 et σ2, respectivement : σ1 = σv (3.2)

Frottement interne et d´eformation volumique La relation “contrainte-dilatance” de Taylor

En 1948, les travaux de Taylor ont permis de montrer que les changements de volume d’un milieu granulaire pulv´erulent sont ´etroitement li´es `a sa r´esistance au cisaillement. A partir de consi ´erations ´energ´etiques, Taylor a montr´e que l’angle de frottement interne `a l’´etat pic peut ˆetre vu comme la somme de deux angles : φ∗ P = ψ + φ∗ C. (3.11)
Le premier de ces angles, ψ, est l’angle de dilatance du milieu, qui peut ˆetre calcul´e `a l’aide de l’expression 3.5. Le deuxi`eme de ces angles, φ∗ C, est l’angle de frottement qu’on mesure dans un ´etat o`u le volume du milieu est constant. Cet ´etat stationnaire est connu en m´ecanique de sols comme l’ “´etat critique”.
L’´equation 3.11 est appel´ee la relation “contrainte-dilatance” de Taylor, et elle explique la diff´erence entre les angles de frottement interne au pic et r´esiduel. Par exemple, elle explique qu’un milieu initialement dense a un angle de frottement au pic ´elev´e, car il doit se dilater pour atteindre l’´etat critique. D`es lors, la relation contrainte-dilatance a ´et´e largement v´erifi´ee pour les sols pulv´erulents (e.g., voir [91]).

Table des matières

1 Cadre de l’´etude : Plasticit´e et relations micro-macro dans les milieux granulaires cisaill´es 
1.1 Le cisaillement et les mat´eriaux Mohr-Coulomb
1.1.1 Mat´eriaux de Coulomb
1.1.2 La repr´esentation des contraintes de Mohr
1.2 Caract´erisation du comportement macroscopique : essais exp´erimentaux
1.2.1 Essais de cisaillement direct et annulaire
1.2.2 L’essai triaxial de r´evolution
1.3 Relations micro-macro
1.3.1 L’angle de frottement interne
1.3.2 L’adh´esion macroscopique et la coh´esion
1.3.3 La compacit´e et la microstructure
1.4 Quelle approche choisir : exp´erimentale ou th´eorique ?
2 Mod´elisation num´erique des milieux granulaires par la m´ethode de la Dynamique des Contacts 
2.1 Introduction
2.2 Diff´erentes ´echelles dans un milieu granulaire
2.3 Approches r´eguli`ere et non r´eguli`ere
2.3.1 L’approche r´eguli`ere
2.3.2 L’approche non r´eguli`ere
2.3.3 Pourquoi choisir une approche non r´eguli`ere ?
2.4 La Dynamique des Contacts
2.4.1 Id´ee g´en´erale de la Dynamique des Contacts
2.4.2 ´ Equations de la dynamique
2.4.3 Projection des ´equations de la dynamique sur un rep`ere local
2.4.4 Lois de contact
2.4.5 Algorithme de r´esolution
2.5 Prise en compte de la r´esistance au roulement dans la Dynamique des Contacts
2.5.1 Modifications des ´equations de la dynamique
2.5.2 Loi de contact pour le roulement
2.6 Prise en compte de l’adh´esion dans la Dynamique des Contacts : mod`ele de cimentation
2.6.1 Loi de contact normale dans un contact adh´esif
2.6.2 Cr´eation et rupture des liens coh´esifs
2.7 Conclusion
3 Rˆole des propri´et´es microscopiques dans la r´esistance au ci- saillement et la dilatance d’un milieu granulaire coh´esif 
3.1 Introduction
3.2 Description des simulations
3.2.1 Mat´eriau granulaire utilis´e
3.2.2 Construction des ´echantillons
3.2.3 Compression biaxial
3.2.4 Espace param´etrique ´etudi´e
3.2.5 Param`etres d’ex´ecution
3.3 R´esultats obtenus
3.3.1 Les angles de frottement interne
3.3.2 Frottement interne et d´eformation volumique
3.3.3 D´ecomposition additive de l’angle de frottement au pic
3.3.4 L’adh´esion macroscopique
3.4 Conclusion
4 Rˆole des propri´et´es de frottement locales dans la r´esistance au cisaillement et la microstructure 
4.1 Introduction
4.2 Description des simulations
4.2.1 Mat´eriau granulaire utilis´e
4.2.2 Construction des ´echantillons
4.2.3 L’essai de cisaillement simple
4.2.4 Espace param´etrique ´etudi´e
4.2.5 Param`etres d’ex´ecution
4.3 R´esultats obtenus
4.3.1 La r´esistance au cisaillement
4.3.2 Modes de mouvement relatif (glissement et roulement) au niveau des contacts
4.3.3 La compacit´e et les colonnes de particules
4.3.4 Transmission des forces
4.4 Conclusion
5 Application des m´ethodes d’´el´ements discrets `a la simulation de glissements de terrain 
5.1 Introduction
5.2 Description de la m´ethodologie
5.2.1 R´esistance des mat´eriaux granulaires
5.2.2 R´esistance des fronti`eres du mod`ele
5.2.3 Prise en compte d’une nappe d’eau
5.3 Exemple : Simulation d’un glissement de terrain d´eclench´e par la mont´ee du niveau d’une nappe d’eau
5.3.1 Morphologie initiale
5.3.2 R´esistance des mat´eriaux granulaires
5.3.3 R´esistance aux fronti`eres du mod`ele
5.3.4 La pression des pores
5.3.5 D´eclenchement et propagation de l’avalanche
5.4 Conclusion : avantages et limitations de la m´ethodologie
6 Conclusion 
7 Annexe A : R´ecapitulatif des notations principales 
7.1 Param`etres de r´esistance au niveau des contacts
7.1.1 Milieux coh´esifs
7.1.2 Milieux pulv´erulents (non coh´esifs)
7.2 Chapitre 3
7.2.1 Angles de frottement interne
7.2.2 Angle de dilatance
7.3 Chapitre 4
7.4 Chapitre 5
Bibliographie

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