Quotients kahleriens et hyperkahleriens dans le cadre banachique 

Quotients kahleriens et hyperkahleriens dans le cadre banachique

  Une variete kahlerienne de dimension finie est une variete riemannienne munie d’une structure complexe orthogonale parallèle pour la connexion de Levi-Civita. En associant la métrique riemannienne avec la structure complexe, on obtient une forme symplectique, appelée forme de Kahler. Une variété hyperkahérienne de dimension finie est une variété munie d’une métrique riemannienne g et de trois structures complexes I, J, K telles que : IJK = −1, et telles que g soit kahlérienne par rapport à chacune des structures complexes. Une variété hyperkahlérienne est donc munie de trois forme de Kahler, ω1, ω2, et ω3, et le choix d’une des structures complexes, par exemple I permet de définir une structure symplectique complexe par : Ω = ω2 + iω3. D. Kaledin et B. Feix ont montré indépendamment dans [Kal] et [Fei], que, une vari´et´e N munie d’une métrique kahlérienne gN étant donnée, il existe une métrique hyperk¨ahl´erienne g d´efinie sur un voisinage de la section nulle de T ∗N, compatible avec la structure symplectique holomorphe naturelle de l’espace cotangent, et telle que la restriction de g `a N soit gN , unique si l’on suppose que g est S 1 -invariante. D. Kaledin utilise pour sa démonstration la notion de variété de Hodge, alors que B. Feix utilise des techniques twistorielles. Cependant les exemples explicites de métriques hyperkahlériennes sont peu nombreux. O. Biquard et P. Gauduchon construisent dans [BG1] la métrique hyperkahlérienne des espaces cotangents des espaces hermitiens symétriques, et dans [BG2] la métrique hyperkahlérienne des orbites coadjointes de type compact symétriques d’un groupe de Lie complexe semi-simple, et établissent des formules pour les potentiels kahlériens, permettant d’obtenir une expression explicite de la métrique. Dans [BG3], ces memes auteurs identifient ces structures hyperkahlériennes, montrant ainsi que l’espace cotangent et l’orbite complexe sont les deux facettes d’un meme objet hyperkahlérien qui apparaissent selon la struture complexe distinguée. Ces résultats reposent sur une théorie fine des racines des espaces hermitiens symétriques, à savoir la théorie des racines fortement orthogonales, qui exprime les propriétés spécifiques de la courbure d’un espace hermitien symétrique.La grassmannienne restreinte Grres est un exemple d’espace hermitien symétrique de dimension infinie. Nous montrons qu’il peut etre obtenu comme quotient kahlérien à partir d’une variété banachique non hilbertienne. La partie symplectique de ce résultat a été montrée indépendamment par T. Wurzbacher (non publié, mais exposé à plusieurs reprises, en particulier dans [Wur2]). Dans un second temps, nous construisons une structure hyperkahléerienne sur l’espace (co-)tangent de Grres telle que la restriction à la section nulle soit la structure kahlérienne de Grres. Pour cela un quotient hyperkahlérien est utilisé. La théorie du quotient symplectique a été initiée par J.E. Marsden et A. Weinstein dans [MW1]. Elle a été utilisée en dimension finie notamment pour construire de nouvelles variétés symplectiques. Des applications en dimension infinie sont fournies par J.E. Marsden et T. Ratiu dans [MR] qui développent l’idée de V.I. Arnold selon laquelle les équations du mouvement d’un fluide s’interpr`etent comme les équations des géoésiques d’un groupe de Lie de dimension infinie. Un autre exemple de  éduction symplectique en dimension infinie est donné dans [MW3] en relation avec l’équation de Maxwell-Vlasov (un exposé extensif de l’histoire et des applications de la réduction symplectique est donné dans [MW2]). La réduction kahlérienne et la réduction hyperkahlérienne sont des raffinements de cette théorie. Une version de dimension infinie basée sur l’étude des équations de Nahm est utilisée par P.B. Kronheimer dans [Kro1] et [Kro2] pour établir la structure hyperkahlérienne des orbites coadjointes semisimples maximales et nilpotentes d’un groupe de Lie semi-simple complexe (de dimension finie), résultats qui furent ensuite généralisés par O. Biquard dans [Biq] et A.G. Kovalev dans [Kov] au cas d’une orbite générale. Dans [Kac], V.G Kac regroupe les groupes et algèbres de Lie de dimension infinie en 4 classes (d’intersection non vide) :
1) les groupes de difféomorphismes d’une variété et les algèbres de Lie de champs de vecteurs associées;
2) les groupes (resp. algèbres) d’applications lisses d’une variété dans un groupe de Lie de dimension finie (resp. dans l’algèbre de Lie associée) ;
3) les groupes de Lie et algèbres de Lie classiques d’opérateurs sur un espace de Hilbert ou un espace de Banach ;
4) les algèbres de Kac-Moody.
Les exemples de réduction en dimension infinie cités précédemment concernent les deux premières classes de groupes. Nous présentons un exemple de réduction kahlérienne et un exemple de réduction hyperkahérienne mettant en jeu des groupes de la troisième classe.

Orbites coadjointes affinesdes L∗ -groupes

   En dimension finie, les orbites (co-)adjointes d’un groupe de Lie compact semi-simple possèdent une structure naturelle de variétés kahleriennes, la compacité du groupe n’intervenant que pour définir un produit scalaire invariant sur l’algebre de Lie du groupe par le biais de la forme de Killing définie négative. Lorsqu’on passe aux groupes de Lie banachiques, la notion d’orbite (co-)adjointe apparaıt trop restrictive et doit etre élargie en la notion d’orbite (co-)adjointe affine, qui lui est équivalente en dimension finie, mais ne l’est plus en dimension infinie. Ceci est `a relier au fait que les dérivations d’une algèbre de Lie de dimension infinie ne sont pas toutes intérieures. En particulier, la grassmannienne restreinte d’un espace de Hilbert H est une orbite (co-)adjointe affine du groupe unitaire U2(H), mais pas une orbite (co-)adjointe au sens classique du terme. La seconde particularité du cadre banachique est que les orbites coadjointes (affines) ne possèdent pas nécessairement de structure naturelle de variétés, mais d`es lors qu’elles en possèdent une, elles sont faiblement symplectiques. La structure de variété d’une orbite coadjointe est conditionnée par l’existence d’un supplémentaire topologique de l’algèbre de Lie du stabilisateur d’un point. En particulier pour les L ∗ -groupes, formant une classe de groupes de Lie hilbertiens aux propriétés algébriques semblables à celles des groupes de Lie de dimension finie, toute orbite coadjointe affine possède une structure naturelle de variété fortement symplectique.Ce second chapitre est consacré à la généralisation des constructions de m´etriques hyperk¨ahlériennes obtenues par O. Biquard et P. Gauduchon dans [BG1], [BG2] et [BG3], plus précisément, à la construction de structures hyperk¨ahlériennes sur les complexifications des orbites coadjointes affines hermitiennes symétriques des L ∗ -groupes semi-simples de type compact (le terme compact est ici utilisé par analogie `a la situation en dimension finie pour notifier l’existence d’un produit scalaire invariant). Il est organisé en trois parties. La première est consacrée à la classification des orbites coadjointes affines hermitiennes symétriques des L∗-groupes simples de type compact , ainsi qu’à la théorie des racines fortement orthogonales qu’il a fallu développer dans ce cadre. La seconde partie est consacrée à la déméstration du théorème de Mostow pour un L ∗-groupe semi-simple de type compact. Dans la troisième partie, nous utilisont ces deux ingrédients pour construire une structure hyperkahlérienne sur les orbites complexifiées des orbites coadjointes affines hermitiennes symétriques des L∗-groupes simples de type compact, grˆace à la fibration de l’orbite complexifiée au dessus de l’orbite de type compact, puis sur l’espace (co-)tangent de ces orbites de type compact. Dans les sections 2.2 et 2.3, nous exposons les résultats connus sur les L∗- groupes et les L ∗-algèbres, ainsi que l’´etude de leurs orbites coadjointes affines effectuée par K.H. Neeb dans [Nee1]. En section 2.4, nous intéressons aux orbites coadjointes affines hermitiennes symétriques des L∗-groupes semi-simples de type compact. La classification des espaces hermitiens symétriques de dimension infinie a été obtenue par W. Kaup dans [Kau2] sur la base d’une caractérisation algébrique des variétés banachiques complexes simplement connexes et symétriques en termes de triplets de Jordan hermitiens. Nous donnons la classification des orbites coadjointes affines hermitiennes symétriques des L∗-groupe simples de type compact, généralisant la démonstration de la classification des espaces hermitiens symétriques de dimension finie de J. Wolf ([Wol2]), basée sur la notion de racine de type non-compact. Ce résultat montre a posteriori que tout espace hermitien symétrique irréductible est une orbite coadjointe affine d’un L∗-groupe. Chacune des orbites irréductibles obtenue est l’analogue en dimension infinie d’une orbite coadjointe affine hermitienne symétrique compact appartenant `a l’une des familles infinies classiques. L’espace projectif d’un espace de Hilbert, la grassmanienne des p-plans d’un espace de Hilbert avec p < +∞, ainsi que la grassmannienne restreinte en sont des exemples. Le théorème de Mostow auquel nous faisions référence s’énonce comme suit. Soient G un groupe de Lie connexe compact semi-simple, dont l’algèbre de Lie g se décompose en g = k ⊕ m, o`u k est l’algébre de Lie d’un sous-groupe fermé K de G, et GC le groupe de Lie connexe d’algèbre de Lie g C = g ⊕ ig. Alors GC est homéomorphe au produit G × exp im × exp ik. La démonstration de Mostow utilise la compacité de G et nous en donnons une généralisation en section 2.5 au cas o`u G est un L ∗ -groupe semi-simple de type compact, basée sur la complétude de son alg`ebre de Lie. L’orbite complexifiée d’une orbite coadjointe affine O hermitienne symétrique d’un L ∗ -groupe G semi-simple de type compact d’algèbre de Lie g, est définie comme l’orbite de n’importe quel point de O sous l’action coadjointe affine du L∗ -groupe complexe connexe GC, d’algèbre de Lie g ⊕ ig. En section 2.6, nous montrons qu’une telle orbite complexifiée est fibrée au dessus de l’orbite de type compact, et possède une structure de variété hyperk¨ahlérienne. Puis nous construisons un isomorphisme de variétés fibrées entre cette orbite complexifiée et l’espace tangent de l’orbite de type compact. Finalement, nous explicitons la métrique hyperk¨ahlérienne induite sur l’espace tangent de l’orbite de type compact. Nous retrouvons ainsi, comme cas particulier, la structure hyperk¨ahlérienne de l’orbite complexifiée de la grassmannienne restreinte et de l’espace (co-)tangent de la grassmannienne restreinte établie dans le chapitre premier.

Orbites hermitiennes symétriques

   Un espace symétrique riemannien est une variété connexe M telle que pour tout x de M, il existe une isométrie globalement définie, sx, qui préserve x et dont la différentielle en l’espace tangent `a M en x soit −id. L’isométrie sx est appelée symétrie de M en x. Une variété complexe munie d’une métrique hermitienne est un espace hermitien symétrique si la variété rélle sous-jacente,munie de la partie réelle de la métrique hermitienne, est symétrique et si les symétries préservent la métrique hermitienne. En dimension finie, chaque classe d’isomorphisme d’espace riemannien sym´etrique M simplement connexe est caractérisé par un triplet (g, σ, B) comme suit. Soit G le plus grand groupe connexe d’isométries de M et K le sous-groupe de G fixant un point x ∈ M. Un espace symétrique étant complet, le théorème de Hopf-Rinow assure que G agit transitivement sur M, et M est difféomorphe `a G/K. Soit g l’algèbre de Lie de G, σ l’automorphisme de g induit par la conjugaison par la symétrie sx et g = k ⊕ m la décomposition de g en espaces propres de σ de valeurs propres +1 et −1 respectivement. k est l’algèbre de Lie de K et : [k,k] ⊂ k, [k, m] ⊂ m, [m, m] ⊂ m. En particulier l’action adjointe Ad(K) de K sur g pr´eserve m. Une métrique riemanniennne sur M est caractérisée par sa G-invariance et sa valeur en x. Cette dernière est déterminée par un produit scalaire Ad(K)-invariant sur m, noté B. Réciproquement, un triplet (g, σ, B) détermine une classe d’isomorphisme d’espaces riemanniens symétriques simplement connexe, car en dimension finie, l’algèbre de Lie g est l’algèbre de Lie d’un groupe de Lie simplement connexe G0, l’automorphisme σ fournit une décomposition g = k ⊕ m en espaces propres de valeurs propres +1 et −1 respectivement, et le quotient G0/K0 , o`u K0 est le sousgroupe connexe de G0 d’algèbre de Lie k, est un espace riemannien symétrique simplement connexe, l’espace tangent en un point s’identifiant `a m muni de B, la symétrie par rapport `a un point étant la symétrie géodésique.Remarquons qu’en dimension infinie, le théorème de Hopf-Rinow n’a plus cours (cf [Eke] pour un Ansatz), et, bien qu’un espace riemannien sym´etrique soit géodésiquement complet, rien ne garantit (a priori) que le groupe des isométries agit transitivement. D’autre part une algèbre de Lie banachique n’est pas toujours l’algèbre de Lie d’un groupe de Lie banachique, ce qui ne permet pas de reconstituer un espace hermitien symétrique à partir d’un triplet (g, σ, B), o`u g serait une algèbre de Lie banachique quelconque. En s’appuyant sur l’´etude des triplets de Jordan hermitiens ([Kau1]), W. Kaup a montr´e dans [Kau2] que tout espace hermitien symétrique M de dimension infinie se d´ecompose de manière unique en un produit orthogonal M = M+ × M0 × M−, o`u M+ (resp. M0, resp. M−) est un espace hermitien symétrique (´eventuellement de dimension nulle) de courbure sectionnelle > 0 (resp. = 0, resp. < 0), généralisant ainsi le cas de la dimension finie. En outre, M+ et M− sont simplement connexes et M0 est le quotient d’un espace de Hilbert complexe par un sous-groupe discret de translations. Un espace hermitien symétrique de courbure sectionnelle positive (resp. négative, resp. nulle) est dit de type compact ( resp. non-compact, resp. plat), par analogie au cas de la dimension finie. W. Kaup montre qu’un espace hermitien symétrique simplement connexe M est de type compact si et seulement si toute fonction holomorphe sur M est constante, il est de type non-compact si et seulement si toute fonction holomorphe bornée sur M sépare les points, et il est de type plat si et seulement si toute fonction holomorphe sur M sépare les points et toute fonction holomorphe bornée est constante. Un espace hermitien symétrique est dit irréductible s’il n’est pas isomorphe `a un espace plat, et s’il n’est pas localement isomorphe à un produit M1 ×M2 d’espaces hermitiens symétriques avec, pour i = 1, 2, dim(Mi) > 0. La classification des espaces hermitiens symétriques irréductibles de dimension infinie a été obtenue par W. Kaup dans [Kau2]. La démontration en est très algébrique et repose sur l’étude des triplets de Jordan hermitiens. Dans le paragraphe suivant, nous retrouvons cette classification par le biais de la classification des orbites adjointes affines hermitiennes sy étriques irréductibles OD d’une L ∗ -algèbre de type compact g, o`u D est une dérivation de g. Cette classification est une généralisation de la classification des espaces hermitiens symétriques irréductibles de dimension finie par le biais des racines non-compactes des algèbres de Lie simples, obtenue par J. Wolf dans [Wol2]. En outre, ce résultat prouve a posteriori que tout espace hermitien symétrique irréductible est une orbite coadjointe affine d’un L ∗-groupe.

Table des matières

1 Quotients kahleriens et hyperkahleriens dans le cadre banachique 
1.1 Introduction 
1.2 Généralités sur les quotients kahlériens et hyperkahlériens dans le cadre banachique
1.2.1 Quotient kahlérien
1.2.2 La variété stable
1.2.3 Potentiel kahlerien sur le quotient
1.2.4 Exemple de la variete des p-plans (p < +∞)
1.2.5 Quotient hyperkahlerien
1.2.6 Exemple de l’espace cotangent de la variete des p-plans (p < +∞)
1.3 La Grassmannienne restreinte comme quotient kahlerien
1.3.1 Introduction
1.3.2 Actions de groupes
1.3.3 Le quotient kahlerien
1.3.4 Bases de Schauder
1.3.5 La variété stable Ms
1.3.6 Potentiel kahlerien de la grassmanienne restreinte
1.4 Structure hyperkahlerienne du cotangent de la Grassmanienne restreinte et de la complexification de la Grassmannienne restreinte
1.4.1 Introduction
1.4.2 La structure hyperkahlerienne de TMk
1.4.3 Les trois applications moments
1.4.4 La surface de niveau Wk
1.4.5 La reduction hyperkahlerienne
1.4.6 L’identification de la variete complexe Ws1 /GC avec l’espace cotangent de Gr0
1.4.7 Calcul du potentiel kahlerien associe a la structure complexe I1
1.4.8 L’identification de la vari´et´e complexe Ws3 k /GC avec l’orbite complexifiee de Gr0
1.4.9 Calcul du potentiel kahlerien K3 associe a la structure complexe I3
2 Orbites coadjointes affines des L∗-groupes 
2.1 Introduction
2.2 L∗-groupes et L∗-algebres 
2.2.1 Definitions, proprietes et exemples .
2.2.2 Systemes de racines des L∗-algebres complexes
2.2.3 Classification des L∗-algebres simples
2.3 Orbites coadjointes affines 
2.3.1 Generalites sur les orbites coadjointes affines
2.3.2 Orbites kahleriennes des L∗-groupes simples de type compact
2.4 Orbites hermitiennes symetriques
2.4.1 Introduction
2.4.2 Classification des orbites coadjointes affines hermitiennes symetriques irreductibles de type compact
2.4.3 Description des orbites coadjointes affines hermitiennes symetriques de type compact et de leurs injections dans une grassmannienn
2.4.4 Sous-algebres abeliennes maximales et racines fortement orthogonales
2.5 Theoreme de Mostow
2.5.1 Introduction
2.5.2 La variete P des operateurs auto-adjoints d´efinis positifs de Gl2(H)
2.5.3 Sous-espaces totalement geodesiques de P
2.5.4 Projection orthogonale de P sur un sous-espace totalement geodesique
2.5.5 Preuve du theoreme de Mostow pour Gl2(H)
2.5.6 Theoreme de Mostow pour un L∗ -groupe semi-simple
2.6 Structure hyperkahlerienne de l’orbite complexifi´ee OC D d’une orbite coadjointe affine hermitienne sym´etrique OD d’un L ∗  groupe semi-simple de type compact et de T 0OD 
2.6.1 Fibration de l’orbite complexifi´ee au-dessus de l’orbite de type compact
2.6.2 Structure hyperk¨ahl´erienne de l’orbite complexifiee
2.6.3 Identification de l’orbite complexifi´ee avec l’espace tangent de l’orbite de type compact
2.6.4 Expression de la m´etrique hyperk¨ahl´erienne de l’espace
tangent de l’orbite de type compact
A Structures geometriques sur les varietes banachiques
A.1 Geometrie differentielle dans le cadre banachique
A.1.1 Differentielle d’une application entre deux espaces de Banach
A.1.2 Varietes banachiques
A.1.3 Morphismes de varietes, espace tangent et application tangente
A.1.4 Les briques de la theorie
A.1.5 Sous-varietes banachiques
A.1.6 Groupes de Lie et algebres de Lie banachiques
A.1.7 Fibres vectoriels et fibres principaux
A.1.8 Champs de vecteurs
A.1.9 Formes differentielles
A.1.10 Calcul de Lie
A.1.11 Le theoreme de Frobenius
A.1.12 Connexions
A.2 Variet´es banachiques riemanniennes
A.2.1 Definition et exemples
A.2.2 Connexion de Levi-Civita
A.2.3 Geodesiques
A.3 Varietes banachiques symplectiques
A.3.1 Definitions et exemples
A.3.2 La structure symplectique canonique d’un cotangent
A.3.3 La structure symplectique canonique d’une orbite coadjointe
A.3.4 Exemples de Gr(p) et Grres
A.3.5 Le Theoreme de Darboux
A.3.6 Application moment
A.4 Varietes banachiques presque-complexes
A.4.1 Definitions
A.4.2 Le Theoreme de Newlander-Nirenberg
A.4.3 Fonctions analytiques et holomorphes sur un espace de Banach
A.4.4 La connexion de Chern
A.5 Varietes banachiques kahleriennes
A.5.1 Definitions et exemples
A.5.2 Potentiel kahlerien
A.6 Varietes banachiques hyperkahleriennes
A.6.1 Definitions et exemples
A.6.2 Potentiel hyperkahlerien
B Geometrie des espaces homogenes
B.1 Definitions
B.2 Connexion homogene
B.3 Exemples

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