Quelques résultats théoriques des EDP paraboliques non linéaires

Etat de l’art

Les techniques de calcul qui permettent d’obtenir des solutions exactes ou approchées d’un problème sont regroupées sous le terme de méthodes numériques. Il s’agit généralement de déterminer le ou les inconnue(s) d’une équation, de calculer la valeur d’une fonction en un point ou sur un intervalle ou d’inverser une matrice, etc. Elles sont utilisées dans diverses disciplines telles que la Physique, la Biologie, l’Astrophysique, la Médecine, l’Économie, etc.
Ainsi, la mise en place des outils numériques en général et des codes numériques pour la résolution des équations aux dérivées partielles non linéaires en particulier s’avère nécessaire. Dans cet optique, plusieurs travaux scientifiques ont été effectués, on peut notamment citer les travaux de Couderc en 2007 [23], Nkounkou en 2011 [54] dans le cadre de leurs thèses et bien d’autres travaux qu’on peut lire dans la littérature.
Dans [23], l’auteur a développé un code de calcul pour la simulation d’écoulement à phases non miscibles et avec application à la simulation de la désintégration assistée d’une nappe liquide par un courant gazeux de part et d’autre. La méthode utilisée pour le développement de ce code était celle de « Level-Set « . L’auteur justifie le choix de cette méthode par l’élégance mathématique de sa définition. Elle ne nécessite pas la reconstruction de l’interface, la localisation de l’interface en dessous de l’échelle de la maille est de bonne facture et permet un accès direct et précis aux propriétés géométriques de l’interface selon lui. Il ajoute que cette méthode possède plus de potentialité en termes d’extensions possibles, d’améliorations et de perspectives.
Plusieurs autres méthodes ont été présentées dans ses travaux telles que la méthode IBM (Immersed Boundary Method) de Peskin [57] appliquée à l’origine pour une méthode de suivi d’interface de type VOF (Volume Of Fluid) et qui est depuis appliquée avec succès aux méthodes Front-Tracking [70] et Level-Set [21], la méthode Ghost Fluid ainsi que l’implémentation numérique de ces méthodes.
L’auteur [54], quant à lui a contribué au développement des codes sous MatLab en couplant deux méthodes : la méthode d’éléments finis et la méthode de moindres carrés. Ce couplage de méthodes donne naissance à la méthode de collocation moindre carré. Les codes développés dans ses travaux ont été testés avec efficacité à la résolution de quelques problèmes aux limites posés dans des domaines plans à géométrie complexe suivants :
– problème de diffusion convection linéaire dans un domaine à contour irrégulier ;
– problème d’élasticité linéaire dans un domaine à contour irrégulier ;
– et le problème d’écoulement permanent dans une cavité rectangulaire.
Quelques soient la nature du problème et le domaine considéré, la résolution en utilisant ces codes s’exécutent toujours en deux phases, le maillage du domaine et le calcul approché de la solution.

Equations de Navier-Stokes

Il existe plusieurs formulations mathématiques pour étudier le mouvement d’un fluide. Dès 1755, Euler écrit des équations mathématiques modélisant l’écoulement de fluide idéal, c’est-à-dire fluide à viscosité dynamique nulle, puis interviennent les travaux de Navier (1785-1836) en 1822 qui prennent en compte les effets de viscosité pour un fluide Newtonien. Ces équations ont été travaillés plus tard par Stokes (1819-1903) en 1845 pour enfin obtenir une formulation complète du système d’équations régissant l’écoulement des fluides incompressibles soumis à une force extérieure connue sous le nom des équations de Navier-Stokes en 1849 [16]. Il faut souligner que d’autres chercheurs ont étudié ces équations. Notamment, Cauchy, Poisson, ou encore Saint-Venant qui a publié un travail analogue à celui de Stokes deux ans avant lui, sans pour autant que son nom soit resté associé à ces équations [32].
Le problème de Navier-Stokes qui décrit le mouvement d’un fluide newtonien, incompressible dans un domaine Ω de Rn peut être formulé de la manière suivante :
Trouver une fonction vectorielle u et une fonction scalaire p respectives

Solutions faible et forte des équations de Navier-Stokes

Jean Leray établit en 1933 que pour tout champ de vitesse initial u 0 ∈ L 2 (R n ) les équations de Navier-Stokes admettent des solutions faibles globales d’énergie finie. Il a montré l’unicité de ces solutions en dimension deux d’espace [50, 51]. Plus tard en 1996, Lemarié-Rieusset prouve l’existence et l’unicité des solutions fortes globales par un algorithme de point fixe dans des espaces critiques pour des données initiales suffisamment petites.

Autres exemples d’équations paraboliques non linéaires

Equation de type réaction-diffusion

Les équations paraboliques non linéaires sont des équations de la forme

En chimie, on définit un système de réaction-diffusion comme étant un modèle mathématique qui décrit l’évolution des concentrations d’une ou plusieurs substances spatialement distribuées et soumises à un processus de réactions chimiques locales, dans lequel les différentes substances se transforment, et un processus de diffusion qui provoque une répartition de ces substances dans l’espace.

Modèle de Brusselator

Le modèle de Brusselator est un modèle théorique pour un type de réaction chimique autocatalytique et oscillante . Il a été proposé par Ilya Prigogine et ses collaborateurs de l’ Université libre de Bruxelle en 1968. Ce modèle traduit l’évolution temporelle d’un système dynamique simulé. C’est un système de réaction-diffusion. Il est donné par : a et b sont des constantes réelles positives. Dans [61] nous rencontrons quatre (4) types de modèles mathématiques en chimie physique et en biologie dont le modèle
Brusselator que nous décrivons ici ; le model de Gray-Scott ; le modèle de Schna ckenberg et le modèle de Glycolyse. Ces systèmes sont en général rencontrés dans la modélisation de la cinétique des réactions chimiques ou biochimiques et de la théorie de formation de motifs biologiques.

Modèle proie-prédateur en dynamique de populations

L’étude de la dynamique de populations a connu un essor considérable vers la pre mière moitié du vingtième siècle appelée l’âge d’or de l’écologie théorique. Des mo dèles mathématiques permettant d’étudier le comportement proie-prédateur, notam ment les travaux de Volterra [71] sur la coexistence de deux types d’espèces dont l’une dévore l’autre cités par R. Belgacem dans sa thèse [13].
Soient u(x, t) et v(x, t) respectivement les espèces proie et prédateur. Le prédateur se nourrit du proie, sans cette dernière, l’espèce prédateur peut disparaître.
Et réciproquement, l’absence du prédateur permet une bonne croissance de proie.
L’hypothèse des équivalences élaborées par Volterra et la méthode des rencontres des espèces conduisent à la mise en équations de la prédation en un système de deux équations. La première provient du fait que la prédation entre une espèce prédatrice et une espèce proie est conditionnée par la rencontre de ces deux espèces et que le nombre de rencontres entre deux espèces est proportionnel au nombre des individus qui la compose. Le coefficient de proportionnalité est la probabilité de rencontre.
La deuxième équation s’obtient en supposant que le rapport entre les disparitions et apparitions d’individus que provoquent les rencontres est constant.

Conclusion

Dans ce chapitre, il a été présenté les principaux résultats existants sur les Equations aux Dérivées Partielles paraboliques non linéaires. Commençant par une présentation générale du modèle, les grands théorèmes d’existence et l’unicité y sont largement abordés avec un accent sur le modèle de Navier-Stokes qui constitue un modèle type des EDP paraboliques non linéaires en passant par les notions des solutions fortes, solutions faibles et les propriétés d’explosion en temps fini de la solution. On termine par la présentation de quelques modèles. Le chapitre suivant sera consacré aux développements des schémas pseudo-spectraux qui serviront à la mise en place des codes de résolution des équations aux dérivées partielles non linéaires de type parabolique.

Points collocaux de Gauss-Lobatto-Chebyshev

Les points collocaux de Gauss-Lobatto-Chebyshev sont des points spécifiques calculés à partir des polynômes de Chebyshev.
Commençons donc par rappeler quelques propriétés essentielles des polynômes orthogonaux en général et les polynômes de Jacobi de façon spécifique. Les polynômes de Chebyshev se présentent comme des cas particuliers des polynômes de Jacobi qui appartiennent à la famille des polynômes orthogonaux.

Extension de la différentiation pseudo-spectralesur un domaine non tensoriel de R2

L’intérêt central de ce chapitre et par delà de cette thèse, réside dans la généralisation de matrices de différentiation associées à des domaines dont la forme géométrique n’est pas régulière. La recherche dans ce domaine est encore un champ non suffisamment exploré.

Procédure de génération de points collocaux sur un domaine non tensoriel

Soit un domaine Ω à forme géométrique quelconque de R2 . Pour prendre en compte les propriétés de différentiation sur un domaine non tensoriel, on peut convenir de la plonger dans un domaine tensoriel.

Conclusion

Dans ce chapitre nous avons proposé de façon complète une nouvelle procédure de détermination des matrices de différentiation pseudo-spectrales sur des domaines plans à formes géométriques complexes. Tenant compte de cette approche, nous avons proposé une technique de récupération des points du bord du domaine et avons développé des codes de calculs optimaux. Les résultats des exemples tests obtenus par l’approximation des opérateurs gradient et laplacien montrent bien que ces matrices contribuent de manière efficace à l’approximation des opérateurs différentiels, et donc à la résolution des modèles mathématiques. Aussi pour des valeurs du paramètre N grandes (N > 30), l’approximation du gradient et du laplacien montrent une bonne convergence. Les résultats obtenus font de cette technique une véritable contribution à la résolution des équations aux dérivées partielles non linéaires sur des domaines à forme géométrique complexe.

Mise en œuvre du schéma algorithmique

Commençons par décrire le solveur Matlab retenu pour résolution du problème après approximation des opérateurs différentielles que contient celui-ci. Il s’agit du solveur ode45, bien adapté pour la résolution de ce type de problème. Le solveur fournit en sortie un vecteur colonne représentant les instants d’intégration et une matrice dont la i ième colonne représente la solution calculée à l’instant i où la solution à l’instant initial est donnée. Ce solveur est basé sur un couplede méthodes explicites de Runge-Kutta (dit couple de Dormand-Prince) d’ordre 4 et 5 [59].

Conclusion générale et perspectives

Dans cette thèse, il a été question de développer des codes numériques adaptés aux schémas pseudo-spectraux pour la résolution des équations aux dérivées partielles paraboliques non linéaires. Après quelques genèses des résultats théoriques sur l’existence et l’unicité de ces équations, une présentation complète du problème modèle est faite dans le second chapitre avec une description de quelques modèles types qui ont servi à la simulation de nos résultats. Des codes optimaux de calcul des matrices de différentiation ont été proposés. Ces matrices sont bien adaptées pour la résolution des problèmes paraboliques non linéaires comme nous venons de voir dans les simulations. Les codes de calcul des matrices de différentiation pseudo-spectrale dans des domaines plans à forme géométrique complexe proposés dans ce travail constituent l’une de nos principales contributions. Un apport considérable a été aussi la mise en place du code dénommé on polygon permettant la prise en compte des conditions aux bords. Il détermine avec une précision ε donnée par l’utilisateur, les points bords d’un segment ou d’un polygone. Ce code optimal, combiné au code intégré inpolygon de MatLab permet de générer les indices des points intérieurs, bords et extérieurs au domaine. Le code on polygon ne sert non pas seulement à déterminer les points bords du domaine fermé, mais peut s’étendre à des segments des droites. L’implémentation pratique de la simulation a été abordée en détail par la résolution de quelques problèmes. Cette approche a été appliquée à plusieurs exemples tests afin de mettre en évidence le gain en précision qu’elle peut apporter. Les résultats obtenus nous permettent de confirmer l’efficacité de cette nouvelle approche.
Enfin, pour conclure, nous présentons quelques perspectives futures à nos travaux de thèse.
D’un point de vue théorique, il est important de développer la théorie sur les EDPs paraboliques non linéaires, car il y a peu de résultats théoriques sur ce type d’équation bien que ces équations modélisent un bon nombre de problèmes d’évolution.
D’un point de vue numérique, il serait nécessaire de développer une plate-forme informatique de résolution des problèmes paraboliques non linéaires. Il faudra donc songer à l’implémentation sous MatLab des codes développés dans le cadre de cette thèse, en vue de ses applications aux problèmes réels. Enfin une extension de ces travaux à d’autres types d’équations aux dérivées partielles constituerait un apportinconte stable à la résolution d’un grand nombre de modèles mathématiques aussi complexes que possible.

Table des matières

Accronymes/notations 
1 Introduction générale 
1.1 Motivation et objectifs
1.2 Etat de l’art
1.3 Plan de la thèse
2 Quelques résultats théoriques des EDP paraboliques non linéaires 
2.1 Solution faible, solution forte
2.2 Résultats d’existence et d’unicité
2.2.1 Solutions globales généralisées
2.2.2 Solutions globales classiques
2.2.3 Solutions locales
2.2.4 Solutions maximales
2.3 Propriété d’explosion
2.4 Equations de Navier-Stokes
2.4.1 Solutions faible et forte des équations de Navier-Stokes
2.4.2 Théorème d’existence
2.4.3 Unicité et régularité de la solution dans le cas bidimensionnel
2.5 Autres exemples d’équations paraboliques non linéaires
2.5.1 Equation de type réaction-diffusion
2.5.2 Modèle de Brusselator
2.5.3 Modèle proie-prédateur en dynamique de populations
2.5.4 Modèle de diffusion des polluants
2.6 Conclusion
3 Une approche numérique par des schémas pseudo-spectraux adaptés à des domaines géométriques complexes
3.1 Points collocaux de Gauss-Lobatto-Chebyshev
3.1.1 Bref rappel sur les polynômes orthogonaux
3.1.2 Polynômes de Jacobi
3.1.3 Détermination des points collocaux de Gauss-Lobatto-Chebyshev
3.1.4 Points collocaux dans un rectangle
3.2 Approximation pseudo-spectrale
3.2.1 Principe général
3.2.2 Différentiation pseudo-spectrale
3.2.3 Différentiation pseudo-spectrale sur un domaine rectangulaire
3.3 Extension de la différentiation pseudo-spectrale sur un domaine non tensoriel de R2
3.3.1 Procédure de génération de points collocaux sur un domaine non tensoriel
3.3.2 Génération des points du bord
3.3.3 Processus de différentiation pseudo-spectrale sur un domaine non tensoriel
3.4 Un exemple numérique
3.5 Conclusion
4 Traitement numérique du problème modèle 
4.1 Schéma semi-discret
4.1.1 Cas de conditions aux limites de Dirichlet non homogènes
4.1.2 Cas de conditions aux limites de Neumann non homogènes
4.2 Mise en œuvre du schéma algorithmique
4.3 Cas du modèle d’écoulement de Navier-Stokes
4.4 conclusion
5 Expérimentation numérique 
5.1 Un modèle de réaction-diffusion non linéaire
5.2 Un modèle d’écoulement des fluides incompressibles
Conclusion générale et perspectives 
Références bibliographiques 
Les annexes 
A Codes des exemples tests
B Codes de test d’un modèle de réaction diffusion
C Codes de simulation d’un modèle d’écoulement des fluides incompressibles

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