Quelques propriétés élémentaires de la K-théorie algébrique

Rappels sur la construction de Morel et Voevodsky

Soit S un site (c’est-à-dire une petite catégorie , aussi notée S , munie d’une topologie de Grothendieck, cf. SGA 4 II) admettant suffisamment de points (cf. SGA 4 IV 6.4.1). On note Prefais(S ) la catégorie des préfaisceaux d’ensembles sur la catégorie sousjacente au site S et Fais(S ) la sous-catégorie pleine de Prefais(S ) formée des faisceaux pour la topologie donnée. On note a: Prefais(S ) → Fais(S ) le foncteur faisceau associé, adjoint à gauche de l’inclusion Fais(S ) → Prefais(S ). La catégorie Esp(S ) désignera au choix soit la catégorie ∆oppPrefais(S) des préfaisceaux simpliciaux, soit la catégorie ∆oppFais(S ) des faisceaux simpliciaux.
Remarque i.1 Il y a un intérêt à considérer des sites plutôt que des topos parce que la fonctorialité des constructions par rapport aux topos est insuffisante pour les applications (cf. [57, example 1.19, page 102]). Il est également très utile de considérer non seulement les faisceaux simplicaux mais aussi les préfaisceaux simpliciaux : par exemple, les préfaisceaux simpliciaux donnés par les modèles classiques de la K-théorie algébrique ne sont pas des faisceaux.

Une axiomatique épouvantable

Le but de ce paragraphe est d’établir le lemme i.35 qui nous servira à vérifier un des axiomes des catégories de modèles fermées pour la catégorie SptT (S ) munie d’une des deux structures stables envisagées précédemment. Les arguments de départ sont ceux de [40, theorem 2.3] pour les préfaisceaux simpliciaux. Des difficultés techniques supplémentaires se posent lors de la A1-localisation pour obtenir [57, corollary 2.20, page 77], qui est un outil technique important mais dont les détails de la démonstration sont passés sous silence (fort justement, compte tenu du caractère épouvantablement horrible de la chose !). Dans la démonstration du lemme i.35 qui nous servira à construire des structures de catégories de modèles, on retrouvera ainsi un ingrédient que les auteurs de [loc. cit.] indiquent (à savoir la considération de limites inductives filtrantes indexées par des ensembles ordonnés grands devant un cardinal fixé). On s’est efforcé de donner une formulation axiomatique suffisamment générale pour pouvoir s’appliquer non seulement aux catégories de spectres que l’on va considérer, mais aussi, rétrospectivement, à certaines catégories déjà rencontrées.

Astuce de Jouanolou

Énoncé On sait qu’un fibré vectoriel sur un schéma X peut être décrit essentiellement de deux façons :
– sous la forme d’un OX-Module localement libre M de rang fini ;
– d’un point de vue géométrique, comme la donnée d’un X-schéma en groupes commutatif V muni d’une action linéaire de la droite affine A1 (vue comme schéma en anneaux) telle que localement sur X, V soit isomorphe à AnX sur lequel A1 agit par multiplication, coordonnée par coordonnée.
On passera toujours d’un de ces points de vue à l’autre en choisissant la convention qui fait que M soit le faisceau des sections de V . Dans cette partie sur l’astuce de Jouanolou, on utilisera principalement le point de vue géométrique.
Définition ii.12 (SGA 6 II 2.2.4) Soit X un schéma. On dit que X est divisoriel s’il est quasi-compact, quasi-séparé et admet une famille ample de OX-Modules inversibles, une famille (Li)i∈I de Modules inversibles étant ample si les ouverts Sf , pour f ∈ Γ(X, L ⊗ni), i ∈ I et n ∈ N, forment une base de la topologie de X (si L un OX-Module inversible et f une section globale de L , on note Sf l’ouvert de X sur lequel f est inversible). Dans la suite, on dira qu’un schéma est régulier s’il est noethérien, séparé et que ses anneaux locaux sont réguliers (cf. [68]). D’après SGA 6 II 2.2.7.1, un schéma régulier est divisoriel. Le théorème suivant, dont la première version due à Jouanolou concernait les schémas quasi-projectifs sur un schéma affine, s’appliquera donc à tous les schémas réguliers :
Théorème ii.13 (Jouanolou [43, lemme 1.5], Thomason [83, proposition 4.4]) Soit X un schéma divisoriel. Il existe un torseur T sous un fibré vectoriel V sur X tel que T soit un schéma affine.
Interprétation en termes de catégories localisées Soit S un schéma régulier. On note Sm/S la catégorie des S-schémas de type fini, lisses et séparés et (abusivement) SmAff/S la sous-catégorie pleine de Sm/S formée par les S-schémas de Sm/S qui sont de plus affines (de façon absolue, c’est-à-dire sur Spec Z).
Définition ii.14 On note T la famille des flèches dans Sm/S de la forme [T → X] où T est un torseur sous un fibré vectoriel V sur X et Taff la sous-famille de T obtenue en demandant à X (et donc à T) d’être des objets de SmAff/S.
Définition ii.15 Si C est une petite catégorie et W un ensemble de flèches de C , on peut construire une catégorie localisée C [W −1] et un foncteur C → C [W −1] qui vérifie la propriété universelle qui fait que, pour toute catégorie D, se donner un foncteur C [W −1] → D revienne à se donner un foncteur C → D envoyant les morphismes appartenant à la famille W sur des isomorphismes (cf. [22, §1, Chapter I]).

Structure d’Anneau commutatif

Le préfaisceau de groupes abéliens K0(−) ∈ Sm/SoppEns porte une structure d’anneau commutatif (voir page 76). Le théorème iii.31 permet de relever la loi multiplicative K0(−) × K0(−) → K0(−) en un unique morphisme ×: (Z × Gr)2 → Z × Gr dans H (S) (dans H• (S) en fait). Cette construction est aussi mentionnée dans [56, §4.3.1] ; d’une certaine manière, les résultats de cette section systématisent et approfondissent [loc. cit.].
On note 1: • → Z × Gr le morphisme correspondant à 1 ∈ K0(S). On obtient ainsi une structure d’Anneau commutatif (Z × Gr, +, −, ×, 1, 0) dans la catégorie H (S) : tous les axiomes à vérifier s’expriment par la commutativité de certains diagrammes dans H (S), d’après le théorème iii.31, il suffit de tester la commutativité de ces diagrammes en remplaçant Z × Gr par K0(−) (autrement dit, après application du foncteur ϕ: H (S) → Sm/SoppEns) et on peut effectuer cette vérification en disant simplement que pour tout X ∈ Sm/S, on a bien un anneau commutatif K0(X).

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Table des matières

Introduction
Sites suspendus avec intervalle
i Catégorie homotopique stable d’un site suspendu avec intervalle
1 Construction
1.1 Rappels sur la construction de Morel et Voevodsky
1.2 Spectres, structure projective
1.3 Ω-spectres, stabilisation
2 Fonctorialité
2.1 Changement de site
2.2 Changement de suspension
3 Structure triangulée, T-espaces de lacets
3.1 Énoncés généraux
3.2 Catégories SHT (S , I)
3.3 T-suspensions, T-espaces de lacets
3.4 Espaces de T-lacets infinis
4 Catégories homotopiques stables d’un schéma noethérien
5 Foncteur « points complexes »
5.1 Rappels sur les résultats de Dugger, Hollander et Isaksen et conséquences
5.2 Le site des variétés à coins
5.3 Topologie « étale » sur Coins
5.4 L’application raisonnable Sm/C → Coins
5.5 Le foncteur triangulé SH (C) → SHtop
6 La construction naïve
Opérations sur la K-théorie algébrique et régulateurs
ii Rappels et préliminaires
1 Limites projectives
1.1 Limites projectives indexées par N
1.2 Autres catégories d’indices
1.3 Suite exacte de Milnor
2 Astuce de Jouanolou
2.1 Énoncé
2.2 Interprétation en termes de catégories localisées
3 Quelques propriétés élémentaires de la K-théorie algébrique
3.1 Définition
3.2 Théorème du fibré projectif
3.3 Structure de λ-anneau
3.4 Grassmanniennes
iii Les opérations instables sur la K-théorie algébrique
1 Rappels sur la représentabilité de la K-théorie algébrique dans H (S)
2 Propriétés (ii) et (K)
2.1 Foncteur ϕ et propriété (ii)
2.2 Propriété (ii) et systèmes inductifs
2.3 Propriété (K)
3 Théorèmes principaux
4 Structures sur Z × Gr dans H (S)
4.1 Structure de Groupe commutatif
4.2 Structure d’Anneau commutatif
4.3 Structure de λ-Anneau
4.4 Structure de λ-Anneau spécial
5 Modèles de la K-théorie algébrique
5.1 Modèles putatifs
5.2 Modèles authentiques
5.3 Modèles classiques
6 Changement de schéma de base
7 Comparaison avec les produits définis antérieurement
7.1 Construction de D. Quillen
7.2 Construction de J.-L. Loday
7.3 Construction de F. Waldhausen
8 Anneaux des représentations des groupes GLn
8.1 Construction du morphisme Rk G → K0(BG)
8.2 Anneau des représentations de GLr
8.3 L’anneau RZ GL
9 Variantes à coefficients dans un sous-anneau de Q
10 Applications aux catégories virtuelles
iv Les opérations stables sur la K-théorie algébrique
1 L’objet BGLnaïf
1.1 Le théorème de périodicité
1.2 Définition de BGLnaïf
1.3 Morphismes de source BGLnaïf
2 Opérations additives sur la K-théorie algébrique
2.1 Le principe de scindage
2.2 Composition des opérations additives
2.3 Stabilisation
3 L’objet BGL
3.1 Construction de BGL
3.2 Morphismes de source BGL
3.3 Morphismes BGL → BGL[−n]
4 Coefficients rationnels
4.1 Définition de BGLQ
4.2 Endomorphismes de BGLQ
4.3 Diagonalisation simultanée des opérations d’Adams
v Régulateurs
1 Espaces d’Eilenberg-MacLane motiviques
1.1 Construction
1.2 Propriété (K)
1.3 Classes de Chern
1.4 Le principe de scindage
2 Spectres d’Eilenberg-MacLane motiviques
2.1 Définition
2.2 Laçage
2.3 Une famille de systèmes projectifs
2.4 Décalage de systèmes projectifs
2.5 Résultats
2.6 Caractère de Chern
vi Variantes topologiques
1 Rappels sur la K-théorie topologique
2 Théorie instable
3 Théorie stable