Quelques propriétés des électrons au-dessus de l’hélium

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Principes du calcul quantique 

Intérêt d’un tel ordinateur ?

Expliquer le monde microscopique des atomes fut une des premières tâches de la mécanique quantique. On s’est aperçu par la suite que son formalisme, que les concepts qu’elle dégageait n’étaient nullement contraints par la taille du système. On a alors observé des effets purement quantiques pour des grandeurs macroscopiques. De célèbres exemples sont l’effet tunnel macroscopique, la supraconductivité, la superfluidité.
Il faut néanmoins se placer dans des conditions expérimentales assez précises pour voir ces manifestations quantiques sur des objets macroscopiques. Les objets microscopiques restent, encore à l’heure actuelle, des objets privilégiés pour l’observation de phénomènes quantiques. La décohérence invoquée pour expliquer le passage d’un monde régi par la mécanique quantique à un monde soumis aux lois de la physique classique dépend, pour sa part, de la taille du système. Les microprocesseurs de nos ordinateurs contiennent de plus en plus de transistors. Ces transistors sont de plus en plus petits. Leur taille caractéristique est actuellement de 80 nm et on prévoit 32 nm pour 2009. A ces échelles, la décohérence ne supprime plus complètement les effets quantiques. La physique quantique va venir modifier le comportement de nos ordinateurs.
Doit-on accepter cette plongée dans l’univers quantique comme une fatalité? Peut-être pas! On peut peut-être tirer parti des lois quantiques pour rendre les ordinateurs intrinsèquement plus performants qu’ils ne le sont avec les technologies actuelles régies par les lois de la physique classique.
Des algorithmes utilisant les concepts de la physique quantique ont montré que de tels ordinateurs pourraient résoudre beaucoup plus rapidement certains problèmes comme la factorisation des nombres premiers.
L’univers quantique est particulièrement riche et complexe. Il ne peut donc être que difficilement simulable. Ainsi, Richard Feynman nota en 1982 qu’un ordinateur régi par les lois de mécanique quantique serait beaucoup plus performant pour simuler un système quantique que son homologue classique.

Le qubit proprement dit

On voit se dessiner la proposition de qubit faite par Platzman et Dykman [8]. Suivons DiVincenzo et sa liste pour décrire les propriétés de ce qubit

Un jeu discret d’états quantiques

Pour réaliser un qubit, il nous faut en tout premier lieu un système à deux états. Le fondamental et le premier état excité des électrons au-dessus de l’hélium seront donc les deux états du qubit. Néanmoins, le premier critère de DiVincenzo stipule que les qubit doivent être dénombrables. Les électrons devront donc être localisés dans le plan [12]. Pour ce faire, un potentiel de confinement sera appliqué sur les électrons par l’intermédiaire d’un réseau d’électrodes. On peut imaginer un potentiel périodique suivant x et y, chaque électron occupant un minimum du potentiel (Figure 6). Les niveaux d’énergies parallèles seront eux aussi quantifiés. Il nous faut vérifier que l’écart entre niveaux n’est pas du même ordre de grandeur que celui entre les états du qubit afin de ne pas exciter les états parallèles au lieu des états perpendiculaires.

Initialisation du qubit

Le passage de l’état fondamental vers le premier état excité se fera par une onde micro-onde de fréquence 120 GHz. Cette fréquence correspondant à une température de 5.8 K. en absence de toute excitations extérieures, pour des températures inférieures à 1 K, seul le niveau fondamental sera peuplé. Le spectre étant anharmonique, l’onde ne peut permettre le passage qu’entre les deux niveaux considérés.
Les électrons sur l’hélium peuvent être vu comme un système à deux niveaux et former un qubit. L’état fondamental est atteint pour une température inférieure à 1 K.
Une telle température nécessite l’emploi d’un cryostat. Nous verrons plus tard qu’il est nécessaire que l’expérience soit réalisée à des températures inférieure à 30 mK. Elle prendra place dans un cryostat à dilution.

opérations unitaires et portes logiques à deux qubits

L’opérateur contrôle le passage de l’état fondamental vers le premier état excité en appliquant un champ hyperfréquence polarisé verticalement. Il a à sa disposition un terme du hamiltonien qu’il peut à loisir allumer ou éteindre.
En se restreignant aux deux premiers états et en prenant l’énergie du fondamental comme référence des énergies, on peut décrire le qubit par le hamiltonien effectif suivant: 0 1 1 cos( )( 0 1 1 0 ), 0 1 1 0 . d RFH el E t avec l z z = + + ω ω = = ℏ.
Le premier terme du hamiltonien décrit les deux niveaux d’énergie tandis que le second décrit l’interaction dipolaire entre l’électron et le champ micro-onde (illustration Figure 7). Seule l’absorption et l’émission stimulée sont décrites par ce hamiltonien.
Nous nous sommes placés dans l’approximation dipolaire. La longueur dipolaire ld est supposée petite devant la longueur d’onde du champ. Pour une fréquence de transition de 120 GHz, la longueur d’onde est de l’ordre du millimètre (λ = 2,5 mm ). La longueur dipolaire (4.25nm) est donc bien plus petite.
Cette description du couplage de l’électron avec le champ électrique est une approche perturbative. On suppose que les fonctions d’onde ne sont pas modifiées.

Un long temps de décohérence

Afin de décrire et prédire le temps de décohérence d’un électron au-dessus de l’hélium, il nous faut décrire son couplage avec l’environnement. Le couplage s’établit à travers divers processus que nous allons présenter ci-dessous. Le détail des arguments théoriques pourra être trouvé dans les références [8,12,14,15]. Nous ne présenterons pas le détail des calculs. En revanche, pour chaque mécanisme de couplage, l’évolution des temps de thermalisation et de déphasage en fonction des paramètres pertinents d’un point de vue expérimental sera présentée. Ainsi, nous nous concentrerons en particulier sur l’évolution avec le champ électrique extérieur (E), avec la fréquence du piège (ω∥), la température (T) et la distance SET-électron (d)
Ce traitement pourra paraître laborieux mais il semble nécessaire car les temps de relaxation et de déphasage n’évoluent pas linéairement avec les différentes grandeurs précédentes, notamment avec E et ω ∥.
La géométrie de l’échantillon est telle que lors du piégeage d’un électron la fréquence caractéristique du piége se situe aux alentours de 40 GHz. Nous pouvons faire varier cette fréquence sur la plage [20 GHz, 60 GHz].
Au cours des expériences, il est apparu plus facile de piéger un électron avec un fort champ électrique (~4.105 V/m) qu’avec un champ faible (~5. 104 V /m). La plupart des expériences ont donc été réalisées avec ce fort champ électrique alors que les estimations de [14] ont été faites pour un champ nul et un champ de 3.104 V/m. Nous avons donc tracé l’évolution des temps de relaxation et de déphasage pour des amplitudes de champ électrique variant entre 0 V/m et 5.105 V/m.
La distance SET-électron est idéalement 500 nm dans les estimations de Dykman et al. Cette distance varie dans notre dispositif expérimental [se référer à la description de l’échantillon, partie ]. La distance maximale est environ 500 nm mais au plus proche de l’électron, elle n’est que de 100 nm.
L’évolution des temps de relaxation et de déphasage a nécessité le calcul des fonctions d’onde, de l’énergie, des distances moyennes par rapport au film d’hélium en fonction du champ électrique extérieur pour l’état fondamental et le premier état excité. Ces calculs (numériques) ont été réalisés avec le logiciel FlexPDE. Les calculs des intégrales faisant intervenir des fonctions de Bessel modifiées ont, quant à eux, été réalisés avec le logiciel Mathematica.
Le chapitre suivant est dédié au temps de décohérence. Nous présentons tout d’abord les notions de temps de relaxation et de temps de déphasage. Ensuite, les différents mécanismes de décohérence sont présentés séparément. Nous expliquerons entre autre le rôle fondamental du confinement.

Limites de ces estimations

Outre les approximations consistant à ne considérer que les ripplons ayant l’impulsion qres , nous n’avons pas tenu compte d’un terme résultant de l’interférence du terme cinétique et du terme de polarisation. Il est estimé plus faible que ces deux derniers [14] et donc négligeable. Par ailleurs, il existe une limite intrinsèque à ces estimations. Le modèle les sous-tendant suppose une barrière liquide-vapeur infinie, une interface hélium-vapeur bien définie ainsi que des ripplons de grandes longueurs d’onde. Les corrections apportées par l’approximation adiabatique dépendent fortement du vecteur d’onde des ripplons. Au-delà de 109 m-1, les corrections deviennent grandes devant 1 traduisant l’inadéquation de la méthode . Pour le cas le plus défavorable, la longueur d’onde des ripplons participant à la thermalisation est de cet ordre de grandeur (qres.=109 m-1 lorsque l’énergie échangée est égale à 60 GHz). On peut donc raisonnablement penser que cette approximation suffit. Néanmoins, quelques détails sur le régime à faible longueur d’onde sont donnés au paragraphe suivant.

Couplage avec les phonons.

Le calcul du temps de relaxation se base là encore sur l’approximation adiabatique mais se limite au premier ordre du développement perturbatif (au hamiltonien Hi1 (équation 4)). La propagation des phonons étant tridimensionnelle, un phonon perpendiculaire à l’interface pourra accommoder toute l’énergie perdue par l’électron tout en assurant une conservation de l’impulsion (Figure 21). La décroissance par interaction avec des phonon se propageant parallèlement à la surface ne sera pas prise en compte. En effet, comme précédemment pour la décroissance mettant en jeu un seul ripplon, un seul phonon transverse ne pourra pas accommoder toute l’énergie libérée et permettre une conservation de la quantité de mouvement.
L’épaisseur finie de l’interface impose un nombre d’onde maximal. La transition liquidevapeur s’effectue sur une distance comprise entre 6 et 8 Å. Des phonons ayant une longueur d’onde plus petite que cette épaisseur ne pourront pas s’y propager et interagir avec l’électron. Le nombre d’onde maximal est de l’ordre de l’inverse de cette distance 9 1 q m max ≃10 – ce qui est en accord avec l’approximation adiabatique. Le coupage avec les phonons peut donc être traité par l’intermédiaire de l’approximation adiabatique.
Nous nous limiterons à nouveau à la transition libérant le moins d’énergie : 1,0,0 0, , → νc v m .

Simulation du profil des potentiels.

Nous avons effectué une simulation du profil de potentiel ressenti par l’électron. Cette simulation a été réalisée avec le logiciel FlexPDE 4.0. C’est un logiciel générique de résolution d’équations aux dérivées partielles avec condition aux limites. Le logiciel réalise une résolution par éléments finis en 3 dimensions. La géométrie complète de l’échantillon est simulée. Les épaisseurs, les constantes diélectriques des différentes couches, silicium, silice, électrodes métalliques, hélium, air sont prises en compte. La structure pyramidale du SET a été modélisée. Le logiciel calcule le potentiel et le champ électrique en tout point de l’échantillon. Ainsi, il nous permet d’avoir accès au potentiel ressenti par un électron flottant au-dessus du film d’hélium. D’une manière générale, nous ne représenterons pas le profil du potentiel électrique mais le profil de l’énergie potentielle d’un électron dans ce profil de potentiel électrique. L’énergie sera en électron-volts. Ainsi la correspondance entre le profil d’énergie potentielle et le profil des potentiels électriques est simple, juste un signe. De plus, cette représentation est plus claire. L’électron occupe un minimum du profil. Dans la suite de cette thèse, nous parlerons de “profil de potentiel” pour “profil de l’énergie potentielle d’un électron“. Un exemple de profil de potentiel est représenté Figure 45.

Introduire la quantité exacte d’hélium.

L’hélium est introduit dans la cellule via un capillaire placé à température ambiante. La cellule est préalablement pompée. Il nous faut introduire la quantité exacte d’hélium pour remplir le canal (réservoir gauche, droit et anneau) et seulement le canal. En aucun cas, le film d’hélium au-dessus de l’électrode de garde ne doit être le plus fin possible6. L’épaisseur du film est imposée par les forces de capillarité et par le niveau relatif du bain d’hélium dans la cellule. Il convient donc d’ajouter la quantité minimale d’hélium permettant de ne remplir que les deux réservoirs et l’anneau. Le film au-dessus de l’électrode de garde sera alors de 300 Å environ.
Afin de contrôler la quantité d’hélium ajoutée, nous mesurons avec un pont de mesure de capacité, la capacité entre deux électrodes (c.f. Figure 42 et Figure 43). Cette mesure s’effectue toujours entre l’électrode de garde et une des autres électrodes afin d’avoir le plus grand couplage donc la meilleure précision possible. Généralement, nous utilisons un des deux réservoirs. La capacité est dominée par les électrodes macroscopiques (se référer à la Figure 42). Ainsi, comme la mesure a principalement lieu entre les électrodes macroscopiques, le choix de l’électrode n’a pas d’importance, les électrodes macroscopiques étant toutes identiques.
La Figure 50 présente les variations de capacité en fonction de la quantité d’hélium introduite. La quantité d’hélium introduit est donnée en unité arbitraire dans le sens où nous ne connaissons pas la fraction d’hélium introduit qui reste présent dans le capillaire. Nous introduisons de l’hélium gazeux, mesuré en mbar. L’hélium se condense avant d’avoir atteint la cellule expérimentale. Il est liquide dans toute une partie du capillaire. Les forces de capillarité stabilisent cette colonne de liquide. Il en résulte deux conséquences. Tout d’abord, nous ne connaissons pas la quantité exacte qui arrive effectivement sur l’échantillon. Cela empêche toute conversion du volume introduit en unité de pression en hauteur de film. Ensuite, cette colonne peut être instable. Le niveau d’hélium varie alors subitement. Afin de minimiser les effets de ces brusques variations, la cellule expérimentale contient une cavité située sous l’échantillon. Le volume de cette cavité est grand. Il accommode les variations de niveau.
La capacité (Figure 50) commence par décroître. Nous ne savons pas expliquer cette décroissance. Néanmoins, il ne s’agit pas d’un effet de température car elle existe lorsque de l’hélium a été préalablement introduit puis pompé. L’hélium étant difficile à pomper complètement, il reste toujours un film monomoléculaire qui assure la thermalisation de l’ensemble de la cellule Après cette décroissance, la courbe est plate. Un film fin se forme sur l’ensemble de l’échantillon. Le canal, situé sous le niveau des électrodes macroscopiques, se remplit petit à petit. La capacité finit par augmenter. Le film d’hélium rempli complètement l’espace libre entre les deux réservoirs. La hauteur du film d’hélium augmente, la capacité augmente. Puis, elle finit par saturer.

Générer les électrons : décharge corona.

Les électrons sont créés grâce à une décharge corona. On applique un fort potentiel négatif (en valeur absolue, entre 450 et 900 V) sur une électrode située dans une cage en forme de doigt (voir Figure 47 et Figure 48). Cette électrode est séparée par une grille dont le potentiel est à la masse. Le corps de la cellule ainsi que la cage sont à la masse. Lorsqu’on désire peupler la surface d’hélium d’électrons, un léger potentiel positif est appliqué sur toutes les électrodes de l’échantillon (entre +0.1 et +0.3 V). Grâce à sa géométrie particulière, le champ électrique créé au niveau du doigt est très intense. Cet effet de pointe se traduit par une décharge. Nous pouvons aussi générer des ions positifs en appliquant un potentiel positif sur l’électrode. Après plusieurs décharges négatives successives, créer des cations peut être utile pour neutraliser les électrons immobiles piégés dans sur les parties diélectriques de l’échantillon. Ces électrons forment alors une barrière de potentiel qui empêche les électrons générés par la décharge d’atteindre les deux réservoirs. Les cations libérés se déposent sous la surface d’hélium. Ils créent ainsi un potentiel attracteur supplémentaire et augmentent le confinement.
Les décharges positives et négatives se déroulent principalement en deux étapes. Il y a tout d’abord une étape de génération d’ions et d’électrons. Ils sont ensuite accélérés par le champ électrique et engendrent, par un effet d’avalanche en rencontrant des atomes neutres du gaz environnant, des ions et des électrons. La grille,un réseau métallique de période spatiale 0.1 µm (grille de microscope électronique), dont le potentiel est à la masse permet de décélérer les ions ou les électrons suivant la polarité de la décharge.
La densité du gaz (l’hélium) doit être suffisamment importante pour entretenir la décharge. La décharge est effectuée à 1.2K. La cellule est ensuite refroidie jusqu’à la température de travail T~30 mK, ce qui demande un peu de temps (environ 1 heure). On comprend maintenant l’utilité des deux réservoirs.

Troisième partie, piéger un électron : La ligne d’arrivée

Détection par mesure capacitive.

La décharge s’effectuant à 1.2 K, température pour laquelle le SET ne fonctionne pas, afin de s’assurer de la présence des électrons, nous effectuons une détection par mesure capacitive comme expliqué au II.2.1.
La présence des électrons se manifeste par une augmentation du couplage capacitif entre les deux réservoirs. Nous appliquons un signal sinusoïdal de fréquence 100 kHz et d’amplitude environ 100 µV sur le réservoir droit. La mesure est effectuée sur le réservoir gauche avec un détecteur synchrone, le signal à mesurer ayant été préalablement amplifié avec un préamplificateur bas-bruit. La tension délivrée par le lock-in augmente de 1 à 20 10-8 Volts rms après la décharge.
Le signal mesuré est trop faible pour nous permettre une estimation de la densité électronique et de la mobilité des électrons à partir de la mesure de conductivité de la couche électronique. Lors de ses expériences, Grimes a utilisé des électrodes dont les dimension typiques étaient de l’ordre du millimètre. Nous sommes deux ordres de grandeur en dessous ce qui explique pourquoi nous ne pouvons pas déterminer la densité moyenne.
De plus, le signal n’est pas très stable. Il peut disparaître bien que les électrons soient toujours présents. Nous n’avons remarqué aucun lien entre la disparition du signal capacitif et les potentiels sur les réservoirs, la température, etc.…

Table des matières

Introduction
I. Première partie: Vers un ordinateur quantique
I.1. Principes du calcul quantique
I.1.1. Intérêt d’un tel ordinateur ?
I.1.2. Les bases de l’informatique quantique : le formalisme quantique
I.2. Les critères de DiVincenzo
I.3. La proposition de Dykman et Platzman
I.3.1. Quelques propriétés des électrons au-dessus de l’hélium
I.3.2. Le qubit proprement dit
I.4. Temps de décohérence
I.4.1. Temps de relaxation et temps de déphasage
I.4.2. Mécanismes de décohérence
I.5. Transistor à électron unique
I.5.1. Théorie orthodoxe du blocage de Coulomb
I.5.2. Caractéristique courant-tension
I.5.3. Le SET supraconducteur en tant qu’électromètre
II. Deuxième partie, piéger un électron : La course de fond
II.1. Les échantillons
II.1.1. géométrie des échantillons et choix des matériaux
II.1.2. techniques de fabrication
II.1.3. Simulation du profil des potentiels
II.2. La cellule expérimentale
II.2.1. Description
II.2.2. Introduire la quantité exacte d’hélium.
II.2.3. Générer les électrons : décharge corona.
II.3. Connections avec le monde extérieur
II.3.1. Limiter ces connections
II.3.2. Schémas électriques du SET
II.3.3. Détection synchrone
II.3.4. Schéma électrique global
III. Troisième partie, piéger un électron : La ligne d’arrivée
III.1. Détection par mesure capacitive.
III.2. Caractéristiques de l’échantillon
III.2.1. Paramètres physiques
III.2.2. Bruit et autres observations perturbatrices
III.3. Oscillations courtes avec le réservoir gauche
III.4. Un seul électron localisé.
III.4.1. Courbe de décharge
III.4.2. Evolution avec la profondeur du piège
III.5. Ilot de Wigner et énergie d’un point quantique cristallisé.
III.5.1. Cristallisation de Wigner
III.5.2. Molécules de Wigner
III.5.3. Spectres d’addition
III.6. Lecture projective et temps de thermalisation
III.6.1. Lecture projective
III.6.2. Courbes d’échappement
III.6.3. Procédure d’analyse
III.6.4. Estimation du temps de relaxation
Conclusion
Annexes
Annexe A : lithographie électronique
Annexe B : évaporation sous angles et SET à îlot pyramidal
Annexe C : données techniques concernant la fabrication
Annexe D : Pourquoi un SET à îlot pyramidal ?
Bibliographie

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