Quelques propriétés de la transformation de Fourier

Licence Sciences et Techniques (LST)
CALCUL SCIENTIFIQUE ET APPLICATIONS

Quelques propriétés de la transformation de Fourier

Rappel sur le développement en série de Fourier

Soit ? une fonction (ou signal) périodique de période T.Joseph Fourier, mathématicien français, affirma dans un mémoire daté de 1807, qu’il était possible dans certains conditions de décomposer une fonction périodique ? sous la forme d’une somme infinie de signaux sinusoïdaux : Ainsi on a dans certaines conditions (par exemple si ? est de classe ?? )

La transformation de Laplace

On appelle original toute fonction f(t) à valeurs complexes d’un argument réel t , satisfaisant aux conditions suivantes :
(i) f(t) est continue sur l’axe des t tout entier à l’exception de certains points en lesquels elles présentent des discontinuités de première espèce qui ne peuvent être qu’en nombre fini sur tout intervalle fini.
(ii) f(t) est nulle en dessous de 0 :
f(t) =0 pour t<0.
(iii) f(t) est de type exponentiel en module, i.e. il existe des nombres M>0 et tels que pour tout : |()| ≤ Il est clair que si l’inégalité (1) est remplie pour un = , elle le sera pour tout > .la borne inférieure de tous les nombres s pour lesquels a lieu (1) s’appelle ordre de croissance de la fonction f(t) . Dans le cas général, l’inégalité

Existence de la transformation de Laplace

La transformée de Laplace n’existe pas pour n’importe quelle fonction. Nous allons maintenant donner des conditions sur f(t) qui garantiront l’existence de ∫ () ()
Définition : une fonction f(t) est dite secontionnellement continue sur [a,b], si elle continue sauf en un nombre fini de points et la discontinuité en ces points est de première espèce (i.e) les limites à droite et à gauche en ces points existent mais non égales.
Définition : on dit que f(t) est d’ordre exponentiel quand → ∞ s’il existe des constantes M,b et t telles que |()| ≤ pour t< . on dit alors que f(t) est de l’ordre de quand → ∞.
Théorème : si f(t) est secontionnellent continue sur chaque intervalle fini [0,a], a>0, et est de l’ordre de quand → ∞, la transformée de Laplace (()) existe pour p>b.

Transformation inverse de Laplace

Considérons le problème inverse qui consiste à trouver une fonction f(t) par son image () .
Formulons des conditions suffisantes pour qu’une fonction ()de la variable complexe p soit l’image d’une fonction.

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Table des matières

Partie théorique
1 TRANSFORMATION DE FOURIER
1.1 Introduction
1.1.1 Rappel sur le développement en série de Fourier
1.1.2 Remarque
1.2 Fonction localement intégrable
1.2.1 Définition
1.2.2 Remarque
1.2.3 Proposition
1.3 L’INTEGRALE DE FOURIER
1.3.1 Remarque
1.4 FORME COMPLEXE DE L’INTEGRALE DE FOURIER
1.5 TRANSFORMEE DE FOURIER
1.5.1 Définition
1.6 Propriétés
1.6.1 Lemme (de Riemann)
1.6.2 Théorème
1.6.3 Notation
1.6.4 Théorème : (Dérivée de transformation de Fourier)
1.6.5 Théorème : [ transformée de Fourier de la dérivée]
1.7 Quelques propriétés de la transformation de Fourier
1.7.1 Linéarité
1.7.2 Transformation de Fourier de la translation
1.7.3 Transformation de Fourier de l’homothétie
1.7.4 Produit de convolution
1.8 Sinus et cosinus-transformée de Fourier
1.8.1 Définition
1.8.2 Remarque
1.9 Spectre d’amplitude et de phase de l’intégrale de Fourier
1.10 APPLICATION DE LA TRANSFORMATION DE FOURIER
1.10.1 Résolution d’équations différentielles
1.10.2 Résolution d’équation intégrale
1.11 Table : Transformée de Fourier
2 TRANSFORMATION DE LAPLACE
2.1 La transformation de Laplace
2.1.1 Définition
2.2 Propriétés de la transformation de Laplace
2.3 Transformation inverse de Laplace
2.3.1 Théorème
2.3.2 Théorème
2.3.3 Théorème
2.3.4 Application de la transformation de Laplace : (calcul opérationnel)
2.3.4.3 Résolution des équations intégrales
2.3.5 Table : transformée de Laplace
3 Equations paraboliques
3.1 Introduction
3.1.1 Notions fondamentales sur les E.D.P
3.2 Equation de la chaleur
3.2.1 Quelques définitions
3.2.2 Etablissement de l’équation de chaleur
3.3 Le problème de Cauchy relatif à l’équation de la chaleur
3.3.1 Théorème
3.4 Propagation de la chaleur dans une tige de longueur finie
3.5 Méthode de séparation de variables pour l’équation de la chaleur
3.6 Solution à l’aide de transformation de Fourier
3.7 Solution à l’aide de transformation de Laplace
Partie pratique
4 Approximation numérique des EDP paraboliques
4.1 Introduction
4.2 Les différences finies
4.2.1 Principe- ordre de précision
4.2.2 Notation
4.2.3 Schéma d’ordre supérieur
4.2.4 Dérivée d’ordre supérieur
4.2.5 Notation indicielle
4.3 Discrétisation de l’équation de la chaleur 1D
4.3.1 Schéma d’Euler explicite
4.3.2 Schéma d’Euler implicite
4.3.3 ?-schéma pour l’équation de la chaleur
4.4 Exemple d’application
4.4.1 Programmation de la solution analytique
4.4.2 Programmation de la solution
4.4.3 Comparaison des méthodes:
Conclusion
Références