Soutenance mémoire
Nous abordons dans cette thèse plusieurs questions concernant les propriétés arithmétiques de certaines suites associées à des systèmes dynamiques complexes. Ce travail s’inscrit ainsi dans le domaine de la dynamique arithmétique, qui est un sujet de recherche relativement récent et très actif au croisement de la dynamique holomorphe et de la théorie des nombres.
Étant donnés une fraction rationnelle f : P1 (C) → P1 (C) de degré d ≥ 2 et un point z0 ∈ P1 (C), on s’intéresse à la suite (f◦n (z0))n≥0 des itérées de f en z0. L’ensemble {f ◦n (z0) : n ∈ N} est appelé l’orbite future de z0 pour f.
Certains points jouent un rôle particulièrement important dans l’étude de la dynamique de f. On dit que z0 est un point périodique pour f s’il existe n ∈ N∗ tel que f ◦n (z0) = z0. Dans ce cas, le plus petit tel entier n est appelé la période de z0 et on dit que l’orbite future de z0 est un cycle pour f. Plus généralement, on dit que z0 est un point prépériodique pour f si son orbite future est finie ou, de manière équivalente, s’il existe m ∈ N tel que f ◦m (z0) est périodique pour f. Dans ce cas, le plus petit tel entier m est appelé la prépériode de z0 et on appelle période de z0 la période de f ◦m (z0).
Une autre notion fondamentale en dynamique holomorphe est celle de multiplicateur d’une fraction rationnelle en un point périodique. Supposons que z0 est un point périodique pour f avec période n. On appelle multiplicateur de f en z0 l’unique valeur propre λ0 de l’application tangente Tz0 ◦n, qui est un endomorphisme de la droite vectorielle complexe Tz0 P1 (C). La fraction rationnelle f a le même multiplicateur en chaque point d’un cycle. De plus, le multiplicateur est invariant par conjugaison : si g: P1 (C) → P1 (C) est une fraction rationnelle et ϕ: P1 (C) → P1 (C) est une transformation de Möbius telles que g ◦ ϕ = ϕ ◦ f, alors ϕ (z0) est un point périodique pour g avec période n et multiplicateur λ0.
Entiers simultanément prépériodiques pour un polynôme quadratique
Un sujet récent en dynamique arithmétique est l’étude des intersections improbables, qui tire son origine de la géométrie arithmétique. De manière imprécise, le principe des intersections improbables affirme que des variétés algébriques ne peuvent avoir une intersection plus grande que ce que l’on pourrait attendre à moins que celles-ci ne soient reliées. Le premier résultat inspiré par ce principe en dynamique arithmétique est dû à Baker et DeMarco et concerne les paires de points qui sont simultanément prépériodiques pour un polynôme unicritique.
Fixons un entier d ≥ 2. Pour c ∈ C, considérons le polynôme complexe
fc : z → zd + c
Pour a ∈ C, définissons
Sa = {c ∈ C : a est prépériodique pour fc} .
Pour tout a ∈ C, l’ensemble Sa est infini dénombrable. On peut alors se demander si les ensembles Sa ∩ Sb, avec a, b ∈ C, sont infinis. Baker et DeMarco ont répondu à cette question, en montrant le résultat suivant :
Théorème 0.1 ([BD11, Theorem 1.1]). Soient a, b ∈ C. Alors Sa ∩ Sb est infini si et seulement si ad = bd.
Quelques préliminaires algébriques sur la dynamique d’un polynôme
Nous rappelons ici certaines notions algébriques liées à la dynamique d’un polynôme. Plus précisément, l’objectif de ce chapitre est d’introduire les polynômes dynatomiques et les polynômes multiplicateurs d’un polynôme, qui sont reliés à ses points périodiques et ses multiplicateurs. Comme tout polynôme complexe est conjugué à un polynôme unitaire, nous limitons ici notre étude aux polynômes unitaires. Les polynômes non unitaires étant en particulier des fractions rationnelles. Aussi, afin d’obtenir des résultats sur les coefficients des polynômes dynatomiques et des polynômes multiplicateurs, nous considérons ici des polynômes unitaires à coefficients dans un anneau commutatif quelconque. Enfin, nous étudions plus en détail le cas des polynômes unicritiques.
Espace des polynômes, points périodiques et multiplicateurs
Rappelons ici certaines définitions concernant la dynamique d’un polynôme.
Le cas général. Soit A un anneau commutatif. Dans ce chapitre, A désignera souvent un anneau de polynômes à coefficients entiers. Ceci nous permettra d’étudier la dynamique d’un polynôme dont les coefficients sont des indéterminées et ainsi d’obtenir des résultats sur les coefficients des polynômes dynatomiques et des polynômes multiplicateurs.
Pour d ∈ N, notons
Polyd (A) = {f ∈ A[z] : deg(f) = d}
l’ensemble des polynômes de degré d à coefficients dans A et
Poly U/d (A) = {f ∈ A[z] : f unitaire et deg(f) = d}
la partie de Polyd (A) formée des polynômes unitaires.
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Table des matières
Introduction
partie 1. Points périodiques et multiplicateurs d’un polynôme
Chapitre 1. Quelques préliminaires algébriques sur la dynamique d’un polynôme
1.1. Espace des polynômes, points périodiques et multiplicateurs
1.2. Polynômes dynatomiques d’un polynôme unitaire
1.3. Polynômes multiplicateurs d’un polynôme unitaire
1.4. Dynamique des polynômes unicritiques et dynamique du décalage
Chapitre 2. Étude de spécialisations de polynômes dynatomiques et de polynômes multiplicateurs
2.1. Spécialisations de polynômes dynatomiques et courbes préimages
2.2. Entiers simultanément prépériodiques pour un polynôme quadratique
2.3. Polynômes avec multiplicateurs entiers ou rationnels
partie 2. Points périodiques et multiplicateurs d’une fraction rationnelle
Chapitre 3. Quelques préliminaires algébriques sur la dynamique d’une fraction rationnelle
3.1. Espace des fractions rationnelles, points périodiques et multiplicateurs
3.2. Polynômes dynatomiques d’un couple de polynômes homogènes
3.3. Polynômes multiplicateurs d’une fraction rationnelle
Chapitre 4. Étude des polynômes multiplicateurs d’une fraction rationnelle
4.1. Résultant et coefficients des polynômes multiplicateurs
4.2. Fractions rationnelles quadratiques avec multiplicateurs entiers
Conclusion
Annexe
