Soutenance mémoire
Présentation générale des plasmas et de leur modélisation
Quelques généralités à propos des plasmas
Un plasma désigne un milieu composé de molécules ou d’atomes, partiellement ou totalement ionisé. Il peut être obtenu à partir d’un gaz neutre soumis à des conditions physiques bien spécifiques, notamment une très forte température, induisant l’ionisation du gaz. Le terme plasma fut employé pour la première fois en 1928 par le physicien tchèque Irving Langmuir qui établit alors un parallèle avec la notion biologique du plasma sanguin [90]. La communauté scientifique qualifie l’état plasma de quatrième état de la matière. Il s’agit de l’état dominant dans l’Univers : le coeur des étoiles, les vents solaires ou encore le gaz intergalactique se trouvent à l’état plasma. Bénéficiant de la protection du champ magnétique terrestre, nous sommes relativement épargnés par la présence de ce quatrième état de la matière dans notre proche environnement. Néanmoins, le progrès technologique de ces dernières décennies a fait multiplier la présence des plasmas dans notre quotidien, citons par exemple les arcs électriques de soudure ou encore les lampes à plasma.
Ces dernières années, l’étude des plasmas a joué un rôle majeur dans plusieurs grands projets industriels, notamment les réacteurs d’engins spatiaux [97], ou encore l’ambitieux projet ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor). Ce projet international a pour objectif de concevoir un démonstrateur technologique de la fusion nucléaire par confinement magnétique. Ce confinement doit se produire dans un Tokamak (du russe toroïdalnaïa kamera magnitnymi katushkami), une immense chambre toroïdale ceinturée par de puissantes bobines. Lors de son fonctionnement, un gaz d’éléments légers (à savoir le deutérium et le tritium, les deux isotopes de l’hydrogène) est soumis à des températures et des pressions extrêmes afin qu’il se mue en plasma, un milieu où les espèces peuvent fusionner et ainsi créer de l’énergie. En effet, le réarrangement produit par la réaction de fusion conduit à une perte (partielle) de la masse totale du système, qui est convertie en énergie via la relation E = mc2 . Les puissantes bobines placées autour de l’enceinte toroïdale permettent de maintenir le plasma chaud et loin des parois, zones où il risque de perdre ses propriétés essentielles en cas de collisions avec ces dernières. De plus, les parois pourraient être endommagées suite à de telles collisions. Les objectifs du projet ITER sont très ambitieux, le principal étant d’obtenir une quantité d’énergie cinq à dix fois plus importante à celle nécessaire au fonctionnement de la machine. ITER prévoit également de tester la production d’un des réactifs de fusion, le tritium, au sein même de l’enceinte du Tokamak. En effet, contrairement au deutérium qui est présent sur Terre en quantité très abondante, le tritium est beaucoup plus rare. Le projet ITER envisage donc de réutiliser le flux neutronique issu des réactions de fusion ainsi que des parois en lithium (qui seront installées vers la fin du projet dans la couverture du réacteur) afin de recréer le tritium consommé. Dans cette thèse, nous étudierons des modèles simplifiés de certains phénomènes présents dans un plasma de Tokamak, en particulier ceux qui sont liés aux phénomènes de turbulence, qui peuvent mettre en péril le bon fonctionnement du processus de fusion. En particulier entraver le chauffage du plasma, et donc diminuer les performances de la machine. L’intérêt d’étudier de tels modèles est qu’ils possèdent des difficultés similaires à celles des modèles plus réalistes et donc plus complexes.
Le comportement d’un plasma diffère sensiblement de celui d’un gaz neutre par les composés ionisés qu’il contient. Ainsi, à cause de la ionisation partielle ou totale du plasma, les forces dominantes dans ce dernier sont les forces électromagnétiques s’exerçant entre les particules chargées à longue distance. Les forces dites collisionnelles sont elles aussi des forces de nature électromagnétiques mais à courte distance, elles sont parfois négligées en raison de la faible collisionalité d’un plasma (faible densité et températures importantes). Néanmoins, de nombreux modèles prennent également en compte les effets collisionnels dans les plasmas. Ainsi, les particules chargées, en plus des interactions avec leurs proches voisines, subissent l’interaction avec le champ électro-magnétique moyen crée par leur déplacement dans le plasma (et également d’un éventuel champ magnétique extérieur crée indépendamment).
Créer et maintenir un plasma à partir d’un gaz neutre, comme l’exige le projet ITER, n’est pas sans difficulté. Tout d’abord, une énergie considérable est nécessaire pour d’une part ioniser le gaz et d’autre part surpasser les forces répulsives à très courte distance de Van der Walls pour fusionner les particules entre elles. Mais à de tels niveaux d’énergie, des instabilités de nature électro magnétique peuvent entraîner l’apparition de phénomènes de turbulence venant mettre en péril le confinement du plasma. L’étude de ces phénomènes, et la manière de les limiter sont donc deux éléments essentiels pour la réussite du projet ITER. Enfin, l’une des difficultés majeures inhérente à l’étude des plasmas est que dans certaines situations (comme dans les plasmas de Tokamak), la dynamique de ces derniers est fortement anisotrope : le mouvement des particules le long des lignes de champ magnétique et orthogonalement à celles-ci diffère de façon considérable. De plus, le rapport de masse très important entre les deux espèces constitutives du plasma (ions et électrons) entraîne l’existence de comportements différents des ces dernières, selon l’échelle temporelle d’observation considérée. L’un des enjeux de la simulation numérique des plasmas de Tokamak est de prendre en compte les multiples complexités de la dynamique du plasma qui viennent d’être énoncées. Un des objectifs principaux de cette thèse est de présenter quelques schémas numériques pouvant apporter une contribution à cet objectif.
Quelques phénomènes physiques liés aux plasmas
Rappelons dans un premier temps que l’enjeu de la fusion thermonucléaire dans un Tokamak est de maintenir le plasma à une température suffisamment élevée, afin de contrer les forces répulsives qui tendent à éloigner les espèces les unes des autres et ainsi de favoriser l’approche des noyaux pour que la force nucléaire soit suffisante afin de déclencher la réaction de fusion. Dans de telles conditions de température, de nombreuses ondes (de nature électro-magnétiques entre autres) sont présentes dans le plasma, ces dernières peuvent alors, lorsque certains modes sont excités, causer la dégradation du confinement que l’on souhaite établir. L’étude de ces phénomènes de nature ondulatoire est donc primordiale dans la perspective d’obtenir un confinement efficace. Il est tout particulièrement important de comprendre comment certains modes de ces ondes sont excités, et lorsque c’est le cas, s’ils sont amplifiés ou amortis.
Amortissement Landau
Ce phénomène physique a été introduit par Landau [89] et possède la remarquable propriété d’être un amortissement de nature non collisionnelle. L’amortissement Landau est la décroissance exponentielle en temps de toute les petites perturbations dans un plasma stable, en particulier l’amplitude des ondes de Langmuir (qui correspondent aux oscillations de densité décrites dans la sous section précédente). En particulier, Landau a montré qu’un plasma possédant une distribution d’electrons ayant une pente négative au point correspondant à la vitesse de phase de l’onde est stable. C’est le cas en particulier d’une distribution Maxwelienne de vitesse . Néanmoins, cette condition de stabilité n’est que suffisante. On pourra consulter les ouvrages [1,26] pour un développement plus précis sur l’amortissement Landau, ainsi que l’article [50] qui adopte un point de vue microscopique. Pour une approche mathématique de l’amortissement Landau, on renvoie aux travaux de C. Mouhot et C. Villani [128].
Instabilité bi-courant
On considère ici deux courants d’électrons d’égale densité mais se déplaçant en sens contraire dans un fond continu d’ions immobiles . Deux cas sont alors possibles, soit on considère un plasma chaud et les courants d’électrons possèdent alors un élargissement thermique dans leur fonction de distribution, soit on considère un plasma froid, et les fonctions de distributions sont associées à des distributions de Dirac. Ce dernier cas n’est pas illustré dans cette thèse. Contrairement à l’amortissement Landau, si la vitesse de phase vφ est bien choisie, une instabilité peut alors apparaitre. il existe cette fois davantage de particules ayant une vitesse légèrement supérieure à vφ que de particules ayant une vitesse légèrement inférieure à vφ . Ainsi, les particules vont transmettre de l’énergie à l’onde qui va s’amplifier. Cette instabilité n’est néanmoins possible que si la vitesse relative entre les deux courants est supérieure à la vitesse thermique des distributions maxwelliennes [29]. Dans la limite du plasma froid (où Vth ≈ 0), la théorie linéaire, via la résolution de l’équation de dispersion , nous donne alors la fréquence et le taux de croissance des modes instables (néanmoins les résultats obtenus peuvent être comparés à des simulations effectuées pour des plasmas chauds, les effets thermiques ne jouant pas un rôle majeur dans cette instabilité [29]).
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Table des matières
Introduction
1 Présentation générale des plasmas et de leur modélisation
1.1 Quelques généralités à propos des plasmas
1.2 Descriptions mathématiques d’un système de particules
1.3 Quelques phénomènes physiques liés aux plasmas
2 Problèmes multi-échelles
2.1 Motivations et cadre général
2.2 Plusieurs exemples de problèmes multi-échelles
2.3 Quelques méthodes analytiques et numériques pour la résolution de problèmes multi-échelles
2.4 Schémas préservant l’asymptotique
3 Présentation des résultats obtenus dans cette thèse
3.1 Équation de transport anisotrope avec caractéristiques droites
3.2 Équation de transport anisotrope avec caractéristiques circulaires
3.3 Contributions numériques du (DAMM)-scheme sur le système de VlasovPoisson
3.4 Étude d’une équation de Vorticité-Poisson, écoulement de Kolmogorov
3.5 Conclusion générale
3.6 Quelques perspectives de nos travaux
Conclusion
