Soutenance mémoire
Quelques éléments nécessaires dans l’analyse d’une série temporelle
Quelques théories de la mesure
DÉFINITION : Soit (E,+,*) un K-espace vectoriel où K est un corps et d ∈ K. N :E → R+ est une norme sur E[24] si :
• N(x) = 0 ⇐⇒ x = 0
• N(dx) = dN(x)
• N(x+y) ≤ N(x) +N(y)
Stationnarité et inversibilité d’une série temporelle
Avant le traitement d’une série chronologique, il convient d’en étudier les caractéristiques stochastiques, c’est-à-dire, on doit connaître si la série est stationnaire. Des séries peuvent être stationnaires, non stationnaires et explosives [3]. Dans le cas d’une série non stationnaire, on peut la rendre stationnaire selon le type de non stationnarité. De plus, il est nécessaire d’étudier si la série est inversible.
Différents types de stationnarité
DÉFINITION : Une série (Xt)t∈T est dite faiblement stationnaire si elle vérifie les conditions suivantes :
• E(Xt) = E(Xt+m) = µ pour tout t et pour tout m c’est à dire, la moyenne est constante et indépendante du temps.
• Var(Xt) < ∞, quelque soit t, la variance est finie et indépendante du temps.
• cov(Xt,Xt+k) = E[(Xt − µ)(Xt+k − µ)] = γk la covariance est indépendante du temps.
DÉFINITION : Le processus (Xt)t∈T est dit fortement stationnaire si Xt1 ,Xt2 ,…,Xtk et Xt1+h,Xt2+h,…,Xtk+h ont la même distribution pour tout h et pour tout k tels que : {ti +h} ∈ T , i = 1,…, k
DÉFINITION : Une série temporelle (ηt)t∈T est un bruit blanc faible si elle vérifie les conditions suivantes [28] :
• E(ηt) = 0 pour tout t
• Var(ηt) = σ2 < +∞ , ∀ t, la variance est finie et indépendante du temps.
• E[ηtηt+k] = 0 ,∀ t et k
Définition et utilité de l’inversibilité
Définition de l’inversibilité et de l’opérateur de retard :
DÉFINITION : Le processus (Xt)t∈T où Xt = εt +g(Xt−1,Xt−2,…, εt−1, εt−2,…) est dit inversible s’il existe une fonction mesurable h telle que, ∀t , εt = h(Xt ,Xt−1,…)
DÉFINITION : On appelle opérateur de retard L, l’opérateur défini par :
• ∀t ∈ T,LXt = Xt−1
• ∀t ∈ T,L kXt = L(L k−1Xt) = Xt−k , k > 2
Méthode de Box et Jenkins
Test de stationnarité et stationnarisation
On peut connaître qu’une série est stationnaire par ses corrélogrammes simple et partiel, mais pour connaître le type de non stationnarité il est nécessaire de procéder au test.
Comportement du corréllogramme et test de racine unitaire
— Comportement du corrélogramme :
Lorsque nous étudions la fonction d’autocorrélation d’une série chronologique, la question qui se pose est de savoir quels sont les termes ρk qui sont significativement différents de 0. En effet, par exemple, si aucun terme n’est significativement différent de 0, on peut en conclure que le processus étudié est sans mémoire et donc qu’à ce titre il n’est affecté ni de tendance ni de saisonnalité. Ou encore si une série mensuelle présente une valeur élevée pour ρ12 ( corrélation entre Xt et X12) , la série étudiée est certainement affectée d’un mouvement saisonnier.
— Test de racine unitaire :
Les tests de racine unitaire « Unit Root Test » permettent non seulement de détecter l’existence de la non-stationnarité mais aussi de déterminer les types de la non-stationnarité (processus TS (trend stationnary) ou DS(differency stationnary)) afin de savoir la bonne méthode pour stationnariser la série. Les tests de Dickey Fuller (DF) permettent de mettre en évidence le caractère stationnaire ou non d’une chronique par la détermination d’une tendance déterministe ou stochastique. Les modèles servant de base à la construction de ces tests sont au nombre de trois. Le principe des tests est simple : si l’hypothèse H0 : ρ1 = 1 est retenue dans l’un de ces trois modèles, le processus est alors non stationnaire.
i) Xt = φ1Xt−1 +εt , Modèle autorégressif d’ordre 1.
ii) Xt = φ1Xt−1 +β +εt , Modèle autorégressif avec constante .
iii) Xt = φ1Xt−1 +bt +c+εt , Modèle autorégressif avec tendance et constante.
Stationnarisation du modèle
Transformer les données pour obtenir une série stationnaire en utilisant log, la différence première ou désaisonnaliser ou combinaison de ces fonction [4]. La fonction d’autocorrélation doit être celle d’un processus stationnaire c’est-à-dire décroit de façon exponentielle ou n’est pas significative par rapport au seuil choisi après transformation. Si la série étudiée est de type TS, il convient de la stationnariser par régression sur le temps et le résidu d’estimation est alors étudié selon la méthodologie de Box-Jenkins. Si la série étudiée est de type DS, il convient de la stationnariser par passage aux différences selon l’ordre d’intégration I = d (c’est-à-dire le nombre de fois qu’il faut différencier la série pour la rendre stationnaire). La série différenciée est alors étudiée selon la méthodologie de Box Jenkins qui permet de déterminer les ordres p et q des parties AR et MA. On note ce type de modèle ARIMA (p, d, q). Les modèles SARIMA permettent d’intégrer un ordre de différenciation lié à une saisonnalité généralisée par la transformation : (1 − Ds)Xt = Xt − Xt−s où s correspond à la périodicité des données (s = 4 pour une série trimestrielle, s = 12 pour une série mensuelle). Dans le cas d’une série affectée d’un mouvement saisonnier, il convient de la retirer préalablement à tout traitement statistique. Cette saisonnalité est ajoutée à la série prévue à la fin du traitement afin d’obtenir une prévision en terme brut.
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Table des matières
Introduction générale
1 Quelques éléments nécessaires dans l’analyse d’une série temporelle
1.1 Quelques théories de la mesure
1.2 Coefficient de corrélation
1.2.1 Coefficient de corrélation linéaire ou coefficient d’autocorrélation
1.2.2 Coefficient de corrélation partielle
1.3 Stationnarité et inversibilité d’une série temporelle
1.3.1 Différents types de stationnarité
1.3.2 Définition et utilité de l’inversibilité
2 Étude des modèles linéaire et bilinéaire
2.1 Les différentes formes du modèle linéaire
2.1.1 Modèle autorégréssif (AR)
2.1.2 Processus à moyenne mobile MA(q)
2.1.3 Processus autorégressif à moyenne mobile (ARMA)
2.2 Méthode de Box et Jenkins
2.2.1 Test de stationnarité et stationnarisation
2.2.2 Spécification du modèle
2.2.3 Estimation du modèle
2.2.4 Différents tests sur les résidus
2.3 Généralité du modèle bilinéaire
2.3.1 Forme générale du Modèle
2.3.2 Étude de stationnarité du modèle général
2.4 Estimation du modèle bilinéaire : (algorithme de Newton-Raphson)
2.4.1 Méthode d’estimation
2.4.2 Valeur initiale des paramètres
2.4.3 Détermination de l’ordre du modèle bilinéaire
3 Les analyses pour la distinction des deux modèles
3.1 Modèle super-diagonal
3.1.1 Définition et stationnarité du modèle super-diagonal
3.1.2 Analyse de covariance du modèle
3.1.3 Distinction entre le modèle super-diagonal et le bruit blanc
3.1.4 Étude de l’inversibilité du modèle
3.2 Modèle bilinéaire diagonal
3.2.1 Forme et stationnarité du modèle
3.2.2 L’analyse de covariance
3.2.3 L’analyse de covariance de X²t
3.2.4 L’étude de la condition d’inversibilité du modèle
3.3 Modèle sous-diagonal
3.3.1 Définition et stationnarité du modèle
3.3.2 Analyse de covariance du modèle et de son carré
3.3.3 Étude de l’inversibilité du modèle
3.4 Les résultats empiriques de l’étude
3.4.1 La régression linéaire du modèle
3.4.2 La forme bilinéaire du modèle
3.4.3 Comparaison du modèle linéaire avec le modèle bilinéaire
Conclusion générale
Résumé
