Quelques algorithmes itératifs de calcul des valeurs propres

Quelques algorithmes itératifs de calcul des valeurs propres

Problémes aux valeurs propres

Dans certaines applications, le probléme aux valeurs propres ne síexprime pas sous la forme classique (1.2.1) mais sous des formes généralisées comme cíest le cas par exemple en mécanique des solides ou des structures. DéÖnition 1.2.6 Le probléme aux valeurs propres se présente sous la formes généralisée suivante. On cherche les ensembles propres f; xg 2 C C n f0g tels que Ax = Bx (1.2.2) Les matrices A et B sont des matrices carrées de mÍme ordre et B peut Ítre en particulier une matrice symétrique déÖnie positive par exemple. p() = det(A B): Líamélioration des méthodes de calcul de valeurs propres porte essentiellement sur la recherche díaccélérateurs de la convergence ‡ appliquer dans les méthodes itératives adaptées aux grandes matrices creuses. La mesure de la sensibilité des valeurs propres díune matrice aux perturbations est un probléme ‡ résoudre lorsque líon doit localiser les valeurs propres díune matrice imprécisément connue. On peut déÖnir líensemble des perturbations possibles par la norme euclidienne des matrices ou par des matrices díintervalles [8]. La forme suivante appelée probléme quadratique aux valeurs propre Problémes aux valeurs propres sous la forme généralisée Dans certaines applications, le probléme aux valeurs propres ne síexprime pas sous la forme classique (1.2.1) mais sous des formes généralisées comme cíest le cas par exemple en mécanique des solides ou des structures. 1.3 Valeurs singuliéres et vecteurs singuliers La notion de valeur singuliére intervient dans le cas díune application linéaire agissant entre deux espaces vectoriels di§érents. Dans notre situation il síagira de deux espaces vectoriels de dimensions Önies ou de dimensions Önies di§érentes. La matrice représentative díune telle application linéaire par rapport ‡ deux bases peut -Ítre est une matrice carrée ou une matrice rectangula

Décomposition en valeurs singuliéres

Comparativement ‡ la décomposition en valeurs propres, on peut déÖnir aussi la décomposition en valeurs singuliéres díune matrice. Nous considérons dans ce qui suit une matrice A 2 Mmn(C): Théoréme 1.3.1 [22] Toute matrice rectangulaire complexe de taille m n peut síécrire comme suit A = UDV U 2 Mmm(C) est une matrice unitaire (U U = I) V 2 Mnn(C) est une matrice unitaire (V V = I) D 2 Mmn(C) est une matrice diagonale Structures des di§érentes matrices de la décomposition Vecteurs colonnes de U : vecteurs propres orthogonaux de la matrice AA : Vecteurs colonnes de V : vecteurs propres orthogonaux de la matrice AA: Matrice diagonale S : la diagonale de S contient les racines carrées de U ou V en ordre décroissant. Théoréme 1.3.2 [22] Les valeurs singuliéres díune matrice A 2 Mmn(C) sont les racines carrées des valeurs propres non nulles des matrices AA et AA . Exemples de quelques problémes aux valeurs propres Nous présentons dans cette section quelques exemples de modéles mathématiques o˘ interviennent les valeurs propres. Le modéle mathématique ci dessous traduit un probléme physique. Il síagit de déterminer les fréquences propres des vibrations ainsi les modes de déformées propres associées. Les fréquences propres étant les valeurs propres et les modes de déformées les vecteurs propres associés. La forme générale díun systéme díéquations au 2éme ordre dans le domaine temporel síécrit : [M] @ 2 @t2 fUg + [C] @ @tfUg + [K] fUg = fFg (1.4.1) La corde vibrante Déáection díune corde tenue en ses deux extrémités (x = 0 et x = 1). On note u(t; x) sa déáection en son point x 2 [0; 1], au temps t [14]. On se place dans le cas o˘ la corde níest pas soumise ‡ des forces extérieures. Son évolution dépend donc de sa position au temps initial u(0; x). Elle vériÖe le probléme aux limites : 8 < : m@ 2u @t2 (t; x) k @ 2u @x2 (t; x) = 0 u(t; 0) = 0 , u(t; 1) = 0 o˘ k et m désignent respectivement la raideur et la masse linéique de la corde que líon suppose constantes le long de la corde. On cherche des solutions périodiques en temps : u(x; t) = v(x)e i!t ; o˘ ! est appelée fréquence de vibration de la corde et est une inconnue du probléme. On obtient le systéme en v : 8 < : v 00(x) = m!2 k v(x) v(0) = 0 , v(1) = 0 Si k et m sont non constantes et variables selon x, il est en général impossible de trouver une solution exacte du probléme. On ìdiscrétiseîalors líéquation di§érentielle. On va en fait cherch

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Table des matiéres

0.1 Introduction
1 Problémes aux valeurs propres
1.1 Introduction
1.2 Valeurs propres et vecteurs propres
1.2.1 Problémes aux valeurs propres sous la forme classique .
1.2.2 Décomposition en valeurs propres díune matrice
1.2.3 Problémes aux valeurs propres sous la forme généralisée .
1.2.4 Faisceaux de matrices
1.3 Valeurs singuliéres et vecteurs singuliers .
1.3.1 Décomposition en valeurs singuliéres
1.4 Exemples de quelques problémes aux valeurs propres
1.4.1 La corde vibrante
1.5 Exemple sur la décomposition en valeurs singuliéres díune matrice .
2 Quelques algorithmes itératifs de calcul des valeurs propres
2.1 Introduction
2.2 Localisation des valeurs propres
2.3 Algorithmes donnant le spectre ponctuel partiel
2.3.1 La méthode de la puissance .
2.3.2 Autres variantes
TABLE DES MATI»RES 9
2.4 Algorithmes donnant le spectre ponctuel entier
2.4.1 Les méthodes de décomposition
3 Sensibilité et conditionnement des valeurs propres
3.1 Introduction
3.1.1 Propriétés
3.1.2 Exemple
3.2 Conditionnement díune matrice diagonalisable (théoréme de Bauer-Fike)
3.3 Conditionnement díun probléme aux valeurs propres ‡ matrice diagonalisable 62
3.3.1 Valeurs propres mal conditionnées
3.3.2 Un exemple de matrice mal conditionnée
3.4 Analyse de sensibilité
3.4.1 Analyse de sensibilité des modes propres et fréquences propres de vibration
4 Solutions numériques díéquations intégrales par la méthode Galerkin
4.1 Introduction
4.2 Solution numérique de líéquation intégrale sur un intervalle inÖni par la méthode de Galerkin associée aux polynÙmes díHermite .
4.3 Solution exacte pour un noyau dégénéré
4.4 Solution numérique de líéquation intégrale sur un intervalle Öni par la méthode
de Galerkin associée aux polynÙmes de Jacobi
4.5 Exemples numériques .
4.6 Conclusion .