Quelles situations d’apprentissage permettent d’aborder les stratégies de groupement, comment les mettre en place ?

Les hypothèses de travail : pistes à explorer

Avant de passer à des recherches par manipulation, par distribution de questionnaires…, il peut être judicieux de regarder dans les textes officiels tels que les programmes où les documents d’accompagnement pour voir si ceux-ci préconisent ou recommandent certaines démarches ou méthodes.

Les documents officiels tels que les programmes et documents d’application

Le problème est que les programmes de 2008 ne renseignent pas, comme je l’ai déjà précisé, sur les méthodes à utiliser en classe, mais au contraire insistent beaucoup sur la liberté pédagogique de l’enseignant.
Je me suis donc tournée vers ceux de 2002 : « Les présents programmes renouent avec la tradition qui consistait à expliciter de manière détaillée non seulement les contenus d’enseignement arrêtés, mais aussi les méthodes et l’organisation des activités susceptibles de les appliquer de manière efficace et cohérente. »
Les programmes de 2002 ont donc, comme logique, de donner aux professeurs des « clés » pour organiser les apprentissages.
Ce sont surtout les documents d’application, qui complètent les programmes, qui développent ces méthodes. Ils précisent et développent les contenus et les compétences, apportent un éclairage sur les modalités d’apprentissage et donnent des pistes d’activités pédagogiques.
La théorie d’apprentissage sous-jacente est d’inspiration socio-constructiviste (élaboration progressive des connaissances, rôle des interactions entre élèves, étayage du maître, importance de la confrontation et de l’explicitation des procédures, des démarches, des résultats). La résolution de problèmes est au centre des activités et permet de donner leur signification aux connaissances : « La résolution de problèmes constitue le critère principal de la maîtrise des connaissances dans tous les domaines des mathématiques […] Les problèmes proposés doivent alors permettre aux élèves de prendre conscience des limites ou de l’insuffisance des connaissances dont ils disposent déjà et d’en élaborer de nouvelles dont le sens sera ensuite progressivement enrichi. »
Ces problèmes là sont nommés plus particulièrement des situations-problème.
Les logiques d’apprentissage explicitées dans les textes de 2002 sont que ; l’enfant a des connaissances, mais lorsqu’on lui pose un problème, il découvre par lui même que ses connaissances ne sont pas suffisantes. Il va alors y remédier en assimilant une nouvelle connaissance. Cette connaissance doit apparaître comme un outil indispensable pour résoudre un problème pour que l’élève arrive à lui donner du sens et qu’il se l’approprie.
Cette logique d’apprentissage m’a amené à me tourner vers les théories d’apprentissage et plus particulièrement celles des socio-constructivistes.

Raisons des choix didactiques opérés 

Choix des CE1 

Le choix de ne faire la séance qu’avec les CE1 était d’abord une raison pratique.
Faire une telle expérimentation en petit groupe est plus gérable.
De plus, seuls les CE1 étaient là car l’objectif de la séance n’était pas de découvrir la dizaine mais la centaine afin d’aborder les nombres au-delà de 100.
Il est vrai que, d’après ma problématique, le fait d’amener les élèves à grouper par 10 serait quelque chose de nouveau. Or en CE1, les groupements par 10 sont connus car ils ont déjà été abordés pour le passage à la dizaine. Ainsi le but ici était de leur faire comprendre que pour les centaines le principe est le même, on groupe toujours par 10. Notre système de numération de base 10 fonctionne sur le principe de récursivité des groupements.

Choix du domaine numérique

Travailler sur des collections importantes pour rendre fastidieux voire impossible, le dénombrement terme à terme des éléments et donc d’obliger les élèves à élaborer des stratégies comme celles du groupement.
Les nombres utilisés étaient ceux compris entre 100 et 999, car il s’agissait d’aborder la centaine.

Choix du recours à la situation-problème

La décision d’avoir recours à la situation-problème s’est imposée par rapport àtoutes mes recherches et mes conclusions sur le sujet. Aussi, le but était de mettreen place une situation similaire à celles rencontrées dans les articles lus et aussi tenter de répondre, grâce à cette situation d’apprentissage, à la problématique annoncée.

Compte rendu de la situation d’apprentissage

Cette situation d’apprentissage a donc été proposée à des élèves de CE1 en petits groupes. La recherche n’a donc été ni individuelle ni collective.
En mettant en place cette séance, j’espérais pouvoir me rendre compte que ce type de situation d’apprentissage était pertinent pour atteindre mon objectif à savoir dépasser le dénombrement terme à terme et adopter une stratégie de groupement. C’est pourquoi les objets à dénombrer étaient en très grande quantité. Cet objectif là a été atteint. Les élèves, après avoir quand même essayé de compter un à un, ont abandonné cette méthode et ont choisi de dénombrer en faisant des paquets.
Cependant, je voulais amener les élèves à faire des paquets de 10 éléments. Certes les enfants ont fait des paquets mais pas uniquement des paquets de 10. Deux groupes ont dénombrer en choisissant de grouper par 40 et par 100. Je ne peux donc pas affirmer que mon objectif a été réellement atteint. Par conséquent, la séance telle qu’elle s’est déroulée, ne permet pas d’amener l’ensemble des élèves au groupements par 10.
Pour essayer de comprendre pourquoi certains élèves n’étaient pas arrivés au groupement par 10, j’ai décidé de comparer ma séance avec celle présentée dans une vidéo du CRDP de Créteil que je vais maintenant présenter.

Présentation de la vidéo

Enseigner les mathématiques au cycle 2. Situation d’apprentissage CP. « Combien de bûchettes ? »

Cette situation d’apprentissage ressemble à celle que j’ai mise en place. Il ne s’agit pas ici de dénombrer des pâtes mais des bûchettes (petits bâtonnets). Le matériel est différent mais les objectifs de la séance sont les mêmes : Aborder la notion de groupement par 10 dans la numération écrite au cycle 2.
Les élèves, sont des élèves de CP-CE1. Ils sont en classe entière.
La séance se déroule elle aussi en plusieurs étapes. Dans un premier temps, l’enseignante expose le problème : « J’ai un nombre inconnu de bûchettes. Je voudrais savoir combien j’en ai. Est-ce que quelqu’un a une idée pour m’aider ? »
Les élèves proposent des nombres et l’enseignante les écrit au tableau.
L’enseignante réagit en disant qu’elle se retrouve face à un second problème car les élèves ne sont pas d’accord entre eux, ils proposent tous un nombre différent… elle leur demande alors ce qu’il faut faire pour connaître le nombre exact.
C’est à partir de là que les élèves proposent le dénombrement un à un.
Pour arriver au groupement, elle leur fait prendre conscience que cette méthode est beaucoup trop longue, elle leur dit : « tu vas aller comme çà jusqu’au bout…? ».
Les élèves proposent alors de dénombrer de 5 en 5. L’un d’entre eux se lève et vient essayer. La même conclusion est tirée : c’est toujours trop long.
Lorsque la solution de compter de 10 en 10 apparaît, l’enseignante va rester dessus. Même si un élève propose d’aller encore plus vite en comptant de 20 en 20, elle leur annonce que le fait de compter de 10 en 10 est une convention qui a été adoptée partout dans le monde.
Dans la dernière phase de la séance, les élèves travaillent par groupe et dénombrent un paquet de bûchettes en faisant des paquets de 10.
En additionnant les différents paquets et donc en comptant de 10 en 10, ils arrivent à trouver le nombre de bûchettes.

Mise en parallèle

En regardant cette vidéo, je me suis rendue compte que, à la fin de la séance, à la différence de celle que j’ai menée, les élèves ont tous fait des groupements par 10 pour trouver le nombre de bûchette.
Je rappelle que la mise en parallèle des deux séances devait m’aider à comprendre pourquoi mes élèves n’ont pas tous choisi le groupement par 10, alors que dans la séance de la vidéo c’est le cas.
Dans ma séance : L’enseignante a plusieurs paquets d’objets, elle aimerait savoir dans lequel il y en a le plus.
Au final, il s’agit de connaître un nombre d’objets mais dans ma séance, il s’agit de faire une comparaison : « dans quel paquet, il y a le plus de pâtes ? »
Les consignes étant différentes, les dispositifs de recherche vont l’être eux aussi :
Dans la vidéo, la recherche est collective. C’est l’enseignante qui dispose du matériel, les élèves ne manipulent pas encore. L’enseignante récolte alors les différentes propositions des élèves en les écrivant au tableau.
Dans la séance mise en place, l’enseignante distribue un paquet à chaque groupe et la recherche se fait en petit groupe. Il n’y a pas de phase collective. Les élèves sont seuls face à leur paquet et ils choisissent eux-mêmes la manière de s’y prendre pour trouver le nombre de pâtes. A aucun moment, l’enseignante ne les a induit vers une stratégie de groupement par 10.
Par conséquent, l’idée de faire des paquets pour dénombrer n’arrive pas au même moment et pas de la même manière.
Dans les deux situations, les enfants ont tous essayé dans un premier temps, de compter de un en un et se sont rendus compte que cette procédure était trop longue et fastidieuse, par conséquent qu’il était nécessaire de trouver une autre stratégie.
Dans les deux situations, l’alternative des paquets est envisagée. Dans la vidéo, après avoir proposé plusieurs types de regroupements, d’abord par 5 puis par 10 et même par 20, l’enseignante invite les élève à garder le choix du paquet de 10.
Alors que dans la séance que j’ai vécue, chaque groupe va proposer son type de groupement (par 10, par 40 ou encore par 100), voire même de ne pas grouper et de se partager le travail.
A mon sens, il est possible que ce groupe ait été induit par le fait qu’au début de la séance on avait déjà partagé les paquets.
Certains groupes font des paquets de 10 d’eux-mêmes car il ne faut pas l’oublier dans cette classe il s’agit d’élèves de CE1 qui ont déjà groupé par 10 au CP pour aborder la dizaine. Mais d’autres groupes ne pensent pas au paquets de 10. Ils choisissent de faire plutôt des paquets de 40 ou encore de 100 et l’enseignante les a laissé faire. Nous n’avons donc pas inciter les élèves à faire des groupements par 10. Nous ne leur avons pas parlé de cette convention.
A la fin de ce parallèle entre les deux séances, il me semble que toute la différence vient d’abord de la consigne énoncée qui n’est pas la même et qui dans la séance que j’ai vécue induit une situation de comparaison.
De plus, le groupement par 10 n’est pas amené de la même manière, certes l’idée vient des élèves mais à la différence de la vidéo elle n’est pas imposée. En effet, dans la vidéo, une fois celle-ci annoncée, l’enseignante impose la méthode en se justifiant ce qui permet que tous les élèves adoptent cette stratégie et qu’elle soit acceptée par tous.
C’est l’étape qui selon moi manque dans cette séance, il aurait peut-être fallu un peu plus guider les élèves vers le groupement par 10 plutôt que de les laisser s’embarquer dans des calculs de 40 en 40 ou encore de 100 en 100 qu’ils ne maîtrisent pas bien voire pas du tout.

Résultat par rapport à l’objectif prédéfini

Ce qui est intéressant ici c’est de voir qu’en fonction de la manière dont on amène et conduit la séance, même si l’objectif à atteindre est le même, on n’arrive pas forcément au même résultat.
Pour conclure, la situation proposée dans la vidéo permet, de façon plus efficace de parvenir au paquets de 10. Dans la séance faite en classe, certes le comptage un en un est abandonné mais le groupement par 10 n’est pas acquis pour tous.

Bilan et perspectives de recherches

Dans cette dernière partie, il s’agira enfin de répondre concrètement à la problématique.
Comment, à partir des connaissances initiales des élèves, apporter de nouvelles connaissances numériques, indispensables à la bonne compréhension de notre système de numération, telles que le groupement par 10, aux élèves de CP ?
Je le rappelle, dans cette recherche je me suis exclusivement intéressée à la notion de groupement par 10.
Comme je l’ai énoncé dans la deuxième partie, ce qui justifie ces groupements c’est le fait que notre système de numération soit décimal, donc de base 10 et aussi de position. Ce qui consiste à déterminer une place précise pour les chiffres de chaque ordre : en partant de la droite, on place d’abord le chiffre des unités, puis celui des dizaines, puis celui des centaines, etc.
L’appropriation de ce système décimal de position permettra aux élèves d’écrire, lire, nommer les nombres.
Cette appropriation nécessite de nombreux apprentissages :
– Compréhension de l’organisation de ce système en relation avec des activités de groupement.
– Compréhension de l’organisation du système écrit et, en particulier, de la signification des chiffres dans l’écriture d’un nombre
– Compréhension du rôle du chiffre « 0 »
– Compréhension et connaissance du système oral de numération et en particulier des irrégularités, c’est-à-dire des décalages, avec le système écrit (onze, douze, treize…, dix-sept,…, quatre-vingt, quatre-vingt-dix…)
Dans cette recherche, c’est donc le premier de ces apprentissages qui a été visé.
Même siau départ, on les invite à grouper par 2 puis par 5, notre objectif final est tout de même le groupement par 10.
Pour chercher à comprendre comment amener les élèves à grouper par 10, sur le modèle d’articles lus et d’une vidéo, j’ai décidé de mener ma propre expérimentation, décrite en partie 3 et j’en ai conclu que dans ma séance tous les élèves ne sont pas parvenus aux groupements par 10. Pourquoi ?

Bilan des expérimentations

En mettant en parallèle ma séance et la séance présentée dans la vidéo, je me suis rendue compte de quelques différences qui apparemment auraient eu un impact important puisque dans une des deux séances, la mienne, l’objectif n’est pas atteint.
La première différence fondamentale selon moi était la formulation de la consigne.
Dans ma séance, la question posée aux élèves était : dans quel paquet il y a le plus de pâtes ?
Alors que dans la vidéo, la question était : combien de bûchettes ai-je en tout exactement ?
La première question sous entend une comparaison. Pour comparer des collections, il n’est pas indispensable de connaître le nombre total d’objets. Le recours au groupement par 10 n’était donc pas indispensable lui non plus.
En effet, pour comparer des collections, il suffit de savoir dans quelle collection il y a le plus d’objets et non pas combien il y en a exactement. Par conséquent, si l’on décide de faire des groupements, le groupement par 10 ne sera pas forcément choisi.
On peut très bien comparer des collections en faisant tout type de groupement, la condition serait que les groupements soient réguliers.
Par exemple, un groupe avait décidé de grouper par 40. Si tous les groupes avaient groupé par 40, on aurait pu savoir dans quelle collection il y avait le plus d’objets.
Le groupe qui avait le plus de paquets, avait le plus d’objets. Ce que l’on compare ici c’est le nombre de paquets.
C’est l’une des raisons pour laquelle les élèves, lors de ma séance, ne sont pas tous arrivés au groupements par 10. Ici, il n’était pas indispensable.
La séance que j’ai proposée peut atteindre un objectif qui serait d’arriver à dénombrer grâce à des groupements réguliers mais pas obligatoirement des groupements par 10.
Pour connaître le cardinal d’une collection, c’est quelque peu différent. En effet, ici le groupement par 10 se justifie par le fait qu’il est le principe de notre système de numération. Pour connaître le nombre d’unités, dizaines, centaines, il est nécessaire de grouper par 10.
Le principe consiste à organiser la collection d’objets à dénombrer en regroupant ces derniers par paquets de 10, ces paquets forment alors les dizaines. Puis on regroupe ces paquets de 10 en paquets de 10 dizaines pour former les centaines et ainsi de suite. Une fois ces groupements effectués, on note, pour chaque ordre, le nombre d’unités restantes (non réunies dans le groupement d’ordre supérieur ) : nombre d’unités simples restantes, de dizaines restantes, etc. Chacun de ces nombres, forcément inférieurs à 10, est représenté par un chiffre. C’est ainsi que l’on connaît le nombre d’objets qui composent une collection.
Il est vrai par contre qu’il puisse arriver que les élèves ne perçoivent pas cette nécessité. Dans ce cas, c’est à l’enseignant d’imposer ce groupement tout en le justifiant, ce que l’enseignante fait dans la vidéo.
Ainsi même si dans la séance que j’ai proposée, j’avais, à un moment, imposé le groupement par 10, celui-ci ne se justifiait pas dans la situation puisqu’il n’était pas nécessaire de connaître le cardinal de la collection.
Il est vrai aussi que l’on puisse savoir combien on a d’objets dans une collection en faisant des groupements autres que par 10. Cette affirmation est tout fait juste.
Cependant, il est beaucoup moins facile ensuite d’additionner ces paquets pour connaître le nombres d’objets exact.
Un des pré-requis nécessaire avant d’aborder les groupements par 10, était de savoir compter de 10 en 10. Les élèves peuvent alors connaître le cardinal de la collection en comptant en additionnant les paquets, en comptant de 10 en 10. Si l’on choisit de faire des paquets de 20, il faudrait que les élèves sachent compter de 20 en 20, ce qui est plus difficile et surtout ne correspond pas à notre principe de numération.
L’autre raison qui apparaît est le fait justement d’imposer le groupement par 10. A aucun moment dans ma séance, j’incite les élèves à dénombrer en effectuant des groupements de 10 éléments, alors que dans la vidéo, l’enseignante s’arrête sur ce type de groupement. Un élève propose même de grouper par 20, puisqu’il a compris la logique qui est que, plus le paquet est grand plus on va dénombrer vite, mais l’enseignante insiste en disant que oui c’est plus rapide mais moins pratique, car il est plus dur de compter de 20 en 20.
Puis elle justifie le choix de grouper par 10 en expliquant qu’il s’agit d’une convention, que dans une bonne partie du monde pour compter les objets on les regroupe par 10.
Ainsi, si les élèves proposent de dénombrer en groupant par 10, il convient de s’arrêter sur ce choix et au cas où l’idée n’apparait pas, il faudra la proposer. Tout cela en justifiant ce choix par le fait qu’il est pratique de compter par 10, que dans le monde on compte de cette manière (convention).
De là, comment pourrais-je modifier ma séance pour que finalement je puisse atteindre l’objectif avec les élèves ?
Si une telle situation devait être expérimentée à nouveau, il conviendrait sans doute de repenser à la consigne donnée aux élèves. Il est préférable que celle-ci invite les élèves à rechercher le cardinal d’une collection plutôt que de comparer des collections.
Par conséquent, au lieu de leur demander : Dans quel paquet il y a le plus de pâtes ? Il faudra leur demander : Combien il y a de pâtes exactement ?

CONCLUSION

Voulant devenir professeur des écoles, j’ai décidé de suivre une formation spécifique.
Durant mes deux années de MASTER, j’ai travaillé sur une question concernant l’enseignement des mathématiques et plus particulièrement notre système de numération.
Ce choix est apparu lorsque je me suis rendue compte que la bonne compréhension de ce système était un point très important pour la suite des apprentissages en mathématiques et qu’amener les élèves à comprendre parfaitement les principes de construction de notre numération n’étaient pas toujours évident. Grâce à mes recherches (lectures, expérimentation, exploitation de données ) qui
ont abouti à la rédaction de ce mémoire, je sais aujourd’hui comment amener les élèves de CP à une certaine notion délicate qui est celle du groupement par 10.
Mes recherches me seront utiles si, un jour, je suis professeur des écoles et surtout si je suis enseignante en classe de CP. Mais elles pourront aussi m’aider à comprendre d’où peuvent venir les problèmes de compréhension en numération chez certains élèves de niveau supérieur à celui du cours préparatoire. Amener les élèves à grouper par 10, est une étape indispensable pour permettre la bonne compréhension de notre système de numération qui est décimal.
D’autres notions sont aussi importantes et pour compléter les connaissances que j’ai ainsi pu acquérir, il conviendrait à la suite de mes recherches, de savoir quelles sont ces autres notions, comment les mettre en lien avec le fait de grouper par 10 et aussi, analyser les impacts d’une mauvaise compréhension de notre système de numération dans la suite des apprentissages.

Table des matières
Introduction
Première partie: Les étapes de la construction de la problématique
1) Origine du questionnement
2) Resserrement sur un domaine d’enseignement, un cycle, un niveau et une notion
3) Hypothèses de travail : pistes à explorer
Deuxième partie: Les analyses à priori, apports théoriques
1) Analyse de la problématique
2) Quelles situations d’apprentissage permettent d’aborder les stratégies de groupement, comment les mettre en place ?
Troisième partie: Méthodologie, l’expérimentation mise en place
1) Présentation de l’expérimentation
2) Présentation de la vidéo
3) Mise en parallèle
Quatrième partie: Bilan des expérimentations et perspectives de recherche
1) Bilan des expérimentations
2) Perspectives de recherche / prolongements
Conclusion
Bibliographie
Résumé
Annexes

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