Quantités physiques pour la diffusion dimère-fermion à basse énergie 

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Gaz de fermions à température nulle

Nous considérons dans cette première partie un gaz de fermion composé de N↑ parti-cules de l’espèce ↑ en interactions avec N↓ particules de l’espèce ↓. L’espèce ↑ est majori-taire, c’est à dire N↑ > N↓. A température nulle, l’interaction en onde s se produit entre particules de différentes espèces. Comme le gaz est dilué, la collision est principalement, une interaction à deux corps, bien décrite par un potentiel à courte portée.
Dans la limite BEC (a↑,↓ → 0+), l’état lié à deux corps existe, d’énergie tendant vers −∞, et la distance entre les particules est bien plus grande que la taille d’un dimère (de l’ordre de a↑,↓). A température nulle, le gaz sera donc formé de N↓ état liés en interactions avec une mer de Fermi de N↑ − N↓ particules ↑. On comprend alors que ce gaz sera caractérisé par deux longueurs de diffusion, celle entre deux dimères et celle entre un dimère et un fermion ↑.
Nous consacrons le chapitre 2 a une étude analytique de la longueur de diffusion dimère-fermion ↑ en onde s que nous notons ad,↑. Le chapitre 3 est une étude analytique de la longueur de diffusion dimère-dimère en onde s notée ad,d. Notre étude est effectuée dans le cas général où les masses de ces deux types de fermions sont différentes et en utilisant la méthode diagrammatique. Cette méthode a tout d’abord été utilisée [PS00] pour calculer ad,d pour des masses des fermions ↑ et ↓ égales. Les auteurs de [PS00] ont obtenu un résultat approché donnant 0.75a↑,↓. Puis le résultat exact de 0.6a↑,↓ obtenu par [PSS04] en résolvant l’équation de Schrödinger a été confirmé en utilisant les méthodes diagrammatiques par [BKK+06, LG06]. Nous allons maintenant présenter ces techniques et les appliquer au problème de la collision de deux fermions.

Techniques diagrammatiques

Dans cette section, nous expliquons le formalisme utilisé dans les méthodes diagram-matiques. Les différents éléments introduits sont détaillés dans [AGD65, FW71, Gir10]. Par la connaissance de la fonction de Green du système, on a accès à la valeur moyenne de tout opérateur à un corps. Cette fonction est déterminée en écrivant tous les diagrammes de Feynman représentant les interactions entre les particules.

Fonctions de Green

Pour notre système constitué de deux espèces fermioniques différentes (↑ et ↓), l’ha-miltonien dans l’ensemble grand canonique s’écrit : H = [ σ (k) − µσ] ck†,σck,σ + Hint (1.27).
où σ (k) = ~2k2/ (2mσ) est l’énergie cinétique d’une particule σ d’impulsion k et µσ le potentiel chimique de l’espèce σ. L’opérateur c†k,σ (respectivement ck,σ) crée (res-pectivement détruit) une particule de l’espèce σ avec une impulsion k. L’hamiltonien décrivant l’interaction est noté Hint. Les potentiels chimiques sont obtenus en respectant les conditions : *Ψ0 ck† ,σck,σ Ψ0 + = Nσ (1.28).

Calcul des diagrammes de Feynman

Pour calculer la fonction de Green à l’ordre n, nous devons donc construire tous les diagrammes connexes comprenant au plus n vertex d’interaction V↑,↓ représenté sur la figure (1.3).
Pour obtenir des expressions plus compactes, nous les écrivons dans l’espace de Fourier, c’est à dire en impulsion et en fréquence de Matsubara. Après avoir dessiné un diagramme d’ordre n, son expression analytique est obtenue en respectant les règles suivantes :
1. On commence tout d’abord par attribuer une quatre-impulsion ki = {ki, ωki } à chaque propagateur libre ↑ et ↓ en assurant la conservation de la quatre-impulsion à chaque nœud du diagramme. Les lignes entrante et sortante du diagramme ont la même quatre-impulsion k qui est celle de la fonction de Green d’ordre n que nous souhaitons calculer.
2. On donne un facteur V↑,↓ (q) à chaque ligne ondulée décrivant l’interaction entre deux fermions de spin différent et qui transfère une impulsion q entre les fermions incidents et diffusés.
3. On donne à chaque ligne fermionique, de spin σ et de quatre impulsion ki , un facteur G0,σ (ki ) (1.35).
4. On somme sur toutes les quatre-impulsions exceptée celle des pattes externes. Pki = R d3ki/ (2π)3 Pωni /β à température finie en mettant un facteur eiωni 0+ pour chaque propagateur fermé sur lui même.
5. Pour finir, on attribue au diagramme un facteur (−1)n+N où N est le nombre de boucles de fermions.
On notera que pour un calcul à température nulle, nous devons utiliser l’expression des fonctions de Green libres (1.30) et la sommation sur les quatre-impulsions devient P = R d3ki/ (2π)3 R i∞ dωi/ (2iπ). Pour illustrer ces règles, nous avons dessiné sur les ki −i∞ figures (1.4a), (1.4b) et (1.4c) tous les diagrammes contribuant à l’ordre 2 de la fonc-tion de Green. En appliquant les règles décrites ci-dessus, les trois contributions sont respectivement : G2a,↑ (k) = [G0,↑ (k)]3 [V↑,↓ (0)]2 Xq G0,↓ (q) G0,↓ (p) eiωqn0+ eiωpn0+ (1.43).

Équation de Schrödinger avec pseudo-potentiel

Afin de résoudre l’équation de Schrödinger, nous utilisons le pseudo-potentiel défini dans l’équation (1.24) afin d’éviter la divergence du laplacien à petite distance. En l’ap-pliquant dans l’équation (1.4), on obtient : ψE (r) = eikEr − a↑,↓αE e ikEr (1.48).
où αE = ∂ [rψE (r)] /∂r|r=0. L’amplitude de diffusion est le facteur devant l’onde sphérique diffusée et dépend de la valeur de αE. C’est une quantité dépendant du com-portement de la fonction d’onde à petite distance. En utilisant la définition de αE et en l’appliquant à l’équation (1.48), on obtient la relation : αE = 1 − a↑,↓αEikE (1.49).
L’amplitude de diffusion de diffusion fermion-fermion vaut alors : + ikE a−1 ↑,↓ fs (kE) = −1 (1.50) A la limite d’énergie nulle, ce résultat (1.50) donne bien l’opposé de la longueur de diffusion et vérifie le théorème optique. La partie imaginaire de l’inverse de l’amplitude de diffusion est égale à l’opposé du vecteur d’onde.

Vertex de diffusion fermion-fermion

Nous considérons la diffusion dans le vide de deux particules fermioniques (↑ et ↓) en interaction de contact, ayant des masses respectives m↑ et m↓.
Le vertex T2 décrivant la diffusion des deux particules s’écrit comme la somme de tous les diagrammes d’interaction possibles avec deux fermions incidents et deux fermions diffusés. On peut montrer que chaque boucle de fermion donne une contribution propor-tionnelle à la densité (voir par exemple, à la section (1.3), les diagrammes d’ordre 1 et (2π)3.
2) et la densité tend vers zéro à la limite thermodynamique. En effet, nous considérons une particule de chaque espèce dans le vide (nσ = Nσ/V ). Les seuls diagrammes non nuls sont donc ceux faisant intervenir les deux lignes de fermion incidentes. Le vertex peut s’écrire sous la forme d’une équation de Bethe-Salpeter et est représenté sur la figure (1.6). Le premier terme dans le membre de droite décrit le processus élémentaire le plus simple, c’est à dire l’interaction instantanée et de contact des deux particules via le potentiel Vc (1.22). Quant au second terme, il permet de décrire la répétition de ce processus élémentaire par récurrence. Nous constatons que cette équation diagramma-tique est une somme infinie de diagrammes décrivant n interactions successives entre les particules ↑ et ↓.
L’expression analytique correspondante s’écrit : T2 (k, p; P) = Vc (k, p) − Vc (k, q) G0,↑ (q) G0,↓ (P − q) T2 (q, p; P) (1.51).

Description diagrammatique du vertex dimère-fermion

Lors de la collision des trois particules (considérons par exemple 2 particules ↑ et 1 particule ↓), le processus le plus simple est l’interaction d’un fermion ↑ avec un fermion ↓ via le potentiel d’interaction V , puis les deux fermions ↑ peuvent s’échanger afin que celui initialement libre interagisse à son tour avec le fermion ↓. Ce processus est repré-senté sur la figure (2.1a). Les lignes en pointillés représentent les fermions ↓ alors que les lignes pleines décrivent la propagation des fermions ↑. Afin de décrire toutes les in-teractions possibles entre deux fermions, nous pouvons substituer le vertex T2, présenté à la section (1.4.2), au processus d’interaction à deux corps V . Ceci revient finalement à échanger les fermions ↑, ce qui est représenté sur la figure (2.1b) et qui constitue le processus d’interaction le plus simple entre un dimère composite et un fermion libre. Nous représenterons, dans la suite de cette thèse, le vertex T2 comme sur la figure (2.2).
Dans le vide, lors de l’interaction entre un dimère et un fermion ↑, le seul processus possible est donc l’échange d’un fermion de ce type. L’ensemble des diagrammes est donc la répétition de cet échange représenté sur la figure (2.3).
Nous pouvons alors écrire une équation diagrammatique exacte pour le vertex de diffusion dimère-fermion ↑ noté T3↑, représentée sur la figure (2.4), qui prend en compte cet échange et la répétition de celui-ci.
Les quatre-vecteurs p1 = {p1, ωp1 } et p2 = {p2, ωp2 } sont respectivement ceux de la particule incidente et diffusée, alors que P = {P, ΩP } est la quatre-impulsion totale du système composé des trois particules. Cela conduit à une équation de type Bethe-Salpeter qui a pour expression analytique : T3↑ (p1 , p2 ; P) = −G0,↓ (P − p1 − p2 ) − X G0,↓ (P − p1 − q) G0,↑ (q) T2 (P − q) T3↑ (q, p2 ; P) (2.1).
où q = {q, ωq}. Afin de réaliser l’intégration sur la fréquence ωq, nous devons analy-ser les propriétés analytiques de l’intégrande en fonction de ωq. Dans le terme intégral, le vertex à deux corps et la fonction de Green du fermion ↓ sont des fonctions ana-lytiques de ωq dans le demi-plan complexe supérieur mais pas la fonction de Green du fermion ↑. Qu’en est-il de la fonction T3↑ ? Nous pouvons voir dans l’équation (2.1) que le membre de droite est une fonction de ωp1 analytique dans ce même demi plan.
En effet, la seule dépendance en ωp1 vient des fonctions de Green du fermion ↓ avec G↓0 (Q − p1) = [ΩQ − ωp1 − ↓ (q − p1) − i0+]−1. On en déduit que T3↑ est une fonction de ωp1 analytique dans le demi plan complexe supérieur. Nous pouvons effectuer l’intégration sur la fréquence ωq en fermant le contour dans le demi plan complexe supérieur (partie imaginaire positive) et calculer le résidu associé au pôle de la fonction de Green du fermion ↑ en ωq = ↑ (q). Il en résulte que la fréquence de la particule ↑ échangée lors de l’interaction doit être prise égale à l’énergie cinétique du fermion ↑. En physique nucléaire, on appelle cela considérer la fréquence “on the shell”. Le T3↑ intervenant dans l’intégrale ne dépendant plus de la fréquence, afin de calculer ce vertex, nous pouvons également prendre la fréquence de la particule ↑ incidente “on the shell” et par symétrie “verticale” (en échangeant p1 et p2 ), nous prenons également la fréquence de la particule ↑ diffusée égale à son énergie cinétique. On considère finalement l’équation : T3↑ ({p1, ↑ (p1)} , {p2, ↑ (p2)} ; {P, ΩP }) = −G0,↓ ({P − p1 − p2, ΩP − ↑ (p1) − ↑ (p2)}) − G0,↓ ({P − p1 − q, ΩP − ↑ (p1) − ↑ (q)}) q × T2 ({P − q, ΩP − ↑ (q)}) T3 ({q, ↑ (q)} , {p2, ↑ (p2)} ; {P, ΩP }) (2.2).

Amplitude de diffusion élastique en ondes

Dans la suite, on prend le centre de masse immobile, ce qui revient à poser P = 0. Concernant l’énergie totale du système ΩP dans le référentiel du centre de masse, elle est égale à la somme des énergies interne et cinétique. Le dimère composite représentant l’état lié de deux fermions a une énergie de liaison négative − |Eb| et les particules diffusées ont leur propre énergie cinétique. Il est important de remarquer que l’on doit impérativement fixer cette énergie par rapport aux particules diffusées et non pas par rapport aux particules incidentes, car il intervient dans notre équation intégrale (2.2) une sommation sur les impulsions incidentes. On doit donc les laisser libres afin de résoudre cette équation. Nous pouvons donc écrire en toute généralité que l’énergie totale du système est ΩP = − |Eb| + ↑ (p2) + d (p2) où nous décrivons, respectivement, la somme des énergies de l’état lié, cinétique du fermion diffusé et cinétique du dimère diffusé. De plus, le vertex (2.2) est relié à la longueur de diffusion par la relation suivante [BKK+06] : ZT3↑ (0 , 0 ; {0, − |Eb|}) = gd,↑ = 2πa d,↑ (2.3).
où dans la formule (2.3), le vertex de diffusion est évalué à quatre-impulsions des fermions incidents et diffusés nulles et à énergie totale égale à l’énergie de liaison du dimère composite. Nous proposons alors le changement de fonction inconnue suivant : 4πa3 (p1; p2) = −T2 [{−p1, − |Eb| + ↑ (p2) + d (p2) − ↑ (p1)}] p12 − p22 − i0+ T3 ({q, ↑ (q)} , {p2, ↑ (p2)} ; {0, − |Eb| + ↑ (p2) + d (p2)}) (2.4).
On aboutit ainsi à la bonne relation avec la longueur de diffusion ad,↑ = a3 (0, 0) en prenant les limites d’impulsions incidente et diffusée nulles. De plus, cette fonction a3(p1; p2) est solution de l’équation intégrale donnée par Skorniakov et Ter-Martirosian [STM57] pour l’amplitude de diffusion élastique du système à trois corps composé de fermions de masses égales, généralisée ici à des fermions de masse quelconque.
Comme nous nous intéressons aux problèmes de diffusion à très basse énergie, nous avons vu que la collision se fera principalement dans l’onde s. Nous pouvons alors projeter cette fonction sur la base des harmoniques sphériques afin de découpler la diffusion dans les orbites de différents moments angulaires. Le détail de cette projection dans les ondes partielles est expliqué dans l’annexe (A.1). On obtient alors une nouvelle équation inté-grale pour la fonction as3 (p1, p2) qui représente l’amplitude de diffusion dimère-fermion ↑ avec moment cinétique orbital nul (onde s). Cette fonction ne dépend alors plus de l’angle entre les vecteurs impulsions des fermions diffusés et incidents.

Table des matières

I. Collisions de quelques fermions en ondes 
1. Collisions à basse énergie 
1.1. Rappels de théorie de la diffusion quantique
1.1.1. États liés et de diffusion
1.1.2. États propres de l’équation de Schrödinger
1.1.3. Propriétés asymptotiques de la fonction d’onde
1.1.4. Matrice T
1.1.5. Simplifications à basse énergie
1.2. Les gaz de fermions dilués à basse température
1.2.1. Principe de Pauli
1.2.2. Potentiels d’interaction
1.2.3. État lié
1.2.4. Gaz de fermions à température nulle
1.3. Techniques diagrammatiques
1.3.1. Fonctions de Green
1.3.2. Développement perturbatif de la fonction de Green
1.3.3. Calcul des diagrammes de Feynman
1.3.4. Self-énergie et équation de Dyson
1.4. Problème à deux corps
1.4.1. Équation de Schrödinger avec pseudo-potentiel
1.4.2. Vertex de diffusion fermion-fermion
Conclusion .
2. Amplitude de diffusion dimère-fermion 
2.1. Équation intégrale exacte pour l’amplitude de diffusion
2.1.1. Description diagrammatique du vertex dimère-fermion
2.1.2. Amplitude de diffusion élastique en ondes
2.2. Calcul de la longueur de diffusion
2.2.1. Résultat analytique pour un fermion de masse infinie
2.2.2. Développements pour un fermion léger
2.2.3. Lien avec l’équation de Schrödinger
2.2.4. Conditions aux limites
2.2.5. Solution approchée
2.2.6. Développements analytiques et résultats numériques
2.3. Calcul de l’amplitude de diffusion
2.3.1. Équation à énergie finie pour un fermion léger
2.3.2. Fonction d’onde et déphasage
2.3.3. Solution approchée de l’équation de Schrödinger
2.3.4. Résultats analytiques et numériques
2.3.5. Quantités physiques pour la diffusion dimère-fermion à basse énergie
3. Longueur de diffusion dimère-dimère en onde s 
3.1. Vertex de diffusion dimère-dimère
3.1.1. Description exacte
3.1.2. Calcul de la longueur de diffusion
3.1.3. Règle de somme
3.2. Longueur de diffusion élastique en onde s
3.2.1. Simplification à grand rapport des masses
3.2.2. Résolution des équations dans la limite de masse lourde
3.2.3. Discussion des résultats
Conclusion et perspectives 69
II. Thermodynamique d’un gaz de fermions ultra-froid 
4. Description théorique de la transition BEC-BCS 
4.1. Traitement de la phase condensée
4.1.1. Hamiltonien dans la phase superfluide
4.1.2. Développement perturbatif de la fonction de Green non diagonale
4.1.3. Équation de Dyson dans la phase superfluide
4.2. Traitement en champ moyen
4.2.1. Théorie BCS à température nulle
4.2.2. Transition BEC-BCS à la BCS
4.3. Développements d’ordre supérieur
4.3.1. Théorie NSR
4.3.2. Approximation de la matrice T
4.3.3. Extension à la phase superfluide
4.4. Instabilité du gaz de fermions
4.4.1. État normal
4.4.2. État superfluide
4.4.3. Régularisation dans le cas du gaz de Bose
5. Énergie d’un gaz de fermions en interaction de contact 
5.1. Problème à deux corps
5.1.1. Divergence de l’énergie cinétique
5.1.2. Régularisation de la limite de contact
5.2. Problème à N corps
5.2.1. Formule de Tan
5.2.2. Dérivation
5.2.3. Généralisations
5.3. Approche en théorie des champs
5.3.1. Décroissance algébrique de la distribution en impulsion
5.3.2. Self-énergie dans la phase normale
5.3.3. Énergie d’un gaz en interaction de contact
5.3.4. Phase superfluide
5.4. Résultats numériques
5.4.1. Unitarité et relation d’échelle
5.4.2. Autres formules pour le calcul de l’énergie
6. Équation d’état dans la limite BEC 
6.1. Limite BEC à température nulle
6.2. Théorie BCS
6.2.1. Équation d’état dans la limite BEC
6.3. Formalisme général du développement
6.3.1. Réécriture des équations de Dyson superfluides
6.3.2. Développement des fonctions de Green normales
6.3.3. Développement des fonctions de Green anormales
6.4. Développements diagrammatiques
6.4.1. Ordre le plus bas
6.4.2. Ordre en densité
6.4.3. Équation du gap
6.5. Résultats analytiques
6.5.1. Densité de l’espèce  »
6.5.2. Densité de l’espèce #
6.5.3. Potentiel chimique μB
6.5.4. Équation d’état
6.5.5. Impureté et gap à une particule
Conclusion et perspectives 
A. Développements analytiques 
A.1. Décomposition en harmoniques sphériques
A.2. Équations intégrales couplées pour les parties réelles et imaginaires de l’amplitude de diffusion dimère-fermion en onde s
A.3. Équations intégrales couplées des vertex T4 et en onde s et à énergie nulle
A.3.1. Équation du vertex t4
A.3.2. Équation du vertex
A.4. Sommation sur les fréquences de Matsubara à température nulle
Bibliographie 

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