Proprietes generales des familles sommables

Proprietes generales des familles sommables

INTRODUCTION

Dans ce memoire, nous allons parler en premier lieu de la no- tion du comptage et la problematique qu’on rencontre si on veut passer du ni a l’inni. En deuxieme lieu, la notion de la serie s’impose et de la les series doubles. Apres, nous introduisons la notion des familles sommables i.e., la somme d’une famille de nombres indexee par un ensemble inni qui n’est pas forcement N:

La problematique du comptage.

Tout d’abord comment se pose le probleme de l’addition d’un nombre inni de termes?: Quand on additionne deux nombres on obtient un nombre (je veux dire: je peux associer un nombre a cette somme ; 2+3=5. On aurait pu dire c’est 2+3 tout court. Mais on veut savoir si cette operation permet d’associer a la somme de deux quantites une autre quantite qui est un nombre. Dans la suite de cette logique, la somme d’un nombre ni d’elements est un nombre ni m^eme si l’operation a faire semble pas facile a voir; par exemple trouver la somme de 1010 nombre premiers de nombres premiers!) Quand on indexe un nombre ni d’elements on a tendance a les ecrire dans l’ordre croissant des indices ce qui souleve une question: Et si on faisait autrement? On aurait pu les ecrire dans n’importe quel ordre des indices. Ceci souleve le probleme de savoir si la somme d’un nombre ni d’elements depend ou pas de leurs ordre dans l’ecriture de leur somme? Comme on sait, que l’ordre ne change pas les sommes nies, on a choisi d’ecrire la somme suivant l’ordre croissant des indices.

CHAPTER  ESPACES DE BANACH 

Pourquoi ecrit-on les sommes dans un ordre croissant d’indices?: Maintenant, si on passe a l’inni, il y a plusieurs visions de concevoir la somme d’un nombre inni de termes. Une facon de se faire est de prendre la limite des sommes sn := x ? 1 + + xn. Quand cette limite existe, on la note par  0 xk : C’est l’approche des series classique. A-t-on besoin de Cauchy tout le temps?: Dans le cas le plus general, ce n’est pas facile de montrer l’existence d’une limite. De plus, les espaces les plus frequents sont complets (i.e., toute suite de Cauchy est convergente.
Peut-on ajouter autant qu’on veut de termes?: par exemple peut-on ajouter les poids de toutes les particules de l’univers: Quand on ajoute la logique de la chose nous dite sa logique….On ne peut additionner qu’un nombre denombrable d’elements. Deux theoreme s’imposent dans ce chapitre. On va les aborder avec ces rappels.

ESPACES DE BANACH 

D’ou la premiere inegalite. De cette inegalite, le deuxieme point est immediat. Pour le dernier point on utilise l’inegalite triangulaire.

Remarque 

Si (xn)n1 est convergente, alors elle est de Cauchy. De plus, si une suite admet une limite, alors la limite est unique car tout espace metrique est separe.

Proposition

Soit M un sous-espace d’un espace de Banach E. M est un espace de Banach ssi M est un ferme de E. Preuve: Supposons M ferme et soit (xn)n1 une suite de Cauchy dans M; puisque la norme sur M est la restriction de la norme sur E, la suite est de Cauchy dans E, donc elle

ESPACES DE BANACH

convergente vers un x 2 E. Mais la suite etant dans M et M etant ferme, on deduit quex 2 M, donc M est complet. L’autre implication se demontre de la m^eme facon.

Denition

 Soit E un e.v.n. On dit que E est separable s’il existe une suite (xn)n1 qui est dense dans E. Une autre question qui s’impose est la suivante: Quand un espace norme (E; k:k) n’est pas complet, peut on le plonger dans un espace de Banach ~E avec une norme issue de k:k? la reponse est donnee avec le theoreme suivant. Theorem. 1.0.0.5 ( Plongement dans un Banach). Soit (E; k:k) un espace vectoriel norme. qui n’est pas complet. Alors E est isomorphe et isometrique avec un sous-espace vectoriel dense d’un espace de Banach.

SERIES DOUBLES

La notion d’une serie de nombres reels se generalise a d’autres dimensions (c’est a dire a des ensembles partiellement ordonnes comme N N) ou d’autres qui sont plus subtiles. La plupart des resultats, relatifs aux series ont leurs equivalents dans les series multiples moyennant une adaptation du contexte. La diculte est de trouver une denition de la limite qui ne dependera pas de l’ordre des indices avec lequel on cherche cette limite tout en gardant la croissance des indices. De plus, elle doit ^etre independente de n’importe quel choix de sommation tout en gardant la croissance des indices aussi. Changer la position des termes dans les sommes partielles neccessitent une autre facon de se faire.

 Convergence absolue d’une serie double

Denition 

On dit qu’une serie double du terme general um;n est absolument convergente si la serie double du terme general jum;nj est convergente. La deuxieme armation decoule de la convergence (commutative) des series absolument convergentes.

 Critere de Stolz

 Le critere de Stolz est l’equivalent du critere de Cauchy pour les series doubles, il peut s’enoncer ainsi D’ou le resultat suivant: Le critere de Stolz est une condition necessaire et susante de convergence pour les series doubles.

 Changement d’ordre de sommation:

Si la serie double du terme general uij converge absolument alors sa somme ne depend pas de l’ordre de la sommation de ses termes. si est une permutation de N2 En guise de complement, on peut mentionner que si l’on se donne une application : ? ! K on peut la penser comme une sorte de suite generalisee, et tenter de concevoir la somme de tous ses termes. On dira d’une telle suite, que c’est une famille de nombres. On est reduit a donner la denition suivante:

FAMILLES SOMMABLES DANS UN ESPACE VECTORIEL NORME

Nous allons generaliser la notion de serie en essayant de donner un sens a une expression de le forme P i2I ui ou I est un ensemble inni. Dans tout ce qui suit, E designe un espace vectoriel norme, I un ensemble inni quelconque (appele ensemble des indices) et (ui)i2I une famille d’elements de E, indexe par I. Pour chaque partie nie J de I, la somme P i2J ui a un sens (c’est la somme d’un nombre ni d’elements de E): Lorsqu’il n’y aura pas de confusion possible, cette somme sera simplement notee SJ . On se propose de donner un sens a la somme innie (ui)i2I independamment de toute ordination de I. Partons de la denition de la convergence d’une serie de vecteurs du terme general uk dans un espace vectoriel norme E. Ici l’ensemble d’indexation est N. On dit que cette serie converge et a pour somme le vecteur S de E, si la suite des sommes partielles Sn := u0 + u1 + :::: + un converge vers S, autrement dit si k Sn ? S k tend vers 0 quand n tend vers +1. Ceci s’ecrit encore Pourquoi avons-nous pris la precaution de qualier cette convergence de nouvelle? Parce qu’il est clair que (3.3) implique (3.2) et donc (3.1), rien ne nous permet d’armer que la reciproque est vraie. Nous verrons d’ailleurs ci-dessous que cette reciproque est fausse pour les series qui ne sont pas commutativement convergentes.

 Familles de nombres positifs

Les familles de nombres positifs sont les plus simples pour leur donner une caracterisation de la sommabilite.

COROLLARY : Toute sous-famille d’une famille absolument sommable est absolument sommable.

Signalons que dans un Banach, toute sous famille d’une famille sommable est sommable. Il nous reste a etudier la relation entre les notions de familles sommables et famille absolument sommables. Nous le ferons d’abord dans le cadre des familles a termes complexe, auquel on a le resultat simple qui suit.

FAMILLES SOMMABLES DANS UN ESPACE VECTORIEL NORME

Le theoreme suivant montre une dierence importante entre la theorie des series et celle des familles sommables. Theorem. 3.5.1.2. Dans un espace norme de dimension nie, une famille est sommable si et seulement si elle est normalement sommable.

 Commutativite et sommabilite:

Rappelons qu’une permutation d’un ensemble I est une bijection de I sur I. La proposition suivante montre que la notion de sommabilite d’une famille est independante de toute notion d’ordre sur les indices.

Table des matières

Introduction
1 Espaces de Banach
1.0.1 Exemples d’espaces de Banach
2 Series doubles

CONTENTS
2.1 Convergence d’une serie double
2.2 Convergence absolue d’une serie double
2.3 Critere de Stolz
2.4 Proprietes des series absolument convergentes
2.4.1 Sommation par paquets 
2.4.2 Changement d’ordre de sommation
2.5 Convergence absolue pour les series indixees sur Z
3 Familles sommables dans un espace vectoriel norme
3.1 Familles de nombres positifs 
3.2 Familles de nombres complexes
3.3 Propriete d’associativite
3.4 Relation avec les series
3.5 Proprietes generales des familles sommables
3.5.1 Familles normalement sommables
CONTENTS
3.5.2 Commutativite et sommabilite
Bibliography 

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