Propriétés de la couche limite spécifiques aux grands nombres de Reynolds

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Équations de Navier-Stokes incompressibles

Le cadre de modélisation de l’écoulement de couche limite incompressible est obtenu classique-ment en imposant une masse volumique ρ uniforme et constante dans les équations de Navier-Stokes, ce qui permet de résoudre le bilan de quantité de mouvement de façon découplée du bilan d’énergie et de l’état thermodynamique du gaz. L’effet des variations de masse volumique sur le champ de vitesse est en effet négligé dans la limite M∞ → 0, tandis que la pression joue un rôle purement mé-canique. On peut considérer que la vitesse de propagation des ondes acoustiques est infinie, si bien que les fluctuations de pression se propagent de façon instantanée. L’hypothèse d’incompressibilité conduit donc à une modélisation qui inclut les fluctuations de pression de nature hydrodynamique mais qui dénature les fluctuations de nature acoustique qui peuvent être observées à nombre de Mach petit mais fini. Une telle hypothèse permet de simplifier l’étude du champ de vitesse associé à la turbulence pariétale. Cependant, la condition M∞ � 1 n’est pas suffisante pour assurer que le champ résolu à l’aide de l’hypothèse d’incompressibilité est une bonne approximation du champ à nombre de Mach fini. Par exemple, la description incompressible ne permet pas de reproduire avec une précision satisfaisante le comportement en champ lointain de la pression et de la vitesse à grande distance de la paroi à l’extérieur de la couche limite, à nombre de Mach petit mais fini, car la description d’ondes acoustiques de vitesse de propagation finie est alors nécessaire, excluant ainsi certaines applications aéroacoustiques. En effet, à grande distance de la paroi, l’échelle de longueur caractérisant le champ lointain (i.e. la distance à la paroi y) n’est pas négligeable devant la distance parcourue par les ondes acoustiques pendant une durée égale au temps caractéristique associé aux fluctuations turbulentes dans la couche limite. Le champ obtenu avec l’hypothèse de propagation des ondes acoustiques à vitesse infinie présente donc une erreur significative à partir d’une distance y qui est d’autant plus faible que M∞ est grand. En effet, Landau et Lifshitz [169] soulignent que pour que la description incompressible puisse approcher avec une bonne précision un écoulement instationnaire, il est non seulement nécessaire de vérifier la condition M∞ � 1, mais aussi de vérifier que les ondes acoustiques se propagent sur une distance égale à l’échelle de longueur caractéristique des variations significatives de vitesse en un temps très court en comparaison avec le temps carac-téristique des variations significatives de vitesse. Un autre exemple où cette dernière condition n’est pas nécessairement vérifiée est celui d’une couche limite turbulente vérifiant M∞ � 1 et subissant un contrôle actif de l’écoulement dont le temps caractéristique n’est pas très grand devant le temps nécessaire aux ondes acoustiques pour parcourir une distance égale à l’épaisseur de couche limite δ.

Profil de vitesse moyenne

Le profil de vitesse moyenne �u� (y) dans la couche limite turbulente à gradient de pression nul est lié à celui de la tension croisée de Reynolds �u� v� � par les équations de couche limite (1.27). Près de la paroi et sans gradient de pression, les termes convectifs du bilan de quantité de mouvement longitudinale sont faibles en raison de la condition d’adhérence à la paroi imperméable, si bien que le cisaillement total ν ∂y �u� − �u� v� � varie peu avec y très près de la paroi, comme illustré en adimensionnement interne par la figure 1.5. Très près de la paroi, le cisaillement turbulent − �u� v� � est faible (il s’annule à la paroi en raison de la condition d’adhérence), tandis que le fort gradient de vitesse moyenne causé par la condition d’adhérence procure un fort cisaillement visqueux. Quelques dizaines d’unités de paroi plus haut dans la couche limite, le cisaillement visqueux est au contraire faible en comparaison avec le cisaillement turbulent, leurs évolutions respectives avec y procurant un cisaillement total approximativement constant. Encore plus haut dans la couche limite, les termes convectifs ne sont plus négligeables et le cisaillement total décroît avec y. Dans cette région de l’écoulement, la divergence du cisaillement visqueux ∂y (ν ∂y �u�) est négligeable devant celle du cisaillement turbulent −∂y �u� v� �.

Structures cohérentes à nombre de Reynolds modéré

A nombre de Reynolds modéré, les phénomènes physiques suggérés par les bilans moyennés peuvent être interprétés à l’aide de la dynamique de structures cohérentes. Ces structures sont observées par l’expérience et la simulation numérique directe et semblent jouer un rôle central dans les mécanismes de production et de dissipation. Robinson [259] propose de définir une structure cohérente comme une région de l’écoulement dans laquelle au moins une variable fondamentale de l’écoulement (par exemple u, v, p…) est autocorrélée ou corrélée avec une autre variable de manière significative sur une étendue spatiale et/ou temporelle significativement plus grande que les plus petites échelles locales de l’écoulement. Une synthèse détaillée des structures cohérentes rencontrées dans la couche limite à nombre de Reynolds Reθ < 5 000 est réalisée par Robinson [259]. On peut distinguer des structures très proches de la paroi, peuplant principalement la zone tampon et décrites dans la section 1.3.1, et des structures plus éloignées de la paroi abordées §1.3.2, dont la représentation élémentaire moyenne fait appel au concept de hairpin (tourbillon en épingle à cheveux ou en fer à cheval). La dynamique animant la zone tampon est enfin abordée dans la section 1.3.3. Un cycle autonome proche paroi est associé à cette dynamique, expliquant l’auto-régénération des structures cohérentes proches paroi et le flux d’énergie cinétique turbulente allant de la zone tampon vers la zone externe de la couche limite à nombre de Reynolds modéré (§1.3.4).

Structures peuplant la zone tampon

Les visualisations de l’écoulement dans la zone tampon comme sur la figure 1.11 où un colorant marque le fluide basse vitesse provenant de l’immédiate proximité de la paroi, indiquent la présence de zones de basse vitesse longitudinale très allongées dans la direction longitudinale. Ces structures initialement observées par Beatty, Ferrell et Richardson, et rapportées par Corrsin [47] sont appelées streaks basse vitesse proches paroi. Des structures analogues mais caractérisées par une vitesse longitudinale plus élevée que la moyenne sont également présentes sous forme de streaks haute vitesse proches paroi. En raison de l’universalité de la dynamique intrinsèque de la zone proche paroi (§1.2.5.3), les caractéristiques des structures cohérentes présentes dans la zone tampon sont exprimées en unités de paroi, et leur étude peut être réalisée dans d’autres configurations que la couche limite de plaque plane, par exemple dans un écoulement de canal. Les streaks sont situés à une distance de la paroi de l’ordre de y+ = 15, ont une longueur de l’ordre de 1000 unités de paroi ν /uτ , du même ordre que leur espacement longitudinal, et sont en général sinueux (fig. 1.11). Leur largeur est proche de 80 à 100 unités de paroi, tandis que leur espacement latéral est de l’ordre de 100 unités de paroi.

Structure élémentaire peuplant la zone externe à nombre de Reynolds modéré : le hairpin

Les premières observations dans la zone externe ont mis en évidence la présence de grandes structures tourbillonnaires ([259]) dont certaines dimensions se rapprochent de l’ordre de grandeur de l’épaisseur de couche limite δ. Certaines de leurs caractéristiques spatiales exprimées en unités de paroi ne sont donc pas universelles, contrairement aux streaks et aux tourbillons quasi-longitudinaux (TQL) proches paroi.
Theodorsen [311] propose une structure type, le hairpin, ou encore tourbillon en épingle à che-veux, fer à cheval ou arche selon l’allongement transverse de la structure. Le hairpin représente la structure cohérente rencontrée le plus fréquemment dans la zone externe à nombre de Reynolds modéré, comme vérifié par exemple dans les résultats expérimentaux et les simulations aux grandes échelles collectés par GadelHak et Hussain [93]. La forme en épingle à cheveux du hairpin est illustrée par la figure 1.13.
Le hairpin est constitué de plusieurs éléments de vorticité recourbés. Ses « jambes » sont des tourbillons quasi-longitudinaux contrarotatifs encadrant un streak basse vitesse. La tendance des TQL à s’arranger par paires contrarotatives près de la paroi peut en effet être visualisée à bas nombre de Reynolds à l’aide d’injection de fumée ([115], figure 1.14). Le prolongement des « jambes » vers l’aval et vers le haut est incliné jusqu’à un angle de 15° à 75° au sommet. Au niveau de la « tête » du hairpin, l’inclinaison de la structure dépend de la hauteur du hairpin et varie de 25° à 45° près de la paroi jusqu’à être quasi-verticale dans la région externe. L’inclinaison du « cou » du hairpin induit des fluctuations de vitesse dans le plan de symétrie appartenant au quadrant Q2 (u� < 0, v� > 0). La « tête » de la structure est un vortex transverse de même signe que la vorticité de l’écoulement moyen, et contribue à l’induction d’une zone basse vitesse entre les « jambes » du hairpin. Au delà de son caractère schématique, le hairpin peut réellement être observé dans la zone externe de la couche limite, comme le montrent les visualisations expérimentales (figure 1.15). Les hairpins sont toutefois rarement symétriques comme sur le schéma fig. 1.13, et n’ont le plus souvent qu’une seule « jambe » (Panton [231]), d’autant plus qu’ils sont observés loin de la paroi (Carlier et Stanislas [25], Stanislas et al. [304]). L’asymétrie des hairpins tend à augmenter rapidement au cours de leur évolution (Smith et al. [289]). Le diamètre de la tête d’un hairpin est à peu près constant quelle que soit sa distance à la paroi, de l’ordre de 30 unités de paroi. Les jambes sont séparées d’environ 50 unités de paroi. Les dimensions latérales sont de l’ordre de 10 à 100 unités de paroi pour une grande variété de nombres de Reynolds [115] jusqu’à Reθ = 10 000. La longueur typique d’un hairpin à nombre de Reynolds modéré est de l’ordre de 200 unités de paroi, mais ce dernier paramètre n’est pas universel dans la zone externe de la couche limite.

Cycle autonome proche paroi

Les streaks présents dans la zone tampon sont induits par des tourbillons quasi-longitudinaux (§1.3.1) 14. Les expériences numériques présentées dans [149] démontrent que ce processus joue un rôle important dans la dynamique turbulente de la zone tampon, car sa suppression artificielle laisse la place à une turbulence faible et fortement intermittente (le fait que la turbulence ne disparaisse pas totalement suggère toutefois l’existence d’autres mécanismes, de moindre importance relative). L’induction de streaks par des TQL est en effet liée à des éjections et balayages, et ces événements Q2 et Q4 contribuent à l’établissement d’une tension croisée de Reynolds �u� v� � < 0 (§1.3.1) permettant l’extraction d’énergie cinétique du champ moyen par production turbulente (1.2.5.5).
Afin de déterminer si les streaks et TQL peuplant la zone tampon peuvent s’auto-régénérer sans contribution de la zone externe, des expériences de simulation numérique directe ont été réalisées, par exemple par Jiménez et Pinelli [149] jusqu’à Reτ = 633, en supprimant artificiellement les structures peuplant la zone externe (domaine de calcul plus étroit que la distance de corrélation transverse des grandes échelles de la zone externe, amortissement explicite des fluctuations localisées dans la région externe). Ces expériences numériques démontrent que la zone interne possède un cycle autonome de régénération de ses propres structures cohérentes (sa dynamique est modulée par la dynamique de la zone externe mais survit en l’absence de cette dernière).

Plus petites échelles dynamiquement actives dans la couche limite à gra-dient de pression nul

Comme suggéré par les visualisations (fig. 2.1), la dynamique turbulente dans la zone externe de la couche limite à grand nombre de Reynolds peut être elle-même caractérisée localement par un grand nombre de Reynolds. Cela conduit à la définition de l’échelle de Corrsin [48], limite supérieure de l’échelle de longueur des fluctuations turbulentes pouvant être considérées comme approximativement isotropes, conformément à l’image de la cascade directe d’énergie cinétique turbulente (§1.2.4, Saddoughi et Veeravalli [262]). Les structures quasi-isotropes sont celles d’échelle de longueur λ et d’échelle de vitesse uλ telles que leur temps caractéristique λ/uλ est petit devant le temps caractéristique S−1 lié au cisaillement moyen S = ∂y �u�. Dans la zone inertielle du spectre, uλ est de l’ordre de (�λ)1/3 ([145]), et l’échelle de longueur de Corrsin Lc est définie par l’égalité entre λ/uλ et S−1, ce qui fournit la relation : � Lc = �/S3 (2.1).
La longueur de Corrsin peut se réécrire Lc = L� /S∗ 3/2, où L� = (2k)3/2/� et S ∗ = 2Sk/�. L� est l’échelle intégrale de l’énergie cinétique turbulente (qui est du même ordre que l’échelle intégrale L11,1 à l’équilibre, comme discuté §1.2.4). Le paramètre S∗ est approximativement constant lorsque production et dissipation sont en équilibre, comme c’est le cas de façon approchée dans la zone logarithmique (fig. 1.10) où S∗ est proche de 10 ([145]). Dans ce dernier cas, la longueur de Corrsin Lc est proportionnelle à l’échelle intégrale L� . En revanche, S∗ prend des valeurs élevées dans la zone tampon ([145]).

Le paradigme du paquet de hairpins

L’observation expérimentale des structures cohérentes dans la zone externe par vélocimétrie par image de particules (PIV) en met en valeur l’organisation spatiale. En particulier, l’étude de Adrian et al. [2] à des nombres de Reynolds allant de Reθ = 930 à 6 845 montre que les hairpins tendent à s’aligner longitudinalement à quelques centaines d’unités de paroi les uns des autres, avec un éventuel décalage transverse autorisant une certaine sinuosité du train de hairpins. Adrian et al. [2] proposent le paradigme du paquet de hairpins comme base pour la description des structures cohérentes. La superposition des vitesses induites par chaque hairpin est à l’origine de zones de vitesse longitudinale quasi-uniforme associées aux paquets, ces derniers pouvant être eux-mêmes imbriqués les uns dans les autres, conduisant à la superposition de leurs effets, comme schématisé sur la figure 2.5. Chaque paquet a une forme inclinée vers le haut en direction de l’aval, avec un angle moyen de 12°. A Reθ = 7 705, les paquets observés par Adrian et al. [2] ont une longueur la plus probable égale à 1.3 δ et une longueur maximale de 2.3 δ. Le paquet de hairpin est donc une représentation des grandes structures cohérentes, ou LSM (large scale motions). Comme l’espacement entre hairpins semble s’exprimer en variables internes tandis que la taille d’un paquet semble suivre plutôt l’échelle externe, le nombre de hairpins par paquet augmente avec le nombre de Reynolds ([2]). Par ailleurs, les plus petits paquets, proches de la paroi, pourraient être liés aux streaks basse vitesse proches de la paroi décrits dans la zone tampon (§1.3.1), expliquant ainsi pourquoi les streaks sont bien plus longs que les TQL proches paroi (qui seraient vus comme les jambes de hairpins appartenant à de petits paquets).

Évolution des tensions de Reynolds avec le nombre de Reynolds

L’évolution des tensions de Reynolds avec le nombre de Reynolds est présentée sur la figure 2.12. La tension croisée de Reynolds �u� v� �+ (y+) est relativement invariante dans la zone interne, ce qui est consistant avec la loi de paroi universelle pour la vitesse moyenne �u�+ (y+). Ces deux profils sont en effet liés par les équations de couche limite (1.27). Par ailleurs, la relative universalité du profil de tension croisée �u� v� �+ (y/δ) dans la zone externe a déjà été illustrée fig. 1.7. En revanche, les profils des tensions normales de Reynolds ne sont pas universels, avec en particulier la croissance du pic interne de �u�2�+ et de �w�2�+.
DeGraaff et Eaton [70] observent qu’un adimensionnement mixte semble s’appliquer à la variance de la vitesse longitudinale, si bien que �u�2� /(U∞ uτ ) serait un profil universel en fonction de y+ dans la zone interne et de y/δ dans la zone externe. Selon DeGraaff et Eaton [70], cette influence de U∞ sur le profil de �u�2� pourrait être liée au fait que la puissance par unité de masse volumique et de surface de paroi dissipée par la couche limite est de l’ordre de u2τ U∞ et dépend donc à la fois de uτ et de U∞ . D’autre part, DeGraaff et Eaton [70] soulignent que le terme de production d’énergie cinétique turbulente caractérisant l’interaction énergétique de la turbulence avec l’écoulement moyen (éq. 1.60) n’affecte que le bilan de �u�2� (1.50), tandis que les deux autres composantes �v�2�+ et �w�2�+ (éq. 1.51-1.52) sont touchées indirectement via la redistribution de l’énergie cinétique turbulente entre composantes, par exemple par le terme de corrélation pression-déformation. Cela n’explique toutefois pas que le profil de �w�2�+ dans la zone interne semble varier plus fortement avec le nombre de Reynolds que le profil de �v�2�+. En revanche, la croissance des fluctuations de u�+ et de w�+ tandis que celles de v�+ et celles contribuant à la tension croisée varient peu avec le nombre de Reynolds est consistante avec les prédictions de la théorie des structures attachées pour la partie inférieure de la zone logarithmique (§2.1.2, Marusic et al. [202]). La croissance de �u�2�+ et de �w�2�+ dans la zone interne serait donc liée à la superposition d’un nombre croissant de structures inactives dans cette zone, correspondant
à la partie inférieure de grandes structures attachées peuplant la zone externe. Ces variations au sein de la zone interne peuvent donc être vues comme le résultat d’une action de la zone externe sur la zone interne à grand nombre de Reynolds, qui sera explicitée §2.4.1. De manière compatible avec les prédictions de la théorie des structures attachées, Hutchins et al. [127] approchent l’évolution du pic interne de �u�2�+ (situé aux alentours de y+ = 15) par la relation suivante : � u�2� + = 4.837 + 0.469 ln (Reτ ) (2.4).

Table des matières

I Introduction 
II Phénoménologie de la couche limite turbulente incompressible de plaque plane à gradient de pression nul 
1 Description classique de la couche limite 
1.1 Définition du problème canonique de la couche limite de plaque plane à gradient de pression nul
1.2 Cadre de description de la couche limite turbulente incompressible
1.2.1 Équations de Navier-Stokes compressibles
1.2.2 Équations de Navier-Stokes incompressibles
1.2.3 Cadre de description statistique de la turbulence incompressible
1.2.4 Échelles de longueur des fluctuations turbulentes
1.2.5 Équations de couche limite
1.2.5.1 Équations du mouvement moyen
1.2.5.2 Paramètres globaux décrivant la couche limite
1.2.5.3 Profil de vitesse moyenne
1.2.5.4 Bilan des tensions de Reynolds
1.2.5.5 Bilan d’énergie cinétique
1.3 Structures cohérentes à nombre de Reynolds modéré
1.3.1 Structures peuplant la zone tampon
1.3.2 Structure élémentaire peuplant la zone externe à nombre de Reynolds modéré : le hairpin
1.3.3 Cycle autonome proche paroi
1.3.4 Cascade inverse d’énergie
2 Approche bibliographique des spécificités de la couche limite à grand nombre de Reynolds 
2.1 Cadre d’interprétation communément utilisé pour l’étude de la couche limite à grand nombre de Reynolds
2.1.1 Plus petites échelles dynamiquement actives dans la couche limite à gradient de pression nul
2.1.2 Théorie des structures attachées de Townsend
2.1.3 Le paradigme du paquet de hairpins
2.1.4 Origine des paquets de hairpins
2.2 Bilan d’énergie cinétique turbulente à grand nombre de Reynolds
2.2.1 Production et flux spatial d’énergie cinétique turbulente à grand nombre de Reynolds
2.2.2 Décomposition du flux d’énergie cinétique turbulente selon les échelles de longueur
2.3 Propriétés de la couche limite spécifiques aux grands nombres de Reynolds
2.3.1 Évolution des tensions de Reynolds avec le nombre de Reynolds
2.3.2 Évolution du spectre longitudinal de vitesse longitudinale avec le nombre de Reynolds
2.3.3 Superstructures
2.4 Interactions entre la zone interne et la zone externe
2.4.1 Influence de la zone externe sur la zone interne
2.4.2 Origine possible des superstructures dans des structures cohérentes plus petites
2.4.3 Remise en cause de la définition classique des zones de la couche limite
2.5 Indices d’une relative autonomie de la zone externe
2.5.1 Hypothèse de Townsend et paroi rugueuse
2.5.2 Expériences numériques suggérant l’autonomie de la zone externe
2.5.3 Perturbations les plus amplifiées
3 Discussion de quelques stratégies de simulation numérique de la turbulence pariétale
3.1 Motivation des simulations avancées de la turbulence pariétale
3.2 Estimation du coût de simulation numérique de la turbulence pariétale
3.3 Choix d’une stratégie de simulation des grandes échelles avec modélisation de la paroi
3.3.1 Approche hybride RANS/LES
3.3.2 Traitement de l’interface RANS proche paroi /LES extérieure
3.3.3 Interface RANS/LES passive
3.3.4 Approche zonale : mode III de la méthode ZDES
III Analyse du frottement turbulent moyen à grand nombre de Reynolds 
4 Présentation et validation d’une base de données à grand nombre de Reynolds 
4.1 Contexte de la base de données : simulations numériques publiées à grand nombre de Reynolds
4.2 Description de la simulation numérique à l’origine de la base de données
4.2.1 Description générale de la méthode de calcul
4.2.2 Description du cas simulé, du maillage et des paramètres du calcul
4.3 Validation de la base de données
4.3.1 Visualisation de l’écoulement
4.3.2 Paramètres globaux de la couche limite
4.3.3 Profils de vitesse
4.3.4 Analyse spectrale des fluctuations de vitesse longitudinale
5 Analyse du frottement moyen pariétal à l’aide de la relation Fukagata-Iwamoto- Kasagi (FIK) 
5.1 Présentation de l’identité FIK
5.2 Évolution à grand nombre de Reynolds des termes de l’identité FIK dans la couche limite de plaque plane à gradient de pression nul
5.3 Lien entre le terme Cf,II de l’identité FIK et le frottement turbulent
5.4 Une explication possible du comportement du rapport Cf,III/Cf de l’identité FIK basée sur l’auto-similitude de la zone externe à grand nombre de Reynolds
5.5 Décomposition du frottement turbulent moyen pariétal selon les échelles de longueur des fluctuations contributives
5.5.1 Analyse spectrale de la tension croisée de Reynolds pondérée
5.5.2 Estimation de la contribution des grandes échelles au frottement moyen
5.6 Au sujet de l’application de cette méthode d’analyse du frottement moyen à une simulation des grandes échelles avec modèle de paroi
6 Dérivation d’une nouvelle décomposition pour l’analyse physique de la génération du frottement moyen pariétal 
IV Vitesse de convection turbulente et analyse spectrale dans une couche limite en développement spatial 
7 Développement d’une méthode d’évaluation spectrale de la vitesse de convection adaptée aux écoulements en développement spatial 
V Conclusions et perspectives 
VI Annexe 

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