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Cette thèse est consacrée à l’étude de la propagation d’états cohérents, ou paquets d’onde, dans des cadres non-linéaires. Les problèmes que nous allons regarder apparaissent principalement dans le domaine de la chimie quantique, lorsque l’on veut décrire de façon théorique la dynamique de molécules. Cette question motive les chercheurs depuis le début du siècle dernier, et nombre de phénomènes restent partiellement incompris ou peu rigoureusement démontrés aujourd’hui. Pour obtenir cette description moléculaire, il faudrait résoudre un système conséquent d’équations de Schrödinger dépendantes du temps, tâche très complexe à réaliser.
L’approximation de Born-Oppenheimer, introduite dans [16] en 1927, permet de simplifier ces calculs et exploite le fait que la masse des électrons est beaucoup plus faible que celle des noyaux. On utilise alors le rapport m/M, entre la masse m d’un électron et M celle des noyaux autour desquels il gravite, et plus précisement le paramètre ε =√m/M, qui est utilisé pour construire un développement de l’hamiltonien considéré. Les noyaux étant lourds comparés aux électrons, on est amené à examiner le problème d’un point de vue semi-classique, c’est-à-dire dans la limite où le paramètre ε tend vers zéro (limite semiclassique) : la dynamique des noyaux peut être approchée par une dynamique classique qui dépend de l’état des électrons. C’est ce qu’on appelle l’approximation semi-classique pour les noyaux.
En travaillant dans ce cadre, la notion d’adiabaticité apparaît naturellement : les électrons se déplacent plus rapidement que les noyaux; ils adaptent très vite leurs états par rapport au lent mouvement des particules lourdes. On peut alors voir les choses de la façon suivante : un électron qui est dans un niveau d’énergie donné de l’hamiltonien au temps initial restera approximativement, jusqu’à un certain temps, dans le niveau d’énergie associé à l’hamiltonien évolué au temps considéré : c’est l’approximation adiabatique (ou Théorème adiabatique) pour les électrons, formulée pour la première fois par Born et Fock dans [15] en 1928 et prouvée sous des hypothèses fortes sur l’hamiltonien.
Le théorème est ensuite démontré pour des conditions moins restrictives, plus de vingt ans plus tard par Kato [76]. Il est communément admis que cette approximation est valide en présence d’un trou (“gap”) spectral entre les niveaux d’énergie des électrons considérés. Cependant, l’idée que celle-ci est une condition nécessaire pour obtenir des théorèmes adiabatiques est erronée et discutée dans [5] ainsi que dans [99].
De ce fait, pour étudier ces phénomènes, il est important de sélectionner et regarder ce niveau d’énergie précisément. La réalisation expérimentale de cet état de la matière en 1995 par Cornell, Wieman et al. ([3]) a ouvert le champ des questions concernant les sytèmes d’équations associés. Les travaux qui ont suivi, par exemple [66], [67], [68] présentent une étude de plusieurs espèces sous la forme de condensats de Bose-Einstein en interaction. Plus tard, les sytèmes mathématiques en jeu dans ces phénomènes physiques ont commencé à être rigoureusement analysés. Parmi les résultats qui ont permis de mieux comprendre ces phénomènes, on peut citer [1], [2] plutôt axés sur l’étude de l’énergie associée à Gross-Pitaevskii et des vortex qui apparaissent dans les condensats en rotation, ou encore [29] et les références qui y sont citées, qui traitent le cas de gaz quantiques présentant un certain type d’interactions entre les particules. Il est important de noter que nombre de modélisations numériques ont été réalisées, notamment par Bao et al., (pour des systèmes couplés et/ou en rotation, qui présentent des phénomènes particuliers) dans [8], [12], [9], [13] ,[11], [10] et les références qui y sont indiquées. Des travaux liés aux problèmes avec états cohérents sont présentés dans [86], [85] ou encore [42].
Notons que les équations non-linéaire semi-classiques (de type Maxwell-Dirac par exemple) apparaîssent aussi dans le domaine de l’Optique Quantique, où cette fois, le paramètre ε représente l’inverse de la vitesse de la lumière. Les avancées dans ce domaine, régulièrement mis en avant depuis quelques années, ont d’ailleurs permis la réalisation de Condensats de Bose-Einstein grâce aux “pièges à particules” créés à l’aide de lasers. Mentionnons que, depuis les travaux de Glauber, Mandel et Sundarshan dans les années 60, il est connu que les états cohérents ont une place primordiale dans la description des états de la lumière. Pour des résultats mathématiques rigoureux, le lecteur est invité à lire [21] et ses références pour une présentation détaillée des résultats dans le cadre d’une analyse type “WKB”.
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Table des matières
Chapitre 1 Introduction
1.1 Motivations physiques et modèles mathématiques
1.2 Résultats connus
1.2.1 Propagation de paquets d’onde scalaires et théorèmes adiabatiques
1.2.2 Transitions non-adiabatiques à travers des croisements évités dans les cas linéaires
Chapitre 2 Présentation des travaux de thèse
2.1 Partie I : Un théorème adiabatique pour des états cohérents dans le cadre non-linéaire
2.1.1 Le problème
2.1.2 A propos des estimations de Strichartz
2.1.3 Théorème adiabatique et idées de preuve
2.1.4 Superposition non-linéaire en temps fini
2.1.5 Résultat annexe 1 : Amélioration du cas unidimensionnel pour des potentiels de type longue portée
2.1.6 Résultat annexe 2 : Décroissance de la Hessienne et bornes en temps longs pour les dérivées et moments du profil
2.2 Partie II : Propagation d’états cohérents à travers un croisement évité
2.2.1 Présentation du problème
2.2.2 Approximations et résultat principal
2.2.3 Contrôle du profil et validité de l’approximation dans la région adiabatique
2.2.4 Approximation dans la zone de croisement
2.3 Propagation au-delà du croisement et perspectives
Chapitre 3 Conclusion
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