Propagation d’une onde de cisaillement en milieu non linéaire dissipatif

Objectif du système harmonique sismique

  En génie parasismique, la rigidité au cisaillement et le coefficient de dissipation sont les deux paramètres de modèles les plus simples de comportement de sols, tels qu’utilisés en général par l’ingénieur. Des modèles plus sophistiqués peuvent faire appel à un nombre de paramètres beaucoup plus important, afin de mieux rendre compte du comportement réel sous des comportements dynamiques quelconques. De toute façon, il faut être capable d’identifier la forme des lois de comportement ainsi que leurs paramètres soit par la voie du laboratoire, soit par la voie d’essais in situ. Les essais en laboratoire permettent d’accéder non seulement à la valeur des paramètres, mais aussi à la forme de la loi de comportement, si l’on peut mesurer simultanément contrainte et déformation. Ces essais existent non seulement pour de faibles niveaux de déformation ( < 10-5) mais aussi pour de forts niveaux de déformation ( > 10-5) qui mobilisent les nonlinéarités du sol. De leur côté, des essais in situ demeurent inégalés, en particulier dans des essais dynamiques, pour rendre compte de la structure du sol en place et de son état de contrainte. Cependant, on ne peut accéder directement à la forme de la loi de comportement et à ses paramètres, car on ne dispose pas simultanément de mesures de déformations et de mesures de contraintes. L’interprétation de ces essais fait appel à un problème inverse, avec toutes ses difficultés en particulier l’unicité. À ces difficultés d’interprétation s’ajoutent bien évidemment les difficultés d’instrumentation et la lourdeur de l’expérimentation. L’essai cross-hole est l’essai le plus utilisé pour estimer les propriétés dynamiques du sol in situ, sous de très faibles déformations. Il n’est donc utilisé actuellement que pour obtenir les caractéristiques du comportement du sol supposé élastique linéaire. Pour sa part, le dispositif S.H.S. présenté ci-dessous s’écarte des dispositifs in situ classiques sur deux points. D’une part il génère des déformations sous sollicitations dynamiques de l’ordre de grandeur des déformations provoquées par les séismes les plus forts, à la limite de la rupture du sol. D’autre part, il peut être utilisé dans une configuration monopuits ou une configuration cross-hole. Dans cette dernière configuration, le dispositif S.H.S. permet d’étendre les essais cross-hole classiques à des essais cross-hole haute énergie, dont le principe repose sur l’écoute des signaux porteurs d’informations sur les sources de non linéarités au voisinage du puits. Il n’en reste pas moins que les essais en laboratoire et in situ restent complémentaires. Pour un historique des essais dans le domaine dynamique, on pourra se reporter aux références [23] [31] [32].

Description de l’instrumentation S.H.S

  Le dispositif instrumental du Système Harmonique Sismique est représenté schématiquement sur la figure 1. Un sondage au diamètre nominal de  = 200 mm est protégé par un cuvelage standard de diamètre extérieur  = 187 mm et de diamètre intérieur  = 150 mm. À chaque niveau de mesure, un cuvelage spécial remplace le cuvelage standard. Ce cuvelage spécial est une pièce passive de l’appareillage qui possède les caractéristiques suivantes [23, pp. 25-28]:
(i) Le cuvelage spécial permet de transmettre un mouvement vibratoire vertical au sol, à l’aide de patins mobiles passant à travers des fenêtres. Le débattement vertical du dispositif mobile est au maximum de 20 mm.
(ii) Cet élément de cuvelage spécial peut, de plus, subir une dilatation de façon à éviter le glissement du dispositif d’ancrage à la paroi du forage, tout en restituant une pression équivalente à la contrainte naturelle du terrain. La dilatation maximale du cuvelage spécial est de 13 mm.
(iii) Le cuvelage spécial est désolidarisé du cuvelage standard par une jonction constituée d’un joint souple afin de diminuer les vibrations transmises au cuvelage standard.
(iv) Cet élément de cuvelage spécial possède une longueur active de 400 mm qui doit permettre la génération d’ondes SV radiales, du moins au voisinage du forage. Le mouvement de dilatation ainsi que le mouvement oscillant des patins mobiles ducuvelage spécial sont créés par une sonde excitatrice qui vient s’ancrer sur le cuvelage standard avant d’être accouplée au cuvelage spécial. La sonde est mise en vibration verticale par 4 vérins alimentés alternativement par une servovalve hydraulique.

Interprétation des mesures d’accélérations

   L’interprétation des mesures accélérométriques, dans le cadre d’un modèle hystérétique à deux paramètres G0 et , s’effectue en deux temps. À faible niveau de déformations, le paramètre G0 est obtenu par la mesure du déphasage entre signaux enregistrés en deux points du sol. Il s’agit en fait d’un essai cross-hole sur une base très courte. Ce paramètre G0 étant ainsi déterminé, il reste à déterminer le paramètre  par des essais à forte énergie. Le principe consiste à reporter l’accélérogramme réel sur des accélérogrammes de synthèses, paramétrés en  et obtenus par simulation non linéaire. La minimisation de l’écart entre accélérogramme réel et accélérogramme de synthèse conduit à la valeur la plus probable du paramètre . Cette minimisation peut être réalisée par divers procédés, tels qu’une minimisation de normes quadratiques ou la recherche du maximum du coefficient de régression [23, pp. 110-121].

Difficultés liées aux conditions aux frontières du calcul

  Le deuxième niveau de difficulté provient du fait que la propagation d’ondes de cisaillement s’effectue dans un domaine de sol étendu radialement jusqu’à l’infini. Or la limitation du domaine de calcul est obligatoire dans le cas de différences finies ou d’éléments finis, méthodes qui permettent d’aborder au mieux les difficultés dues aux non-linéarités mentionnées précédemment. En conséquence, il convient de rechercher les conditions à la limite qui minimisent l’artefact de retour d’ondes parasites sur la frontière formelle introduite dans le calcul. Plusieurs solutions offertes par la littérature actuelle seront examinées avant de proposer un choix.

Conditions à la frontière au loin. Méthodes temporelles

   Les calculs à la frontière exposés dans les paragraphes précédents donnent des résultats analytiques exacts, mais souffrent de deux défauts, l’un général et l’autre propre aux phénomènes d’hystérésis.
 Le défaut au plan général est de ne pas pouvoir résoudre de manière monolithique un seul système d’équations où l’on peut espérer une meilleure maîtrise des problèmes de convergence.
 Quant au défaut propre aux phénomènes d’hystérésis, les méthodes fréquentielles ne permettent pas de simuler correctement un phénomène localisé dans le temps, tel que discontinuité, point anguleux ou changement de concavité. Ces trois éventualités se présentent, en présence de phénomènes d’hystérésis, respectivement pour l’accélération, la vitesse et le déplacement. En lieu et place de ces méthodes fréquentielles, on peut utiliser des méthodes temporelles, telles que frontières absorbantes, méthode de gradient nul ou déplacement nul.

Table des matières

Notations principales
INTRODUCTION GENERALE
PARTIE I: ENVIRONNEMENT ET PRESENTATION DE L’ETUDE
I.1. Présentation du système harmonique sismique (S.H.S.)
I.1.1. Objectif du système harmonique sismique
I.1.2. Description de l’instrumentation S.H.S
I.1.3. Mesures
A. Mesures monopuits
a. Déplacement au puits
b. Force au puits
c. Accélérations
d. Températures
B. Mesures inter-puits (Cross-hole)
I.2. Le problème d’interprétation
I.2.1. Simulation du problème direct
A. Modèles
a. Cas du comportement élastique linéaire
b. Cas du comportement visco-élastique linéaire
c. Cas du comportement visco-élastique non linéaire
d. Cas du comportement élastique non linéaire de Hardin et Drnevich
e. Cas du comportement non linéaire hystérétique de Masing
f. Modèle élasto-plastique généralisé
B. Applications numériques existantes
a. Application linéaire EL02
b. Application hystérétique SHS1
I.2.2. Problème inverse d’identification
A. Interprétation des mesures d’accélérations
B. Interprétation des mesures de température
C. Interprétation des mesures d’impédance mécanique au puits
D. Interprétation des mesures de vitesses cross-hole
I.3. Objectifs de l’étude
PARTIE II: DIFFICULTES NUMERIQUES, APPROCHES ET CHOIX
II.1. Difficultés rencontrées
II.2. Diverses approches numériques non linéaires et choix
II.2.1. Techniques de discrétisation
A. Méthodes de discrétisation
B. Schémas de discrétisation
a. Discrétisation spatiale
a.1. Schéma à pas constants dans l’espace
a.2. Schéma à pas variables dans l’espace
b. Schéma de discrétisation temporelle pour des systèmes du second ordre
b.1. Schéma de Houbolt
b.2. Schéma de Newmark-Wilson
II.2.2. Processus de résolution d’un système non linéaire
A. Processus de Jacobi
B. Processus de Gauss-Seidel
C. Processus de Newton-Raphson
II.2.3. Couplage ou découplage des équations d’un système non linéaire
A. Méthode monolithique
B. Méthode élémentaire
C. Méthode partitionnée
II.2.4. Notions de consistance, stabilité et convergence
A. Consistance
B. Stabilité
C. Convergence
II.2.5. Extension au cas d’opérateurs non linéaires non différentiables
A. Illustration des effets hystérétiques
a. Conséquence sur l’accélération dans l’espace des temps
b. Conséquence sur l’accélération dans l’espace des fréquences
B. Difficultés induites par les discontinuités accélérométriques
II.2.6. Choix
II.3. Diverses approches aux frontières et choix
II.3.1. Diverses méthodes de frontières au loin
A. Conditions à la frontière au loin. Méthodes fréquentielles
a. Méthode par calcul élastique linéaire en un point pilote
b. Méthode par calcul élastique linéaire à la frontière
B. Conditions à la frontière au loin. Méthodes temporelles
a. Frontières absorbantes
b. Autres possibilités de conditions à la frontière au loin
II.3.2. Choix à la frontière et conditions d’application
A. Choix à la frontière
B. Conditions d’application
PARTIE III: CALCULS ET APPLICATIONS
III.0.Introduction
III.0.1. Objectif
III.0.2. Dimensions des variables
III.1.Application 1: Calcul élastique linéaire
III.1.1. Présentation de l’application 1
III.1.2. Expression analytique de la solution élastique linéaire
III.1.3. Algorithme numérique
A. Rappel sur la transformée de Fourier discrète directe et inverse
B. Algorithmes discrets pour le calcul du déplacement et de la contrainte
C. Algorithmes discrets pour le calcul de la vitesse et de l’accélération
III.1.4. Application : programme 1
III.2.Application 2: Calcul hystérétique
III.2.1. Présentation de l’application 2
III.2.2. Equations constitutives
A. Equations constitutives dans le domaine
a. Elastique non linéaire
a.1. Branche positive
a.2. Branche négative
b. Hystérétique
b.1. Chargement hystérétique
b.2. Déchargement hystérétique
B. Equations constitutives aux frontières
a. Frontière au puits
b. Frontière au loin
b.1. Méthode du gradient nul
b.2. Méthode de la frontière absorbante
III.2.3. Principe de discrétisation
A. Evolution dans le temps: méthode de Newmark-Wilson
B. Evolution dans l’espace: méthode des pas variables
C. Evolution de la convergence: méthode de Newton-Raphson
III.2.4. Equations discrétisées
A. Evolution numérique
B. Discrétisation relative au déplacement au temps t + t
a. Equations discrétisées à l’intérieur du domaine spatial
a.1. Equations discrétisées : cas élastique non linéaire
a.2. Equations discrétisées : cas hystérétique
b. Equations discrétisées à la frontière du domaine spatial
b.1. Méthode du gradient nul
b.2. Frontière absorbante
C. Discrétisation relative à l’ensemble des variables à t + t
a. Accélération au temps t + t
b. Vitesse au temps t + t
c. Déplacement au temps t + t
d. Déformation au temps t + t
e. Contrainte au temps t + t
III.2.5. Programmation
A. Configuration du calcul
B. Conditions initiales
a. Initialisation du calcul élastique non linéaire
b. Initialisation du calcul hystérétique
C. Conditions à la limite
a. Signal de déplacement au puits
b. Signal au loin
D. Calcul élastique non linéaire
E. Calcul hystérétique
III.2.6. Application du programme 2
A. Etude de sensibilité aux paramètres du calcul
a. Pas de temps
b. Pas d’espace
c. Paramètres a et b
d. Paramètre 
e. Influence de la distance de la frontière au loin
f. Convergence dans le processus de Newton-Raphson
g. Convergence en fonction du nombre de périodes
B. Comparaison avec l’application 1
C. Simulation de résultats d’essai SHS
a. Impédance mécanique au puits
b. Accélérations au voisinage du puits
c. Cycles d’hystérésis
d. Vitesses matérielles au loin
III.3.Identification
III.3.1. Interprétation des essais SHS: les divers procédés d’identification des paramètres
III.3.2. Identification des paramètres par mesure d’impédance mécanique au puits
A. Principe d’identification du paramètre linéaire G0
B. Principe d’identification du paramètre non linéaire
C. Discussion
CONCLUSION GENERALE
Références bibliographiques
ANNEXES

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