Propagation des ondes des écoulements transitoires

Propagation des ondes des écoulements transitoires

ANALYSE PHYSIQUE DES ECOULEMENTS TRANSITOIRES EN CHARGE 

On cannait que la fermeture d’une vanne placée sur une conduite d’adduction gravitaire entraîne l’apparition d’une onde de surpression se propageant à une grande vitesse, appelée célérité d’onde, vers l’amont où se trouve le réservoir. Par contre, lors de l’ouverture de cette même vanne, une onde de dépression prend naissance à cet endroit et se propage à la même célérité vers l’amont.Un phénomène semblable, commençant par une dépression, se produira sur une conduite de refoulement, si le débit ne soit plus fourni, suite à un arrêt des groupes électropompes. Dans ce qui suit, on analysera ce phénomène pour les trois cas suivants :
• Cas de fermeture d’une vanne sur une conduite d’adduction gravitaire ;
• Cas d’ouverture d’une vanne sur une conduite d’adduction gravitaire ;
• Cas d’arrêt d’une pompe sur une conduite de refoulement.

Cas de fermeture d’une vanne sur une conduite d’adduction gravitaire

Soit une conduite d’adduction gravitaire AB de longueur L alimentée en A par un réservoir R, dont la surface libre est à la pression atmosphérique et terminée en B par une vanne V.Pour simplifier l’analyse, on suppose que la conduite est horizontale et que l’écoulement initial est permanent avec une vitesse moyenne v0 et une pression p0 .On suppose également que la conduite est idéale (pertes de charge nulles) et à caractère unique (le diamètre D, la nature et l’épaisseur e des parois de la canalisation constants), par conséquent, la ligne piézométrique (LP) en régime permanent coïncide avec la ligne de charge (LC).Soit v0 et p0 la vitesse et la pression moyennes dans une section M qui sera repérée par son abscisse x mesuré par sa distance à partir de l’extrémité amont A; l’origine des abscisses sera donc le point A.

On admet que cette conduite est brusquement obturée au moyen d’une vanne. On constatera quatre phases :

Phase 01 : Dans cet état, la vitesse des particules liquides qui initialement était v0 s’annule du fait que ces particules viennent buter contre cette vanne. Ceci a pour conséquence que toute l’énergie cinétique du liquide se transforme en travail de déformation du tuyau et du liquide, compression du liquide et dilatation de la paroi de la conduite (C’est justement cette compressibilité du liquide qui permet d’expliquer le coup de bélier).La fermeture complète de la vanne, qui fait passer la vitesse de v0 à zéro, provoque derrière elle une onde de surpression, alors que dans le reste de la conduite l’écoulement persiste à la vitesse v0 et la pression p0. Cette onde se propage vers l’amont avec une célérité (-a). Au droit de la vanne, la pression devient p p0 ∆ + , où p ∆ est l’augmentation de la pression p. Il est clair que les particules qui suivent immédiatement celles qui se sont immobilisées, sont stoppées à leur tour et ainsi de suite. Donc, l’onde de surpression (annulation de la vitesse et l’augmentation de la pression) se propagera à une vitesse « a », dite vitesse de propagation d’onde ou célérité, de la vanne vers le réservoir.Une fois que toutes les particules du liquide se sont immobilisées dans la conduite et que cette dernière se soit complètement dilatée (une compression du liquide et une dilatation de la paroi de la conduite), la pression dans cette conduite sera 1 pp ∆+ supérieure donc à celle régnant dans le réservoir (juste à l’entrée de la conduite).

Phase 02: Comme l’état à la fin de la phase 01 n’est pas un état d’équilibre, alors on enregistre un écoulement du liquide de la conduite vers le réservoir vidant ainsi la conduite du volume accumulé sous la surpression. La vitesse d’écoulement de l’eau dans la zone décomprimée est égale à v0 mais de signe contraire, c’est-à-dire, elle est dirigée vers l’amont (réservoir). Dans ce  cas, le diamètre tend à reprendre son état initial. En conséquence une énergie cinétique apparaît progressivement .Cette transformation s’effectue également sous forme d’une propagation par une onde de dépression qui a la même célérité « a » et dirigée vers la vanne, qu’elle atteint au temps t. A la fin de la deuxième phase la conduite retrouve son diamètre initial et la pression  devient p0

Phase 03: Comme le liquide continue toujours à s’écouler de la conduite vers le réservoir, au niveau de la vanne, ce liquide tend à se décoller de la vanne tout en produisant un abaissement de pression (une transformation de l’énergie cinétique en dépression), c’est-à-dire que l’onde de dépression au contact de la vanne se réfléchit sans changement de signe. Cette onde se propagera.Après un temps t , l’onde de dépression arrive au réservoir, l’eau sera immobilisée  et la pression sera inférieure à la pression initiale, ce qui engendre une contraction de la conduite et l’écoulement .

Phase 04 : Comme la pression p3 est inférieure à celle du réservoir qui est maintenue constante  et égale à p0, l’eau s’écoulera alors du réservoir vers la vanne, donc on assiste au remplissage de la conduite augmentant ainsi la pression dans la conduite de 1 0 pp ∆− à p0. Cela vaut dire que  l’onde de dépression se réfléchit sur la surface libre du réservoir en changeant le signe et devient  une onde de surpression (ou compression) qui descend la conduite. La vitesse du liquide sera  égale, à ce moment à v0.Il est évident qu’une fois la dépression p ∆− aura été complètement supprimée, la  conduite va reprendre son état initial et se retrouvera donc dans les mêmes conditions que celles  qui existaient juste à la fermeture de la vanne .Par conséquent, au temps t , on a un écoulement identique à l’écoulement de l’état initial.Alors le phénomène se reproduira théoriquement à l’infini. Mais en réalité, l’amortissement du phénomène est dû aux pertes de charge par frottement et à la dissipation d’une partie de l’énergie du liquide dans le réservoir.

Table des matières

Liste des figures
Notations et symboles
Résumé
Abstract
INTRODUCTION
1) Problématique
2) Historique
3) Objectifs du mémoire
4) Organisation générale du mémoire
CHAPITRE I : GENERALITES SUR LES REGIMES D’ECOULEMENTS ET LES
ONDES ELASTIQUES
I-1) Généralités sur les régimes d’écoulement
I-1-1) Régime permanent
I-1-2) Régime non permanent ou transitoire
I-2) Causes des écoulements transitoires en charge
I-2-1) Cas d’un arrêt d’une pompe sur une conduite de refoulement
I-2-2) Cas d’une fermeture d’une vanne sur une conduite d’adduction gravitaire
I-3) Présentation générale des ondes des écoulements transitoires
I-4) Propagation des ondes des écoulements transitoires
I-4-1) Propagation d’une onde des écoulements transitoires dans un milieu
fluide indéfini
I-4-2) Propagation d’une onde des écoulements transitoires dans une conduite
Cylindrique
I-5) Réflexion des ondes des écoulements transitoires en charge
I-5-1) Réflexion des ondes des écoulements transitoires en charge
à un nœud
I-5-2) Réflexion des ondes des écoulements transitoires en charge à un bout
fermé à l’abscisse x = L
I-5-3) Réflexion des ondes des écoulements transitoires en charge à un bout
ouvert (à pression constante) à l’abscisse x = L
I-6) Analyse physique des écoulements transitoires en charge
I-6-1) Généralités
I-6-2) Cas de fermeture d’une vanne sur une conduite d’adduction
gravitaire
I-6-3) Cas d’ouverture d’une vanne sur une conduite d’adduction
gravitaire
I-6-4) Cas d’une conduite de refoulement
I-6-5) Evolution des ondes de pression et de vitesse aux points
caractéristiques
I-6-6) Evolution des ondes de pression le long de la conduite
I-7) CONCLUSION
CHAPITRE II: MODELISATION MATHEMATIQUE DES ECOULEMENTS TRANSITOIRES EN CHARGE
II-1) Hypothèses de base – intervention de la compressibilité de l’eau et de l’élasticité
des canalisations
II-2) Equations fondamentales de l’écoulement transitoire en charge
II-2-1) Le théorème de la quantité de mouvement
II-2-2) Equation de continuité, compte tenu de la compressibilité de l’eau
et de l’élasticité de la conduite
II-2-2-1) Compressibilité de l’eau
II-2-2-2) Dilatation de la conduite
II-3) Propriétés du système d’équations des écoulements transitoires en charge
II-3-1) Instationnarité
II-3-2) Unidimensionnalité
II-3-3) Quasi-linéarité
II-3-4) Hyperbolicité
II-4) Equations aux caractéristiques
II-5) CONCLUSION
CHAPITRE III: RESOLUTION DES EQUATIONS REGISSANT LESECOULEMENTS TRANSITOIRES EN CHARGE PAR
LA METHODE ANALYTIQUE D’ALLIEVI
III-1) Equations régissant les écoulements transitoires en charge
III-1-1) Simplification des équations du mouvement transitoire
III-1-2) Solution générale des équations du mouvement
III-2) Interprétation physique des équations d’Alliévi
III-3) Simplification des équations d’Alliévi
III-4) Equations enchaînées d’Alliévi
III-5) Application des équations d’Alliévi à quelques cas pratiques
III-5-1) Fermeture brusque
III-5-1-1) Fermeture instantanée
III-5-1-2) Fermeture brusque
III-5-1-3) Propagation de la surpression le long de la conduite
III-5-1-4) Influence de la perte de charge
III-5-2) Cas de la fermeture lente
III-5-3) Etude des phénomènes d’ouverture
III-6) Conduites à caractéristiques multiples
III-7)) Application : détermination de la pression et de la vitesse moyenne
dans une section transversale droite d’une canalisation à un instant fixé
III-8) CONCLUSION
CHAPITRE IV : METHODE GRAPHIQUE DE SCHNYDER BERGERON
IV-1) Introduction
IV-2) Valeur et intérêt pratique de la méthode graphique
IV-3) Principes de la méthode
IV-3-1) Les droites caractéristiques
IV-3-2) Détermination graphique de la grandeur F+f
IV-3-3) Courbes caractéristiques H(Q) des principales singularités
IV-3-3-1)Vanne fermée
IV-3-3-2) Conduite débouchant dans un réservoir de grande capacité dans lequel le liquide présente une surface libre
IV-3-3-3) Obturateur commandant l’extrémité d’une canalisation débouchant à l’air libre (vanne, injecteur de turbine, Pelton)
IV-3-3-4) Pompe centrifuge
IV-4) Construction des épures de Schnyder –Bergeron)
IV-4-1) Cas d’une conduite de diamètre constant en négligeant
le frottement
IV-4-2) Cas d’une conduite de diamètre variable en négligeant
le frottement
IV-4-3) Cas d’une bifurcation en négligeant le frottemen
IV-4-4) Cas d’une conduite de diamètre constant en tenant compte
de la perte de charge
IV-5) Règles générales pour la construction des épures de SCHNYDER- BERGERON
IV-6) CONCLUSION
CHAPITRE V : METHODES NUMERIQUES
V-1) Introduction
V-2) Equations aux caractéristiques
V-3) Intégration du système différentielle
V-4) Principe de base de la méthode des caractéristiques
V-5) Conditions aux limites
V-5-1) Conditions initiales
V-5-2) Conditions aux frontières
V-6) Prise en compte des cas limites
V-6-1) Cas où le débit est imposé
V-6-2) Cas limite où la hauteur piézométrique est imposée
V-6-3) Cas de raccordement de deux conduites
V-6-4) Cas de bifurcation
V-7) Règles générales pour l’application de la méthode des caractéristiques
V-8) Analyse des méthodes de solution et choix de la méthode appropriée
V-8-1) Méthode analytique d’Alliévi
V-8-2) Méthode graphique de Schnyder – Bergeron
V-8-3) Méthodes numériques
V-8-4) CONCLUSION
CHAPITRE VI : APPLICATIONS NUMERIQUES
VI-1) Introduction
VI-2) Hypothèses de calcul
VI-3) Problème de Streeter
VI-3-1) Enoncé complet du problème
VI-3-2) Schéma d’adduction et notation
VI-3-3) Algorithme et programme de résolution du problème de Streeter
VI-3-4) Application numérique
VI-3-6) Interprétation des résultats
VI-3-5) Résultats graphiques
VI-4) Analyse de l’influence de la position de la vanne
VI-4-1) Hypothèse de base
VI-4-2) Interprétation des résultats
VI-5) Fermeture linéaire de la vanne
VI-5-1) Enoncé complet du problème
VI-5-2) Schéma d’adduction et notation
VI-5-3) Algorithme et programme de résolution du problème
(fermeture linéaire de la vanne)
VI-5-4) Application numérique
VI-5-5) Interprétation des résultats
VI-5-6) Résultats graphiques
VI-6) Réseau d’adduction avec bifurcation
VI-6-1) Enoncé du problème
VI-6-2) Schéma d’adduction avec bifurcation et notation
VI-6-3) Algorithme et programme de résolution du problème
(Réseau d’adduction avec bifurcation)
VI-6-4) Application numérique
VI-6-5) Interprétation des résultats
VI-6-6) Résultats graphiques
VI-7) Adduction gravitaire avec deux conduites en série
VI-7-1) Enoncé du problème
VI-7-2) Schéma d’adduction avec deux conduites en série et notation
VI-7-3) Algorithme et programme de résolution du problème(Réseau
d’adduction avec deux conduites en série)
VI-7-4) Application numérique
VI-7-5) Interprétation des résultats
VI-7-6) Résultats graphiques
VI-8) CONCLUSION
CONCLUSION GENERALE
BIBLIOGRAPHIE
ANNEXE

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