Prolongement holomorphe des fonctions harmoniques

Prolongement holomorphe des fonctions harmoniques

Le phénomène de Hartogs

Considérons un polydisque Dn(a, r) dans C n . Soit p un nombre entier tel que 1 ≤ p ≤ n (donc n ≥ 2) et soit  = (1, …, n) avec j des constantes vérifiant 0 < j < rj , (rj ∈ R) pour tout j = 1, …, n. Notons Hn(a, r, ) le domaine de C n qui est la réunion des deux domaines suivants : D = {z ∈ Dn(a, r), |zj − aj | < j pour j > p } et A = {z ∈ Dn(a, r), |zj − aj | > rj − j pour j ≤ p } On appelle Hn(a, r, ) une figure d’Hartogs ou une marmite d’Hartogs 1 . Théorème 3.1.1. (Hartogs1) Soit f une fonction holomorphe sur une figure d’Hartogs Hn(a; r;) . Alors f s’étend de maniére unique en fonction holomorphe sur Dn(a; r). Démonstration. Soit r0 = (r 0 1 , …, r0 n ) tel que rj − j < r0 j < rj pour j ≤ p et j < r0 j < rj pour j > p. Il suffit de montrer que f se prolonge en fonction holomorphe sur Dn(a; r0). Comme f est holomorphe sur Hn(a, r, ), on obtient pour tout z ∈ Dn(a, r0) ∩ Hn(a, r, ) f(z) = 1 (2iπ) n Z |ξ1−a1|=r 0 1 … Z |ξn−an|=r 0 n f(ξ) (ξ1 − z1)…(ξn − zn) dξ1…dξn. La dernière expression définit une fonction holomorphe sur Dn(a, r0) qui est donc un prolongement holomorphe de f sur Dn(a, r0). Ceci termine la preuve du théoréme. Voici une variante utile du théorème de Hartogs. Théorème 3.1.2. (Hartogs2 ) Soient Ω un domaine de C n avec n ≥ 2 et K un compact de Ω. Supposons que Ω\K est connexe, alors toute fonction holomorphe sur Ω\K se prolonge de maniére unique en fonction holomorphe sur Ω. Démonstration. Soit f une fonction holomorphe sur Ω\K. Soit χ une fonction lisse à support compact dans Ω telle que χ = 1 au voisinage de K. Considérons la fonction (1 − χ)f. Elle est bien définie sur Ω et on la prolonge par zéro à travers K. Cette fonction n’est pas holomorphe mais on va la « corriger » pour obtenir une extension holomorphede f sur Ω. Considérons la (0, 1)-forme lisse g définie par g = ∂(−χf) = ∂((1 − χ)f). Cette forme est définie et ∂-exacte sur Ω\K. Elle est nulle prés du bord de Ω\K. Par conséquent, elle se prolonge par zéro en une (0, 1)-forme lisse ∂-fermée à support compact dans C n . D’aprés le théorème (1.3.2), il existe une fonction h lisse à support compact dans C n telle que ∂h = g. On utilise ici l’hypothèse que n ≥ 2. Cette équation montre que h est holomorphe C’est donc une fonction holomorphe sur Ω. Elle est égale a f sur l’ouvert non-vide D ∩ (Ω\K). Comme Ω\K est connexe, le théorème (1.3.2) entraine que ef = f sur Ω\K. Donc ef est une extension holomorphe de f à Ω. La démonstration du dernière théorème illustre une idée fondamentale en analyse complexe. Elle peut étre résumée comme suit. Lorsqu’on veut construire des fonctions holomorphes (ou plus généralement, des applications ou d’autres objets holomorphes) satisfaisant certaines propriéetés, il est plus facile de construire des fonctions lisses satisfaisant des propriétés similaires. Ensuite, on résout, quand c’est possible, une équation ∂ adaptée pour corriger la fonction lisse afin d’obtenir une fonction holomorphe.

Fonction entière arithmétiques de type exponentiel

Les fonctions entières de type exponentiel arithmétiques, c’est-à-dire les fonctions f(z) telles que l’on ait pour |f|(r) = max{|f(z)|, |z| ≤ r}, une estimation de la forme |f|(r) ≤ exp(ar) si r est assez grand, et telles que f(n) appartient Z pour tout n dans Z ont été d’abord étudiées par Polya, Guelfond et Carleson, qui ont montré que si a < log 2, alors f est un polynôme. Ces recherches ont été poursuivies par de nombreux auteurs, dont Pisot 1 qui a donné des résultats pour le cas où l’on a plus a < log 2. Pisot avait également dans une note aux comptes rendus de l’académie des siences en 1946, abordé la question des fonctions presque arithmétiques, c’est a dire des fonctions de type exponentiel prenant des valeurs trés proches d’entiers rationnels aux points de N. Il obtenait comme résultat que si pour tout n dans Z, on a f(n) = r(n) + e(n) avec r(n) dans Z et e(n) est une suite de nombres complexes décroissant de manière exponentielle tendant vers zéro, et si la décroissance de e(n) vers zéro est assez rapide et de type de f assez petit, alors f est encore un polynôme . Il ne semble pas, d’ailleur que Pisot ait jamais publié des relations explicites entre la décroissance vers zéro de la suite e(n) et le type de la fonction f pour qu’il en soit ainsi. Définition 4.2.1. Une fonction entière f est dite de type exponentiel τ si pour chaque ε ≥ 0 on a : |f(z)| = O(e (τ+ε)|z| ), |z| → ∞. Exemple 4.2.1. Les fonctions x → exp(x) est de type exponentiel τ = 1.

Table des matières

Introduction
1 Notions de base
2 Cellule d’harmonicité des ouverts connexes de R N (N ≥ 2)
3 Prolongement holomorphe des fonctions harmoniques
4 Complexifiées des fonctions séparément harmoniques et application
aux fonctions arithmétiques entières
5 Une classe d’opérateurs h- intégraux de Fourier
Bibliographie

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