Soutenance mémoire
Le premier physicien connu qui considéra la nature de la résistance et la rupture des solides fut Galilée. Un mémoire lui fut publié à Leyde en1638. En 1660, Hooke montra que les petits efforts provoquaient la déformation d’un solide. En 1744, Bernoulli exprima la proportionnalité de la courbe d’une lame élastique au couple qui lui est appliqué. Coulomb les suivit, en 1776, en affirmant que la rupture est inévitable lorsque la résistance limite d’un matériau est atteinte. A partir des travaux de ces chercheurs, l’étude de la résistance des matériaux prit son essor et elle se développa dans le dix-neuvième siècle. Jusqu’à présent, dans la plupart des cas,en résistance des matériaux, le calcul des structures constituées d’éléments complexes s’effectuaient à l’aide du formulaire de résistance des matériaux et de la théorie de l’élasticité. Or, ces calculs, s’ils ne sont pas très difficiles quand les méthodes générales de résolution sont maîtrisées, sont par contre toujours longs et fastidieux. Récemment, apparut la méthode des éléments finis. Elle permet de résoudre un problème de mécanique en remplaçant le système continu par un modèle discret équivalent caractérisé par un nombre fini de paramètres. De ce fait, elle est facilement programmable. La technique de calcul utilisant l’outil informatique présente alors de grands avantages. Elle est facilement mise en œuvre et nécessite peu de matériels informatiques.
Approche de la mécanique des solides élastiques
Aspect physique
La notion de la Résistance des Matériaux a vu le jour en 1638, quand le mathématicien Galilée commença à se demander sur la résistance d’une poutre encastrée à une de ses extrémités. Le physicien Hooke le suivit, en 1660, en démontrant que les corps jadis considérés comme étant indéformables, présentent des petites déformations dès qu’un effort leur est appliqué et que ces déformations sont proportionnelles à ce dernier. En fait, d’une manière générale, les corps solides résistent, en se déformant, aux actions des forces extérieures qui les sollicitent.
Si la Résistance des Matériaux intéressait les hommes au milieu du dix-septième siècle, c’est parce qu’elle avait, dès lors, de l’importance à leur égard. En effet, la Résistance des Matériaux permet de :
– Savoir la dimension minimale qu’une structure doit posséder pour qu’elle puisse supporter un lot de chargements donné ;
– Et de même, savoir la grandeur maximale des chargements que sa dimension lui permet de supporter.
Nous pouvons déjà discerner que la détermination de ces valeurs peut s’avérer aussi économique que sécuritaire dans la construction d’un ouvrage.
Description du problème
Un problème de mécanique, d’un point de vue général, consiste en la détermination de l’état d’un élément de structure soumis à des sollicitations. Pour ce faire, il est important de connaître quelques caractéristiques de l’élément en question :
– sa géométrie, sa forme ;
– le ou les matériaux le constituant.
De plus, les sollicitations auxquelles il est soumis :
– les forces volumiques ;
– les forces surfaciques ;
– les déplacements imposés ainsi que les déplacements induits ;
– les températures et les flux de chaleur dans le milieu.
En se limitant dans le domaine de la statique et en négligeant l’influence de la température sur l’état des matériaux, dans toute la suite, ces derniers types de sollicitation seront exclus de l’étude. La connaissance de ces différentes grandeurs permet la résolution du problème. En d’autres termes, de déterminer :
– les déplacements en tout point ;
– les déformations y afférent ;
– les contraintes ainsi que les sollicitations en tout point.
But de la Résistance des Matériaux
Sachant l’utilité de la Résistance des Matériaux, nous pouvons comprendre qu’elle ne peut pas être délaissée d’évolution et de progrès depuis les temps de Galilée. Au contraire, elle doit connaître de nombreuses améliorations. Ainsi, à ce propos, des recherches aussi bien techniques que mathématiques seront toujours à espérer. Sur ce, notre contribution sera d’élaborer quelques programmes de calcul de portiques tridimensionnels, par la méthode matricielle et par la méthode des éléments finis – méthode numérique découlant de la discrétisation de la méthode dite mécanique des milieux continus – sous un logiciel de simulation.
Résolution d’un problème statique par la Résistance des Matériaux
Les plus souvent, les déformations sont trop petites pour être observées sans l’aide d’un instrument de précision. Il convient qu’il en soit ainsi afin d’avoir une assurance sur la solidité des constructions. Pour l’établissement de cette assurance, il est essentiel :
– de connaître, par des essais, la façon dont le matériau réagit à certaines sollicitations, afin de les choisir à bon escient ;
– de savoir déterminer les formes les plus économiques et calculer les dimensions des pièces qui doivent, en toute sécurité, résister à des efforts dont on a prévus la grandeur et le mode d’action.
De ce fait, la résolution d’un problème de Résistance des Matériaux se ramène toujours à trouver les paramètres complémentaires (inconnus) des uns ou des autres des grandeurs principales de la mécanique des milieux continus. Connaissant les déformations, la Résistance des Matériaux permet de trouver les sollicitations ainsi que les efforts internes de l’élément étudié. Par contre, sachant les forces appliquées, elle permet de calculer les déformations qui en résulteraient et par la suite, la dimension minimale de l’élément qui permettrait une sécurité optimale. Généralement, une partie des efforts qui sont extérieurs au système – les sollicitations – ainsi qu’une partie des déplacements – les déplacements imposés – sont préalablement connues. Le problème consiste alors à trouver les parties complémentaires qui sont représentées par les réactions aux appuis et les déplacements inconnus puisque la connaissance de ceux-ci est indispensable pour déterminer les contraintes dans les pièces.
Principes généraux de la mécanique des corps solides
La mécanique des solides élastiques est une branche de la mécanique des milieux continus, restreinte à l’étude des solides dans la phase élastique de leur évolution.
Déformations et contraintes dans un solide
Déplacements et déformations
La notion de déplacement ainsi que de déformation constituent, en général, l’observation expérimentale du mouvement dans un milieu continu. Pour une bonne compréhension du principe de la mécanique des solides élastiques, il convient de noter les définitions suivantes.
Le déplacement d’un point matériel est la distance parcourue par ce point, au terme de son mouvement, dans le temps. Il est mis en évidence par la superposition de toutes les positions du point, pendant le mouvement. La déformation d’un point est, par contre, le déplacement relatif de ce point par rapport à sa position d’origine. Il en découle que la déformation du solide tout entier est la différence relative entre ses formes avant et pendant le chargement.
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Table des matières
Introduction
Partie I : Introduction au calcul de structure
– Approche de la mécanique des solides élastiques
– Introduction au calcul de structure
Partie II : Quelques méthodes de calcul de structures
– Méthode analytique du calcul de structures
– Méthode matricielle
– Méthode de calcul par éléments finis
Partie III : Programmations
– Présentation du logiciel Matlab
– Programmation des calculs par la méthode des rotations
– Programmation des calculs par la méthode matricielle
– Programmation des calculs par éléments finis
– Regroupement des programmes
Partie IV : Application
– Description du problème
– Simulations
– Comparaison des résultats
Conclusion
Bibliographie
Annexes
