Problèmes non linéaires avec contraintes

Problèmes non linéaires avec contraintes

Dérivées et points critiques

Dans le calcul di§érentiel, il existe plusieurs notions de dérivées pour des fonctions déÖnies sur des espaces de Banach. Nous introduisons celle de la dérivée directionnelle. DéÖnition 1.1.1 Soient ! une partie díun espace de Banach X et F : ! ! R une fonction : valeurs réelles. Si u 2 ! et z 2 X sont tels que pour t > 0 assez petit : u + tz 2 !; on dit que F admet au point u une dérivée dans la direction z si la limite lim t!0+ F (u + tz) F (u) t existe. On notera cette limite F 0 z (u). Une fonction F peut avoir une dérivée directionnelle dans toute direction z 2 X, sans Ítre pour autant continue. Lorsque la dérivée directionnelle de F existe pour certains z 2 X; on introduit la notion de dérivée au sens de G‚teaux. DéÖnition 1.1.2 Soient ! une partie díun espace de Banach X et F : ! ! R: Si u 2 !, on dit que F est dérivable au sens de G‚teaux (ou G-dérivable ou encore G-di§érentiable) en u síil existe l 2 X0 tel que dans chaque direction z 2 X o˘ F (u + tz) existe pour t > 0 assez petit, l dérivée directionnelle F 0 z (u) existe et on a lim t!0+ F (u + tz) F (u) t = hl; zi: On pose F 0 (u) = l. Remarque 1.1.1 Une fonction G-dérivable níest pas nécessairement continue. Maintenant, on introduit la dérivée classique ou la dérivée au sens de Fréchet. On utilise la notation de Landau o (x) pour désigner une fonction de x telle que lim kxk!0 o (x) kxk = 0. DéÖnition 1.1.3 Soient X un espace de Banach, ! un ouvert de X et F : ! ! R une fonction. Si u 2 !; on dit que F est di§érentiable (ou dérivable) en u (au sens de Fréchet) síil existe l 2 X0 tel que 8v 2 ! : F (v) F (u) = hl; v ui + o (v u) Líensemble des fonctions di§érentiables de ! dans R sera noté C 1 (!; R): Remarque 1.1.2 Si F est di§érentiable (au sens de Fréchet) alors l est unique et on note F 0 (u) = l: Si F est di§érentiable (au sens de Fréchet) alors F est continue. La di§érentiabilité aux sens de G‚teaux et celle au sens de Fréchet sont des notions di§érentes mÍme dans le cas des espaces de dimension Önie R N .(N > 1). Exemple 1.1.1 Soit f une fonction déÖnie de R 2 dans R par f (x1; x2) = 8 >< >: x 3 1×2 x 4 1 + x 2 2 si (x1; x2) 6= (0; 0) 0 si (x1; x2) = (0;

Points critiques sans contrainte

Dans cette section, nous énonÁons deux théorèmes importants dus notamment : Rabinowitz : le théorème du col et le théorème du point selle. Ceux-ci constituent une généralisation du principe du min-max dont les énoncés exigent une supposition technique indispensable en líoccurrencde Palais-Smale. 2.1.1 Condition de Palais-Smale Pour exprimer la compacité des suites minimisantes, ou de faÁon générale des suites qui convergent vers un point dont on espère montrer que cíest un point critique, on a souvent recours : la condition de Palais-Smale. DéÖnition 2.1.1 Soient X un espace de Banach et J : X ! R une fonction de classe C 1 : On dit que la suite (un)n  X est une suite de Palais-Smale de J si elle vériÖe (J (un))n2N est bornée et J 0 (un) ! 0 dans X 0 . On dit que la fonctionnelle J vériÖe la condition de Palais-Smale (en abrégé (P S) ) si toute suite (un)n de Palais-Smale de J contient une sous-suite (unk ) k convergente. 26 2.1. Points critiques sans contrainte DéÖnition 2.1.2 Soient X un espace de Banach, J : X ! R une fonction de classe C 1 et c 2 R. On dit que J vériÖe la condition de Palais-Smale (au niveau c ) si toute suite (un)n de X telle que J (un) ! c dans R et J 0 (un) ! 0 dans X 0 contient une sous-suite (unk ) k convergente . Remarque 2.1.1 Si J vériÖe la condition de Palais-Smale en c 2 R alors une conséquence importante est que líensemble K (c) = fu 2 X : J (u) = c et J 0 (u) = 0} est compact. Si J vériÖe la condition de Palais-Smale (P S) alors J vériÖe (P S) c pour tout c 2 R: Exemple 2.1.1 Soit líopérateur auto-adjoint déÖni sur L 2 ( ); o˘ est un ouvert borné, par Au = 4u pour u 2 D (A) avec D (A) = fu 2 H 1 0 ( ) : u 2 L 2 ( )g: On désigne par Sp (A) = (k) k1 la suite des valeurs propres de A. On rappelle quíen identiÖant L 2 ( ) : son dual, on a H1 0 ( )  L 2 ( )  H1 ( ) avec injections continues et denses. Pour 2 R et f 2 H1 ( ) Öxés, soit la fonctionnelle J déÖnie sur H1 0 ( ) par (h;i désignant le crochet de dualité entre H1 ( ) et H1 0 ( )) J (v) = 1 2 Z jrv (x)j 2 v2 (x) dx hf; vi: Si =2 Sp (A) alors J satisfait la condition de Palais-Smale sur H1 0 ( ). En e§et, en notant A~ líextension de A : H1 0 ( ) (en fait Av~ = 4 v au sens des distributions et souvent on utilisera cet abus de notation) alors on a J 0 (v) = Av~ v f et A~ I est un homéomorphisme de H1 0 ( ) sur H1 ( ): Si (un)n est une suite de H1 0 ( ) telle que 8 < : J (un) ! c dans R J 0 (un) = Au~ n un f ! 0 dan 2.1. Points critiques sans contrainte alors un =  A~ I1 [f + J 0 (un)] ! u =  A~ I1 f dans H1 0 ( ) (cela montre aussi que la seule valeur critique de J est c = J A~ I1 f ): Díautre part, il est intéressant de noter que si = k pour un k 1 et si par exemple f = 0 alors J ne satisfait pas la condition de Palais-Smale. En e§et, ‘k 6= 0 étant une fonction propre associée : k; la suite (un)n = (n’k )n1 ne contient aucune sous-suite convergente bien que J (n’k ) = 0 et J 0 (n’k ) = 0: Exemple 2.1.2 La fonction J (x) = e x déÖnie sur R ne vériÖe pas la condition de Palais-Smale en 0: Très souvent dans la pratique, on montre quíune suite de Palais-Smale est bornée. Ceci nous permet dans un espace réáexif díen extraire une suite faiblement convergente que líon espère converger fortement gr‚ce : une certaine injection compacte. Proposition 2.1.1 (Voir [12]) Soit X un espace de Banach et J : X ! R une fonction de classe C 1 : Supposons que J vériÖe les propriétés suivantes : – Toute suite de Palais -Smale de J est bornée. – Pour tout u 2 X, on peut écrire J 0 (u) = Lu + K (u), o˘ L : X ! X 0 est un opérateur inversible linéaire et K : X ! X 0 est un opérateur compact. Alors J vériÖe la condition de Palais -Smale. Démonstration. Considérons une suite de Palais-Smale (un)n de J i.e. 8 < : (J (un))n2N est bornée J 0 (un) = Lun + K (un) ! 0 dans X 0 Par conséquent un + L 1K (un) ! 0: Comme (un)n est bornée et K est compact alors la suite (L 1K (un))n est relativement compacte, cíest -:-dire, elle admet une sous-suite convergente et par suite (un)n 2.1. Points critiques sans contrainte 2.1.2 Principe du min-max Le lemme de déformation est : la base de beaucoup de méthodes variationnelles. Lemme 2.1.1 (de déformation, voir [13]) Soient X un espace de Banach, I 2 C 1 (X; R) une fonction non constante satisfaisant la condition de Palais-Smale et c 2 R une valeur régulière de I. Alors on peut trouver « 0 > 0 tel que pour 0 <  » < « 0; il existe une application 2 C (R X; X); appelée le áot associé : I, satisfaisant les conditions suivantes : 1) Pour tout u 2 X, on a (0; u) = u: 2) Pour tous t 2 R et u =2 [c « 0 I c + « 0] ; on a (t; u) = u: 3) Pour tout t 2 R; (t; 🙂 est un homéomorphisme de X dans X: 4) Pour tout u 2 X, la fonction t 7! I ( (t; u)) est décroissante sur R: 5) Si u 2 [I c + « ] alors (1; u) 2 [I c « ] : 6) Si de plus I est paire, pour tout t 2 R alors (t; 🙂 est un homéomorphisme impair. Théorème 2.1.1 (Voir [13]) Soient X un espace de Banach, I : X ! R une fonction de classe C 1 vériÖant la condition de Palais-Smale et B une famille non vide de parties non vides de X. On suppose que pour chaque c 2 R et  » > 0 assez petit, le áot (1; 🙂 construit dans le lemme de déformation 2.1.1 respecte B (i.e. si A 2 B; on a (1; A) 2 B): On pose c~ = inf A2B sup v2A I (v) Si c~ 2 R; alors c~ est une valeur critique de I. Voici maintenant un premier résultat du principe du min-max, il síagit du théorème du col de la montagne d˚ : P. H. Rabinowitz et A. Ambrosett

Table des matiéres

Introduction
1 Quelques outils de base
1.1 Dérivées et points critiques
1.2 Dérivées partielles premières
1.3 Quelques opérateurs continus
1.4 Quelques fonctionnelles di§érentiables
1.5 Théorie spectrale du problème de Dirichlet pour le Laplacien
1.5.1 Théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints compacts
1.5.2 Application : la théorie spectrale du Laplacien
2 Points critiques et contraintes
2.1 Points critiques sans contrainte
2.1.1 Condition de Palais-Smale
2.1.2 Principe du min-max
2.2 Points critiques avec contraintes
2.2.1 Condition de Palais-Smale
2.2.2 Principe du min-max
3 Application : étude de quelques problèmes non linéaires
3.1 Etude de problèmes non linéaires sans contrainte
3.1.1 Existence de solutions pour un problème semi-linéaire
Table des matières
3.1.2 Existence de solutions pour un problème aux valeurs propres semilinéaire
3.1.3 Problème elliptique semi-linéaire de résonance
3.2 Problèmes non linéaires avec contraintes
3.2.1 Résultats díexistence de solutions pour un problème aux valeurs
propres semi-linéaire
3.2.2 Résultats díexistence pour un problème aux valeurs propres autonome
Conclusion
Bibliographie

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