Soutenance mémoire
Contexte : mouvement collectif dans les populations animales
Nous nous intéressons à présent à la description à grande échelle des mouvements collectifs observés dans les populations animales, telles que les colonies de bactéries, les essaims d’insectes [18] (fourmis, criquets, etc.), les bancs de poissons [98], les nuées d’oiseaux [6] ou encore les troupeaux de mammifères [34] (moutons, gnous) et les foules de piétons [65]. Nous renvoyons aux écrits [25, 110] pour une présentation plus générale des comportements collectifs et de l’auto-organisation dans le monde animal. Alors que le nombre d’individus dans un troupeaux de moutons est l’ordre du millier au plus, un troupeau de gnous ou une colonie de fourmis peut compter de l’ordre de 100 000 individus [34, 47]. Il peut donc s’avérer nécessaire de développer des modèles permettant de rendre compte de manière synthétique de la multitude des interactions. Pour cela, une méthode consiste à se donner des lois d’interactions entre les particules, puis de dériver un modèle macroscopique par un changement d’échelle. Peu de travaux se sont portés sur l’extraction des lois de comportements individuels directement au sein de grands groupes à partir d’expériences. En effet, l’occultation des individus par leurs congénères rend difficile l’extraction des données. Nous pouvons citer néanmoins le projet Starflag [6, 28, 29] sur les nuées d’étourneaux ainsi que les projets Pedigree sur les foules et Panurge sur les troupeaux de moutons que nous présentons ci-dessous. L’alternative consiste donc à rechercher les lois de comportements dans des petits groupes et à inférer des comportements dans les grands groupes. Cette démarche a été à la base des travaux [55, 94, 103]. Exposons maintenant les expériences menées dans les projets Panurge et Pedigree :
– Dans le cadre du projet Panurge, des expériences ont été menées sur l’initiation d’un mouvement collectif dans des petits groupes de moutons pendant une période de brout [102, 103]. L’expérience est la suivante : parmi un groupe de brebis placé dans une arène, l’une d’entre elles a été préalablement entraînée à rejoindre le bord de l’arène au déclenchement d’un signal sonore et visuel. Systématiquement, la brebis entrainée déclenche un mouvement collectif (voir Fig. 1) et ceci quel que soit le groupe considéré : le leadership est donc partagé par tous les membres du troupeau. La réactivité des autres brebis dites naïves à suivre la brebis initiatrice du mouvement est analysée en fonction de leur ordre de départ. Des expériences sur des grands groupes ont été aussi entreprises (voir Fig. 2). Elles sont en cours d’analyse.
– Le projet Pedigree vise à confronter différents modèles de déplacements de foules de piétons [65, 95] avec des données issues d’expériences. Une de ces expériences consiste à placer les piétons dans un anneau et à assigner à chacun d’eux un sens de rotation (voir Fig. 3). Les déplacements sont enregistrés à l’aide de capteurs placés sur les épaules des individus. Des formations de files sont observées et l’analyse de leurs stabilités au cours du temps est à l’étude.
Dans la suite nous ne considérons que des modèles d’interactions minimalistes, au sens où ils ne sont pas extraits d’expériences et où leurs études sont vouées à explorer leurs propriétés qualitatives.
Contexte : grégarisme et agrégation
Les interactions dans les populations animales sont décrites par les forces d’alignement dont nous avons présenté les effets à grande échelle dans le paragraphe précédent mais aussi par les forces d’attraction et de répulsion. Celles-ci permettent notamment de garantir la cohésion d’un groupe. Les avantages et inconvénients biologiques de ce grégarisme sont multiples : facilité à échapper à un prédateur et à trouver un partenaire, compétition pour l’alimentation… Nous renvoyons à [97] pour de plus amples discussions et références sur ce sujet. Modèles microscopiques. Reprenons le modèle individu-centré (5). Dans de nombreux modèles [2, 35, 67, 104], la force Fk est donc décomposée en termes attractifs à longue portée, en termes répulsifs à courte portée et en termes d’alignement à moyenne portée. Il a été numériquement observé avec ces modèles des mouvements collectifs de rotation (on parle de moulin), des mouvements collectifs de translation,… suivant la valeur des paramètres du modèle [83]. Une grande partie de la littérature s’est donc attachée à comprendre le passage d’une forme à une autre : mentionnons des phénomènes d’hystérésis [35], des transitions de la translation au moulin sous l’effet du bruit [49],… Dans cette thèse, nous nous intéressons tout particulièrement au problème de congestion et donc au traitement de la force de répulsion. Les particules ne pouvant se chevaucher, il existe une distance minimale dmin séparant chaque individu. Ceci induit l’existence d’une densité maximale ρ∗. Distance entre particules. Parmi les modèles individus-centrés présents dans la littérature, un grand nombre ne prennent pas en compte cette distance minimale. La force de répulsion est même bien souvent bornée. La question est alors de savoir si une distance moyenne entre particules est conservée lorsque la taille de la population est augmentée ou bien s’il y a effondrement du système. La réponse est l’objet de l’étude des travaux [48, 93], où attraction et répulsion sont décrits par le potentiel de Morse. Une première voie pour encoder la contrainte de distance minimale est de considérer une force de répulsion singulière en dmin > 0 : nous pouvons citer les travaux de Chaté et al. [57, 61], où le modèle de Vicsek est couplé avec des interactions de type LennardJones. Signalons aussi une version du modèle de trafic routier Follow-the-Leader [12]. Une deuxième approche de type dynamique de contact a été proposée dans [90, 91], où les vitesses des particules sont projetées sur l’espace des vitesses permettant de préserver la distance minimale entre les particules. Modèles macroscopiques et concentration. Pour ce qui concerne les modèles macroscopiques d’agrégation de particules, ils ne prennent en général pas en compte l’existencede densité maximale. Ce sont souvent des modèles du premier ordre (où les effets inertiels sont négligés) avec interaction non locale. Les études se sont tout d’abord intéressées à donner la bonne description des phénomènes d’agrégation en une dimension [92] puis en deux dimensions [111], sans ou avec diffusion [112]. Sans répulsion, des phénomènes de concentration ponctuelle ont lieu. Des études plus analytiques ont donc été menées pour donner des critères sur l’explosion en temps fini ou l’existence en tout temps de solution suivant la régularité du noyau d’interaction [15, 16]. Le même phénomène d’explosion en temps fini en l’absence de terme répulsif a lieu pour les modèles continus type Keller-Segel décrivant le déplacement de bactéries suivant le gradient de densité d’un chimio-attractant. Ce phénomène de concentration ponctuelle peut toutefois être évité avec une diffusion non linéaire [24, 79]. Un phénomène de concentration sur des réseaux unidimensionnels a été observé avec un modèle de type hyperbolique [50].
Conclusion et perspectives
Dans cette thèse, nous avons abordé plusieurs problèmes asymptotiques dans leurs aspects numériques ou analytiques. Au chapitre I, nous avons proposé deux méthodes particulaires (PIC) préservant la limite quasi-neutre pour le système Vlasov-Poisson. Les deux méthodes sont basées sur une résolution semi-implicite des trajectoires des particules et sur une reformulation de l’équation de Poisson ne dégénérant pas lorsque la longueur de Debye devient très faible. Plusieurs cas tests ont montré que contrairement à la méthode explicite, ces méthodes sont stables lorsque les échelles de quasi-neutralité ne sont pas résolues, c’est-à-dire lorsque le pas de temps est plus grand que la période plasma et le pas d’espace plus grand que la longueur de Debye. De plus, la consistance asymptotique des deux schémas a été confirmée par un cas test raide d’expansion de plasma. La stabilité et la consistance asymptotique de ces schémas permettent donc l’utilisation de grands pas de temps et d’espace et donc de réduire les coûts des simulations numériques. Bien que les différents cas tests numériques fournissent une solide validation de la consistance asymptotique des schémas, une preuve mathématique pourra être entreprise. Par ailleurs, les méthodes se sont révélées fortement dissipatives notamment lorsque les échelles de quasi-neutralité sont résolues. Ceci est certainement dû au bruit numérique lors de l’assignation des quantités macroscopiques à partir des particules. Des méthodes de réduction de bruit pourront donc être envisagées. Pour améliorer la précision de ces méthodes, nous pourrons aussi mettre au point des schémas avec une précision d’ordre deux en temps pour intégrer les trajectoires des particules. Enfin, lorsque les électrons ont une masse très faible, les vitesses atteintes par les électrons peuvent devenir très grandes et la condition CFL devenir très contraignante et il serait donc bon de mettre au point des méthodes numériques permettant de lever cette contrainte. Aux chapitres II et III, nous nous sommes intéressés à la description macroscopique de systèmes de particules avec des interactions d’alignement de type Vicsek et une contrainte géométrique sur le module des vitesses des particules. Dans ce contexte, nous avons tout d’abord étudié un modèle de Vicsek à deux populations. Un modèle a été dérivé lorsque les fréquences d’alignement au sein d’une même population sont plus élevées que les fréquences d’échanges entre les deux populations. Cette étude n’est pas terminée : la stabilité des équilibres ainsi que les propriétés mathématiques du modèle obtenu (hyperbolicité) restent encore à explorer. De plus, lorsque les fréquences d’échanges sont plus importantes que les fréquences d’interactions d’alignement au sein des populations, l’existence même d’équilibres est encore à démontrer dans le cas général. Nous pourrons aussi étudier les modèles à deux populations avec des variantes du modèle de Vicsek (ajout d’un angle de vision, fréquence d’interaction dépendant de la densité locale,…). Dans le chapitre III, différents schémas numériques pour le modèle macroscopique de Vicsek ont été comparés à la dynamique particulaire. Le schéma basé sur la relaxation de la contrainte géométrique sur la vitesse concorde avec les simulations particulaires. Ceci fournit une validation du modèle macroscopique de Vicsek lorsque la densité des particules est élevée. Ce travail offre plusieurs perspectives. Tout d’abord, nous pourrons chercher à justifier mathématiquement la concordance entre le schéma de relaxation et les simulations particulaires. Les simulations bidimensionnelles sont en cours d’étude par Sébastien Motsch et des difficultés surviennent notamment lorsque des domaines de faibles densités apparaissent. La gestion numérique et théorique de ces faibles densités pourra être explorée. En appendice, une solution en vortex pour le modèle macroscopique a été exhibée mais il semblerait qu’elle soit numériquement instable. La recherche de conditions aux limites adéquates pour la stabiliser est en cours. Enfin, ce travail permettra de confronter le système obtenu au chapitre II à la dynamique particulaire à deux vitesses. Aux chapitres IV et V, nous nous sommes intéressés à la prise en compte d’une contrainte de densité maximale. Le chapitre IV a été consacré à l’étude d’un modèle macroscopique décrivant des effets de congestion dans un système de particules. Il a été dérivé d’une dynamique particulaire avec une force répulsive à courte portée devenant prédominante lorsque la densité locale devient proche de la densité maximale. Le modèle macroscopique asymptotique comporte deux phases : une phase incompressible dans laquelle la densité maximale est atteinte et une phase compressible pour les densités plus faibles. La dynamique de l’interface entre les deux phases a été en partie obtenue par l’analyse d’un problème de Riemann. Nous avons fourni une solution unidimensionnelle de la collision de deux domaines de densité maximale, néanmoins la géométrie de la collision bidimensionnelle n’a pas pu être obtenue. Des recherches dans cette voie pourront être engagées. Au niveau du modèle microscopique, des simulations numériques ont été présentées et montrent la formation d’agrégats. L’étude de paramètre va être poursuivie afin de déterminer quelles sont les conditions pour obtenir de tels phénomènes collectifs. De plus, l’alignement n’est pas observé dans ces agrégats contrairement à ce qui est obtenu au niveau macroscopique. La fermeture monocinétique du modèle n’est donc peut-être pas appropriée pour décrire ce modèle particulaire. D’autres asymptotiques pourront donc être envisagées. Enfin, nous pouvons penser au raffinement éventuel du modèle microscopique : par exemple l’ajout d’un angle de vision sur les interactions, l’ajout de force d’alignement de type Vicsek,… Enfin, dans le chapitre V, nous avons proposé des schémas numériques permettant de capturer les transitions entre les phases compressibles et les phases incompressibles obtenues comme limite asymptotique d’un système d’Euler avec une contrainte de densité maximale portée par une pression singulière. Ces schémas présentent l’intérêt de générer les deux dynamiques par l’intermédiaire d’un seul schéma. De plus, la contrainte de densité maximale est satisfaite numériquement. Bien que donnant des résultats consistants avec la limite de congestion, les deux schémas proposés ont quelques imperfections. Un des deux schémas présente des oscillations sur la vitesse dans les domaines incompressibles de densité maximale et le second est très diffusif dans les domaines compressibles. La preuve du caractère absolument consistant des schémas est encore incomplète du fait de la difficulté à traiter les interfaces entre les deux domaines. Par ailleurs, des analyses d’erreurs seront effectuées et les extensions bidimensionnelles sont en cours. Pour affiner ces méthodes, nous pourrons aussi mettre au point des schémas d’ordre deux en temps et en espace. Finalement, cette étude combinée avec les résultats obtenus pour le modèle de Vicsek pourra permettre la simulation numérique du modèle étudié au chapitre IV et ainsi déterminer numériquement la géométrie bidimensionnelle des collisions entre deux régions de densité maximale. Dans cette thèse, nous avons notamment étudié plusieurs modèles pour le déplacement collectif d’animaux. Ces modèles n’ont pas a priori la validité des modèles utilisés en physique des plasmas et il nous semble donc important de discuter leur pertinence biologique et leur utilité en tant qu’outils mathématiques. Les différentes études asymptotiques menées dans cette thèse apportent quelques réponses mais sans aucun doute, pour déterminer les domaines de validité des différents modèles, ils pourront (et devront) être confrontrés à des mesures expérimentales.
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Table des matières
Introduction
1 Problèmes asymptotiques
1.1 Cadre – Définition
1.2 Exemple 1 : Limite quasi-neutre
1.3 Exemple 2 : Limite hydrodynamique avec contrainte géométrique
1.4 Exemple 3 : Limite de congestion
2 Schémas numériques préservant l’asymptotique
2.1 Présentation des méthodes
2.2 Méthode numérique particulaire AP pour la limite quasi-neutre
2.3 Validation numérique du modèle de Vicsek macroscopique
2.4 Méthode numérique AP pour la limite de congestion
3 Résumé des travaux présents dans cette thèse
3.1 Méthode Particle-In-Cell pour la limite quasi-neutre
3.2 Un modèle de Vicsek à deux populations
3.3 Simulations numériques du système de Vicsek macroscopique
3.4 La congestion dans un modèle macroscopique pour animaux grégaires
3.5 Simulations numériques du système d’Euler avec congestion
4 Conclusion
Bibliographie
Première partie : Limite quasi-neutre dans les plasmas
I Méthode Particle-In-Cell préservant l’asymptotique quasi-neutre
1 Introduction
2 The Vlasov-Poisson system and its quasineutral limit
2.1 The Vlasov-Poisson system
2.2 Reformulation of the Poisson equation
2.3 The quasineutral limit
3 Asymptotic-Preserving PIC method (PICAP method)
3.1 PIC methods: general methodology
3.2 Classical PIC method
3.3 PICAP method
3.4 Direct-Implicit method
4 Numerical results
4.1 Steady state test-case
4.2 Periodic perturbation of a quasineutral Maxwellian plasma
4.3 Bump-on-tail test-case
4.4 One-dimensional plasma expansion test-case
5 Conclusion
Bibliography
Figures
Deuxième partie : Limite hydrodynamique avec contrainte géométrique
II Un modèle de Vicsek à deux populations
1 Introduction
2 A Vicsek model with two speeds
2.1 The microscopic model
2.2 Kinetic model and scaling
3 Case δV ≪ δE ≪ 1
3.1 Limit εδεV = ε → 0
3.2 Limit δE → 0: equilibria
3.3 Limit δE → 0: equilibrium equations
4 Case δE ≪ δQ ≪ 1
4.1 Limit εδεE = ε → 0
4.2 Limit δV → 0
5 Conclusion
A Appendix : Momentum equations (details)
B Appendix : Momenta balance
C Appendix: The linearized exchange operator
Bibliography
III Simulations numériques du système de Vicsek macroscopique
1 Introduction
2 Presentation of the Vicsek and Macroscopic Vicsek models
3 The Macroscopic Vicsek model
3.1 Theoretical analysis of the macroscopic model
3.2 A conservative form of the MV model in dimension 1
3.3 The MV model as the relaxation limit of a conservative system
4 Numerical simulations of the MV model
4.1 Numerical schemes
4.2 Numerical simulations
5 The microscopic versus macroscopic Vicsek models
5.1 Local equilibrium
5.2 Microscopic versus Macroscopic dynamics
6 Conclusion
A Appendix : The coefficients c1, c2 and λ
B Appendix : Special solution of the MV model
C Appendix: Numerical schemes for particle simulations
Bibliography
Troisième partie : Limite de congestion
IV La congestion dans un modèle macroscopique pour animaux grégaires
1 Introduction
2 Model and goals
2.1 The model and its rescaled form
2.2 The singular limit ε → 0: compressible/incompressible transition
2.3 Study of the congested region
2.4 Conditions at the boundary of the clusters
2.5 Clusters dynamics
2.6 Conclusion of the analysis
3 The one-dimensional Riemann Problem
3.1 Methodology
3.2 Solutions to the Riemann problem for (IV.22)-(IV.23)
3.3 The solutions of the Riemann problem in the limit ε → 0
3.4 Connecting the Riemann problem analysis to the Formal Statement 1
4 Conclusion
A Appendix: Derivation of macroscopic model
A.1 Individual Based Model with speed and congestion constraints
A.2 Mean-field model, hydrodynamic limit and macroscopic model
A.3 Repulsive force intensity and macroscopic model
B Appendix: Conservative laws for the one-dimensional system
C Appendix: Cluster collisions
D Appendix: Study of the Hugoniot loci
E Appendix: Study of the integral curves
F Appendix: Solutions of the Riemann problem for ε > 0
F.1 Proof of theorem 19
F.2 Proof of proposition 20
G Appendix: Limits of solutions of the Riemann problem
G.1 Proof of proposition 21
G.2 Proof of lemma 22
G.3 Proof of proposition 23
G.4 Proof of proposition 24
H Appendix: Smooth and incompressible vector field with values in S1
I Appendix: Numerical simulation of the Individual-Based model
Bibliography
V Simulations numériques du système d’Euler avec congestion
1 Introduction
2 The Euler system with congestion and its asymptotic limit
2.1 The model
2.2 The asymptotic limit
2.3 Solutions of the one-dimensional problem
3 Time semi-discretization schemes
3.1 The time semi-implicit discretization
3.2 The direct method
3.3 Gauge method
4 Full time and space discretization in 1D
5 Numerical results
6 Conclusion
A Appendix : The one-dimensional Riemann problem
A.1 Rarefaction and shock waves
A.2 Limit of solutions of the Riemann problem
Bibliography
Conclusion et perspectives
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