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Problème inverse local à énergie fixée
On adapte le célèbre résultat d’unicité locale de Borg-Marchenko, connu dans le cadre des problèmes inverses pour l’équation de Schrödinger unidimensionnelle, afin d’obtenir des résultats d’unicité locale dans le cadre des problèmes inverses métriques. Plus précisément, on considère une classe de variétés à symétrie sphérique ayant deux bouts asymptotiquement hyperboliques et on étudie les propriétés de diffusion de champs de Dirac se propageant dans de telles variétés. Grâce à la symétrie sphérique du modèle, on sait que la diffusion stationnaire est encodée par une famille dénombrable d’équations de Dirac unidimensionnelles. Ceci nous permet de définir les coefficients de transmission T(λ, n) et les coefficients de réflexion L(λ, n) et R(λ, n) des champs de Dirac ayant une énergie λ et un moment angulaire n. Le résultat principal de ce chapitre est alors un résultat d’unicité locale. Plus précisément, on prouve qu’à une énergie fixée λ 6= 0, la connaissance des coefficients de réflexion L(λ, n) (respectivement R(λ, n)) – à une erreur de la forme O(e−2nB) avec B > 0 près – détermine de façon unique la métrique dans un voisinage du bout de gauche (respectivement de droite). De plus, la taille du voisinage dépend de la taille du terme d’erreur. Notre preuve repose essentiellement sur l’utilisation de la méthode de Complexification du Moment Angulaire et de résultats d’unicité pour la transformée de Laplace. Dans une dernière partie, nous appliquerons ces résultats au cadre de la Relativité Générale et plus précisément aux trous noirs de type Reissner-Nordström-de Sitter.
Introduction et présentation des résultats
Pour rappel, le Théorème de Borg-Marchenko peut formellement être énoncé de la façon suivante. On considère deux équations de Schrödinger stationnaires sur R+ ayant pour potentiels q1 et q2 et à chacune de ces équations on associe une fonction de Weyl-Titchmarsh à l’aide de systèmes fondamentaux de solutions. Le Théorème de Borg-Marchenko énonce alors que si ces fonctions de Weyl-Titchmarsh coïncident les potentiels sont égaux. Simon a obtenu dans [Sim99] une version locale de ce résultat qui énonce que les potentiels q1 et q2 coïncident sur ]0, a[ si et seulement si les fonctions de Weyl-Titchmarsh sont égales à une erreur exponentielle près dépendante de a. Une nouvelle preuve élégante de ce résultat à ensuite été donnée par Bennewitz dans [Ben01]. Notre but est ainsi ici d’adapter cette dernière preuve dans le cadre des problèmes inverses métriques. Plus précisément, on l’utilise sur des variétés courbes de dimension trois ou quatre pour lesquelles l’inconnue – i.e. l’objet que l’on cherche à déterminer en observant des ondes à l’infini – est la métrique (riemannienne ou lorentzienne) elle-même.
Pour des Variétés Asymptotiquement Hyperboliques (notées VAH) sans symétries particulières, des résultats de diffusion directe et inverse pour des ondes scalaires ont été prouvés par Joshi et Sá Barreto dans [JSB00], par Sá Barreto dans [SB05], par Guillarmou et Sá Barreto dans [GSB08, GSB09] et par Isozaki et Kurylev dans [IK14]. Dans [JSB00], il est montré que les asymptotiques de la métrique d’une VAH sont déterminées de façon unique (à isométrie près) par la matrice de diffusion S(λ) à une énergie fixée λ en dehors d’un sous-ensemble discret de R. Dans [SB05], il est prouvé que la métrique d’une VAH est déterminée de façon unique (à isométrie près) par la matrice de diffusion S(λ) pour tout λ ∈ R en dehors d’un certain sous-espace. Des résultats similaires ont été obtenus récemment dans [IK14] pour une classe encore plus générale de VAH. Dans [GSB09] il est prouvé que pour des variétés de type Einstein connexes conformément compactes de dimension paire n + 1 la matrice de diffusion à l’énergie n sur un sous-ensemble ouvert de son bord conforme détermine de façon unique la variété à isométrie près. On mentionne également le travail [Mar09] de Marazzi dans lequel l’auteur étudie le problème de diffusion inverse pour l’équation de Schrödinger stationnaire sur une variété conformément compacte ayant pour courbure sectionnelle −α² au bord avec un potentiel régulier ne s’annulant pas sur ce bord. L’auteur montre alors que la connaissance de la matrice de diffusion à deux énergies fixées λ1 et λ2, λ1 6= λ2, dans un bon sous-ensemble de C, détermine de façon unique α ainsi que les séries de Taylor du potentiel et de la métrique au bord. Enfin, mentionnons également [BP11] dans lequel un problème inverse à partir des résonances est étudié dans une certaine sous-classe de VAH.
Les résultats de diffusion inverse de ce chapitre sont locaux par nature et dans le même esprit que les travaux [Ben01, GS00, Sim99, Tes09]. En effet, au lieu de supposer la connaissance exacte d’un des opérateurs de réflexion, on suppose que l’un d’eux est connu à une erreur près . En utilisant les propriétés d’analyticité des coefficients de réflexion L(λ, z) et R(λ, z) par rapport au moment angulaire complexe z et quelques résultats d’analyticité bien connus sur la transformée de Laplace (voir [Hor11, Sim99]), on est en mesure d’obtenir l’amélioration suivante du résultat précédent.
Formalisme pour l’équation de Dirac sans masse
Pour établir l’équation de Dirac sans masse dans un espace-temps courbe de dimension quatre M équipé d’une métrique lorentzienne τ de signature (1, −1, −1, −1), on utilise le formalisme de base orthonormale de Cartan comme expliqué par exemple dans [CP82] ou dans un cadre plus relativiste dans [Nic95]. On note {eA}A=0,1,2,3 une base de Lorentz locale, i.e. un ensemble de champs de vecteurs satisfaisant τ (eA, eB) = ηAB où ηAB = diag(1, −1, −1, −1) est la métrique de Lorentz plate. On note également {e A}A=0,1,2,3 l’ensemble des 1-formes duales de la base {eA}. Les lettres latines A, B désignent dans ce qui suit les indices correspondant à la base de Lorentz locale, alors que les lettres grecques µ, ν désignent les indices des coordonnées de l’espace-temps de dimension quatre. L’équation de Dirac sans masse prend alors la forme générique suivante
Dφ = γᴬ(∂A + ΓA)φ = 0.
Ici, les γᴬ sont les matrices de Dirac qui satisfont les relations d’anti-commutativité
{γᴬ, γB} = γᴬγᴮ + γᴮγᴬ = 2ηᴬᴮ.
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Table des matières
Introduction
1 Problème inverse local à énergie fixée
1.1 Introduction et présentation des résultats
1.2 Modèle
1.2.1 Formalisme pour l’équation de Dirac sans masse
1.2.2 Équation de Dirac sur une VAHSS
1.3 Diffusion stationnaire
1.4 Preuves des résultats principaux
1.4.1 Preuve du Théorème 1.1.3, (i) ⇒ (ii)
1.4.2 Preuve du Théorème 1.1.3, (ii) ⇒ (i)
1.4.3 Preuve du Théorème 1.1.3, (iii) ⇔ (iv)
1.4.4 Preuve du Théorème 1.1.5
1.5 Application aux trous noirs de type RN-dS
1.5.1 Trous noirs de type Reissner-Nordström-de Sitter
1.5.2 Équation de Dirac dans un trou noir de type RN-dS
1.5.3 Unicité des paramètres
1.6 Reformulation des résultats principaux
1.7 Addendum : les coefficients de transmission
2 Problème inverse dans des trous noirs
2.1 Introduction et résultat principal
2.1.1 Trous noirs de type Reissner-Nordström-de Sitter
2.1.2 Matrice de diffusion et présentation du résultat
2.1.3 Aperçu de la preuve
2.2 Problème de diffusion directe
2.2.1 Équation de Dirac et les résultats de diffusion directe
2.3 Réduction du modèle et première analyse
2.3.1 Premières simplifications
2.3.2 Équations différentielles d’ordre deux pour les fonctions de Jost
2.4 Asymptotiques en le moment angulaire
2.4.1 Variable de Liouville et équations de Bessel
2.4.2 Estimations du noyau de Green et des fonctions de Jost
2.4.3 Asymptotiques des fonctions de Jost à droite lorsque X → 0
2.4.4 Amélioration des estimations des fonctions de Jost
2.4.5 Asymptotiques des fonctions de Jost à droite pour z grand dans le plan complexe
2.4.6 Asymptotiques des fonctions de Jost à gauche pour z grand dans le plan complexe
2.4.7 Asymptotiques de la matrice des données de diffusion
2.5 Complexification du Moment Angulaire
2.5.1 Propriétés d’analyticité des fonctions de Jost et de la matrice des données de diffusion
2.5.2 Classe de Nevanlinna et résultat d’unicité
2.6 Preuve du Théorème principal
2.6.1 Étude de la matrice P
2.6.2 Preuve du Théorème 2.1.1 sous l’hypothèse (i)
2.6.3 Preuve du Théorème 2.1.1 sous l’hypothèse (ii)
3 Problème inverse à énergie fixée : variétés de Stäckel
3.1 Introduction et présentation du résultat
3.1.1 Rappels sur la théorie de séparation des variables
3.1.2 Description du modèle
3.1.3 Structure asymptotiquement hyperbolique et exemples
3.1.4 Opérateur de diffusion et présentation du résultat
3.1.5 Aperçu de la preuve
3.2 Problème direct
3.2.1 Séparation des variables pour l’équation de Helmholtz
3.2.2 Première construction de la fonction caractéristique et de la fonction de Weyl-Titchmarsh
3.2.3 Lien entre les coefficients de diffusion et les fonctions caractéristique et de Weyl-Titchmarsh
3.2.4 Deuxième construction des fonctions caractéristique et de WeylTitchmarsh
3.2.5 Troisième construction des fonctions caractéristique et de WeylTitchmarsh et application
3.3 Problème inverse à énergie fixée pour les équations angulaires
3.3.1 Première réduction et premier résultat d’unicité
3.3.2 Fin du problème inverse pour la partie angulaire
3.4 Problème inverse à énergie fixée pour l’équation radiale
3.4.1 Complexification des moments angulaires
3.4.2 Problème inverse pour la partie radiale
3.5 Résolution du problème inverse
3.6 Appendices
3.6.1 Preuve de la Proposition 3.1.17
3.6.2 Preuve du Lemme 3.4.6
3.6.3 Preuve du Lemme 3.4.8
Conclusion
Bibliographie
