Problème inverse de reconstruction de l’évolution temporelle d’une force d’impact

Problème inverse de localisation du point d’impact 

Le problème de localisation est en général formulé comme un problème inverse non linéaire. Il est en ce sens plus difficile à résoudre que le problème inverse de reconstruction, comme en témoigne le faible nombre de techniques générales qui existent pour le traiter. Avant de présenter ces techniques, commençons par décrire les différentes régions que l’on peut observer dans une réponse vibratoire consécutive à un impact pour une structure LTI initialement au repos.

Un impact génère tout d’abord des ondes élastiques qui se propagent vers les frontières de la structure. Suivant les propriétés du milieu de propagation et sa géométrie, ces ondes élastiques peuvent se disperser, se réfléchir et s’interférer de façon plus ou moins complexe [Doyle 1989]. Si l’énergie de l’impact est suffisamment élevée, mais assez faible pour considérer un comportement linéaire élastique, alors ces ondes se réfléchissent aux frontières de la structure pour se superposer en modes de vibration. Du fait des divers types d’amortissement liés aux frottements internes au sein du matériau ou aux conditions aux limites, la réponse modale se caractérise par un régime d’oscillations amorties. Au final, une réponse vibratoire consécutive à un impact se divise typiquement en trois régions :

(I) La région de repos (t < tprop),

(II) La région dominée par la propagation des ondes élastiques (tprop ≤ t < tmodes),

(III) La région dominée par les modes de vibration (t ≥ tmodes).

Techniques de triangulation 

Une première approche pour localiser l’impact est d’utiliser la frontière entre les régions (I) et (II), en utilisant les temps d’arrivée de certains types d’ondes aux différents capteurs placés sur la structure. Les décalages temporels sont ensuite convertis en distances à partir d’un modèle de vitesse de propagation de ces ondes. [Doyle 1989] présente des modèles de propagation d’ondes de flexion pour des structures homogènes isotropes 1D et 2D. [Su and Ye 2009] s’intéressent aux milieux anisotropes 2D et établissent les modèles de propagation des ondes de Lamb. Ces ondes se propagent dans une plaque solide à surfaces libres. Ils mettent en évidence l’importance du produit fréquence-épaisseur f.h sur la vitesse de propagation d’une onde de Lamb de fréquence f dans une plaque composite d’épaisseur h. En particulier, ils montrent que pour f.h < 1000 [Hz.m] seuls les modes fondamentaux antisymétrique A0 et symétrique S0 se propagent. Les modes d’ordre supérieurs ne se propagent que lorsque le produit fréquence épaisseur est supérieur à 1000 [Hz.m]. Pour un impact transverse d’énergie suffisamment faible, ils remarquent que i) le contenu spectral de la force d’impact n’excite pas les modes d’ordres élevés et que ii) le mode fondamental antisymétrique A0 domine le mode fondamental symétrique S0. Il s’ensuit que la détection du mode A0 est particulièrement adaptée pour identifier la frontière (I)-(II) dans le cas d’un impact transverse basse énergie. Le principal avantage de ces techniques est qu’elles ne dépendent pas des conditions aux limites de la structure – les ondes ne se sont pas encore réfléchies aux frontières – mais seulement des propriétés mécaniques du milieu entre les capteurs. Un autre avantage considérable est que tout impact génère des ondes élastiques alors qu’il doit être d’énergie suffisamment élevée pour que la structure vibre et que la région (III) soit significative pour être utilisée dans une méthode de localisation. Ces techniques nécessitent des capteurs à fréquence d’échantillonnage élevée pour détecter les passages des ondes élastiques, les vitesses de propagation étant de l’ordre du km/s, et un modèle de propagation qui peut être difficile à établir si le milieu est complexe.

La première étape pour effectuer une triangulation est donc d’estimer précisément les temps d’arrivée des ondes aux différents capteurs (Time Of Arrival – TOA). D’après [Park et al. 2009] il existe principalement trois approches : le dépassement d’un seuil, l’identification du pic principal et l’identification d’un double pic. Une estimation trop grossière des TOA se traduit par une grande incertitude sur la localisation de l’impact puisqu’ils sont multipliés par la vitesse de propagation des ondes qui est de l’ordre du km/s. L’estimation des TOA devient problématique dès lors que les signaux mesurés sont bruités par l’environnement de la structure et que le ratio signal/bruit est faible. Plusieurs techniques de filtrage des mesures peuvent être utilisées pour lisser leurs variations. Une fois les TOA identifiés aux différents capteurs, une triangulation à partir d’un modèle de vitesse de propagation peut être utilisée pour localiser l’impact.

Ce type de méthodes a été développé pour des structures relativement simples de type poutre et plaque, métallique ou composite. [Ahmari and Yang 2013] localisent numériquement des impacts appliqués sur une plaque métallique simplement supportée sur ses bords. Ils identifient les TOA sur 12 points de mesure virtuels par une technique de dépassement de seuil, puis ils utilisent un modèle de propagation d’ondes de flexion dans les plaques pour localiser l’impact. Les auteurs ajoutent du bruit sur les mesures numériques afin de valider la robustesse de leur procédure. [Zhao et al. 2017] détectent le passage des ondes Lamb A0 dans une plaque composite carrée encastrée sur ses coins équipée de 4 jauges de déformation avec une fréquence d’échantillonnage de 1MHz. Ils utilisent une technique de transformée en ondelettes pour identifier les TOA. Le problème de triangulation est formulé par un système d’équations non-linéaires dépendant des angles de propagation. Ils proposent de le résoudre numériquement à l’aide d’un algorithme mixant l’approche par essaim de particules (Particle Swarm Optimization – PSO) et l’approche génétique (Genetic Algorithm – GA). [Frieden et al. 2012] s’affranchissent d’un modèle de propagation dépendant de l’angle de propagation en entrainant un réseau de capteurs à localiser des impacts à partir d’un jeu de données de référence. La structure étudiée est une plaque composite rectangulaire encastrée sur deux bords opposés. Les données de référence sont obtenues expérimentalement en appliquant des impacts sur une grille de points et en enregistrant les TOA aux différents capteurs ainsi que les coordonnées du point d’impact associé. Lorsqu’un impact est appliqué, ce jeu de données permet de déterminer des lignes d’iso-propagation par paires de capteurs. Les intersections de ces lignes, ou à défaut le barycentre des points d’intersection, permettent de localiser l’impact. Ils valident leur technique avec i) 4 accéléromètres ayant une fréquence d’échantillonnage de 1MHz et ii) 4 capteurs FBG avec une fréquence d’échantillonnage de 1GHz. L’utilisation des capteurs FBG semble nécessiter moins de points de référence dans le jeu de données initial. [Ruiz et al. 2013] utilisent une méthode statistique de validation croisée pour localiser des impacts appliqués sur une aile d’avion à partir de 9 capteurs piezo-céramique mesurant des déformations. Ils utilisent un jeu de données constitué de 574 impacts de référence permettant de déterminer le point d’impact. [Zhong et al. 2016] utilisent un réseau de neurones, entraînés sur un jeu de 200 impacts de référence, pour simultanément localiser et estimer l’énergie des impacts appliqués sur un panneau composite raidi. La structure est équipée de 10 capteurs PZT disposés en étoile effectuant des mesures avec une fréquence d’échantillonnage de 2MHz.

Techniques de balayage

Les techniques de balayage ont été développées pour éviter d’utiliser ces techniques de triangulation qui nécessitent d’une part un modèle de propagation d’onde, et d’autre part un réseau dense de capteurs à fréquence d’échantillonnage élevée. L’approche par balayage consiste à résoudre un problème de reconstruction des données sur une grille de points d’impact possibles. Le candidat qui minimise un certain écart prédictions-mesures est retenu comme étant le point d’impact. Plutôt que de chercher à résoudre directement un problème inverse non linéaire, on résout plusieurs fois un problème de reconstruction des données en supposant que l’impact a eu lieu sur un des points de la grille. Cela permet notamment d’utiliser une plus grande partie de la réponse vibratoire avec une fréquence d’échantillonnage plus petite, la région (III) étant dominée par un contenu fréquentiel de plus basse fréquence.

Li and Lu 2016] identifient simultanément le point d’impact et l’évolution temporelle de la force appliquée sur une poutre encatrée-libre équipée de deux accéléromètres. Ils résolvent le problème de reconstruction de la force d’impact sur une grille de points régulièrements espacés avec la méthode de Tikhonov associée à la méthode la courbe en L. Le point qui minimise la distance quadratique entre les prédictions et les mesures est choisi comme étant le point d’impact. [Vladislav et al. 2012] valident numériquement la même technique de balayage sur un modèle éléments finis de panneau homogène troué. La grille de candidats correspond au maillage de la structure. Une technique d’interpolation leur permet d’affiner la précision de localisation. [El-Bakari et al. 2014] utilisent un algorithme PSO pour automatiquement sélectionner les points d’intérêt de résolution du problème de localisation. Ils développent une technique qui s’affranchit du problème de reconstruction de l’excitation en tirant avantage du principe de réciprocité de Maxwell-Betti. Ils appliquent numériquement leur technique sur une poutre simplement supportée, virtuellement équipée de 3 capteurs mesurant des déplacements, et soumise à une distribution de pression.

Table des matières

Introduction
1 Etat de l’art
1.1 Généralités sur les problèmes inverses
1.2 Problème inverse de reconstruction de l’évolution temporelle d’une force d’impact
1.2.1 Troncature de la décomposition en valeurs singulières – TSVD
1.2.2 Régularisation de Tikhonov
1.2.3 Filtre de Wiener
1.2.4 Régularisation par contrôle de dimension
1.2.5 Bilan sur les méthodes de reconstruction
1.3 Problème inverse de localisation du point d’impact
1.3.1 Techniques de triangulation
1.3.2 Techniques de balayage
1.3.3 Identification des participations modales
2 Etude sur la possibilité d’identifier un impact à partir de la réponse libre d’une structure à N degrés de liberté
2.1 Images de l’évolution temporelle d’une excitation et de son point d’application dans la réponse vibratoire
2.2 Développement d’une méthode de localisation d’une excitation et d’estimation de son intensité à partir du VPMA
2.3 Mise en évidence de l’impossibilité de reconstruire une force d’impact quelconque à partir de la réponse libre
2.4 Considérations sur l’estimation de l’instant d’impact
2.5 Bilan sur la possibilité d’identifier un impact à partir de la réponse vibratoire mesurée en un point
3 Développement d’une méthode de localisation d’une excitation et d’estimation de son intensité à partir du VPMA tronqué
3.1 Mise en évidence du phénomène de signature vibratoire du point d’application d’une excitation
3.2 Hypothèse d’existence d’une famille de modes discriminants pour réduire la dimension du problème de localisation d’une excitation et d’estimation de son intensité
3.2.1 Projection du modèle de réponse sur une famille de modes de vibration connus
3.2.2 Définition d’une FMD par la propriété d’intersection des lignes de vibration au point d’application d’une excitation arbitraire
3.2.3 Nombre minimum de modes formant une FMD d’une structure continue suivant la dimension de son paramétrage géométrique
3.2.4 Caractérisation géométrique de la matrice modale tronquée sur une FMD
3.3 Développement d’une méthode de localisation d’une excitation et d’estimation de son intensité à partir d’une estimation du VPMA tronqué sur une FMD
3.3.1 Introduction d’une tolérance de colinéarité
3.3.2 Noyau du problème de localisation à ϵ près
3.3.3 Noyau du problème d’estimation de l’intensité à r% près
3.3.4 Domaine admissible de l’erreur d’estimation commise sur le VPMA tronqué
3.3.5 Choix pratique de la tolérance de colinéarité
3.4 Procédure de recherche d’une FMD
3.4.1 Méthode graphique de caractérisation d’un couple de modes discriminants pour une structure 1D
3.4.2 Méthode numérique d’extraction d’une FMD à partir de modes de vibration connus d’une structure complexe
3.5 Bilan sur la procédure d’identification d’une excitation à partir du VPMA tronqué sur une FMD
4 Détermination de conditions pour l’identification robuste et précise d’un Dirac à partir de mesures vibratoires en un point
Conclusion

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