Problème de Darcy couplé avec l’équation de la chaleur

Équations de Darcy

Le fluide est un corps dont les molécules ont peu d’adhésion et peuvent glisser librement les unes sur les autres (liquides) ou se déplacer indépendamment les unes des autres (gaz), de façon que le corps prenne la forme du vase qui le contient. Un fluide compressible est un fluide dont le volume peut varier, par exemple : les gaz (air, gaz intestinaux…). Un fluide incompressible est un fluide dont le volume ne peut presque pas varier, par exemple : les liquides et les fluides corporels (sang, urine,…). La mécanique des fluides est l’étude du comportement des fluides (liquides et gaz) et des forces internes associées.

La loi expérimentale de Darcy (ou loi de Darcy) est une loi physique qui exprime le débit d’un fluide incompressible filtrant au travers d’un milieu poreux. La viscosité du fluide détermine sa vitesse du mouvement (par exemple, la vitesse de déplacement d’une cuillère dans un bol : plus le liquide est visqueux, plus le mouvement est lent). Cette loi a été établie en 1856 par Henry Darcy, après qu’il eut réalisé divers expérimentations visant à déterminer les lois régissant «l’écoulement de l’eau à travers le sable ». La loi de Darcy est aujourd’hui constamment utilisée dans des domaines à enjeux forts pour la sécurité des travaux publics (transport, construction…), ainsi que pour l’alimentation en eau, en gaz et en pétrole et de nombreux domaines de la géotechnique et de l’industrie les calculs quantitatifs de l’hydraulique, des sciences du sol, de la mécanique des roches, et de la gestion des risques pour calculer des coefficients de percolation, ou de circulation horizontale ou verticale de l’eau, selon la masse, la hauteur ou la pression d’un fluide présente en surface ou dans un milieu hydrophile, selon la porosité du milieu et selon la viscosité du fluide.

La loi de Darcy peut enfin éclairer des phénomènes biologiques et processus de type biomécanique (mécanobiologie) impliquant la circulation (avec filtration ou échanges) d’un fluide (corporel ou extérieur comme l’eau) dans des tissus vivants et poreux, peu ou lentement déformables et anisotropique. C’est le cas du passage de fluides dans la partie spongieuse de l’os par exemple 49,50 ou encore du passage de l’eau dans les tissus filtrant d’une éponge vivante, qui se nourrit en filtrant l’eau dans son propre corps. Ces phénomènes intéressent aussi certains domaines des nanotechnologies ou de la biomimétique.

Travaux effectués

Les équations de Darcy non linéaires, avec viscosité dépendante de la pression, ont été introduites par K.R. Rajagopal [32] ou E.Ahusborde, M.Azaïez, F.B. Belgacem et C.Bernardi [3]. Elles sont très réalistes lorsque la pression présente de fortes variations, par exemple, induites par les conditions aux limites, et s’appliquent entre autres à la modélisation de gisements pétroliers. L’étude de la convection de la chaleur dans un milieu liquide dont le mouvement est décrit par les équations de Navier-Stokes couplées avec l’équation de la chaleur ont été l’objet de plusieurs publications (Bernardi, Métivet and Pernaud-Thomas [11] ou Deteix, Jendoubi and Yakoubi [19] ou Gaultier and Lezaun [20]). Un différent couplage du système de Darcy avec l’équation de la chaleur, où la viscosité est constante mais la force extérieur dépend de la température, a été analysé par Bernardi, Maarouf et Yacoubi [10] ou Boussinesq [12] et discrétisé par la méthode spectrale.

Etude mathémathique et numérique

Modèles et études théoriques 

L’étude théorique du problème de Darcy couplé avec l’équation de la chaleur où la viscosité ν est constante mais la force exétérieur dépend de la température a été traité par Bernardi, Maarouf et Yacoubi [10]. Dans ce travail, nous montrons l’existence de la solution, où ν dépend de la température, en utilisant la méthode de Galerkin et du point fixe de Brouwer. De plus, nous démontrons l’unicité globale, sous des conditions supplémentaires sur la solution, en utilisant la méthode de Stampacchia. Nous établissons deux formulations variationnelles continues. La première correspond aux espaces H0(div, Ω) × L20 (Ω) en vitesse-pression tandis que la deuxième L2 (Ω)d × H1 (Ω) ∩ L2 0 (Ω) en vitesse-pression et H10 (Ω) pour la température

Méthode des Éléments finis

Nous utilisons la méthode des éléments finis pour la discrétisation en espace de l’équation de Darcy couplée avec l’équation de la chaleur. Elle est l’une des nombreuses techniques utilisées pour la discrétisation des équations aux dérivées partielles modélisant des problèmes de la mécanique, de la physique, de la biologie, etc. Les méthodes des éléments finis ont fait l’objet d’un grand nombre de publications. Elles sont utilisées tant par des ingénieurs que par des mathématiciens dans des domaines extrêmement variés. Les ingénieurs ont réinventé indépendamment la méthode dans les années 50, après avoir été conçue par R. Courant en 1943 mais l’importance de cette contribution est passée inaperçue à cette époque : les premières références généralement citées dans la littérature sont celles d’Argyris (1954 − 1955), Turner, Clough, Martin and Topp (1956). Le nom de la méthode a été proposé par Clough (1960). Nous trouvons chez Oden [29], Zienkiewicz [39] et dans l’article de l’introduction de J.T. Oden [30] l’historique sur le développement de cette méthode du point de vue des ingénieurs. Nous utilisons dans cette thèse, d’une part les éléments RT0/P1 en vitesse-pression (l’élément de « Raviart-Thomas ») et d’autre part les éléments P1 + bulle/P1 en vitesse-pression (le « mini-élément ») et P1 en température. Le choix du mini-élément est dû au fait que l’élément fini P1/P1 ne satisfait pas la condition inf-sup discrète car l’espace de la vitesse n’est pas assez riche (ou l’espace de la pression est trop riche). L’idée du mini-élément est d’ajouter un degré de liberté à l’intérieur de chaque élément K de la triangulation τh, pour chaque composante de la vitesse. La condition inf-sup, qui est une condition de compatibilité entre les espaces discrets de l’élément fini de la vitesse et de la pression, est alors vérifiée.

Table des matières

Introduction
1 Équations de Darcy
1.1 Introduction
1.2 Travaux effectués
1.3 Problème de Darcy couplé avec l’équation de la chaleur
2 Etude mathémathique et numérique
2.1 Modèles et études théoriques
2.2 Méthode des Éléments finis
2.3 Résultats obtenus
2.4 Difficultées rencontrées
3 Plan de la thèse
Chapitre 1 Problème de Darcy couplé avec l’équation de la chaleur
1.1 Problème continu
1.1.1 Présentation du problème
1.1.2 Notations
1.1.3 Rappels
1.1.4 Formule de Green et quelques résultats
1.1.5 Formulation variationnelle
1.1.6 Existence et unicité de la solution exacte
1.1.6.1 Première formulation variationnelle continue
1.1.6.2 Deuxième formulation variationnelle continue
1.1.7 Régularité de la solution
1.2 Problème discret
1.2.1 Triangulation
1.2.1.1 Première formulation variationnelle discrète
1.2.1.2 Deuxième et troisième formulations variationnelles discrètes
1.2.1.3 Quatrième formulation variationnelle discrète
1.2.2 Existence et unicité de la solution discrète de chaque schéma
1.2.2.1 Première formulation variationnelle discrète
1.2.2.2 Troisième formulation variationnelle discrète
1.2.2.3 Quatrième formulation variationnelle discrète
1.2.3 Convergence vers la solution continue
1.2.3.1 Première formulation variationnelle discrète
1.2.3.2 Troisième formulation variationnelle discrète
1.2.3.3 Quatrième formulation variationnelle discrète
1.3 Estimation d’erreur a priori
1.3.1 Première formulation variationnelle discrète
1.3.2 Troisième formulation variationnelle discrète
1.3.3 Quatrième formulation variationnelle discrète
1.4 Problème itératif
1.4.1 Existence et unicité de la solution itérative
1.4.1.1 Première formulation variationnelle itérative
1.4.1.2 Troisième formulation variationnelle itérative
1.4.1.3 Quatrième formulation variationnelle itérative
1.4.2 Convergence vers la solution continue
1.4.2.1 Première formulation variationnelle discrète
1.4.2.2 Troisième formulation variationnelle discrète
1.4.2.3 Quatrième formulation variationnelle discrète
1.4.3 Convergence vers la solution discrète
1.4.3.1 Première formulation variationnelle discrète
1.4.3.2 Troisième formulation variationnelle discrète
1.4.3.3 Quatrième formulation variationnelle discrète
1.5 Simulations numériques
Chapitre 2 Etude a posteriori du problème de Darcy couplé avec l’équation de la chaleur
2.1 Estimation d’erreur a posteriori
2.1.1 Majorations d’erreur
2.1.1.1 Première formulation variationnelle
2.1.1.2 Troisième formulation variationnelle
2.1.1.3 Quatrième formulation variationnelle
2.1.2 Efficacité
2.1.2.1 Première formulation variationnelle
2.1.2.2 Troisième formulation variationnelle
2.2 Simulations numériques a posteriori
Conclusions

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