Rappel sur le développement en série de Fourier

Table des matières

Partie théorique
1 TRANSFORMATION DE FOURIER
1.1 Introduction
1.1.1 Rappel sur le développement en série de Fourier
1.1.2 Remarque
1.2 Fonction localement intégrable
1.2.1 Définition
1.2.2 Remarque
1.2.3 Proposition
1.3 L’INTEGRALE DE FOURIER
1.3.1 Remarque
1.4 FORME COMPLEXE DE L’INTEGRALE DE FOURIER
1.5 TRANSFORMEE DE FOURIER
1.5.1 Définition
1.6 Propriétés
1.6.1 Lemme (de Riemann)
1.6.2 Théorème
1.6.3 Notation
1.6.4 Théorème : (Dérivée de transformation de Fourier)
1.6.5 Théorème : [ transformée de Fourier de la dérivée]
1.7 Quelques propriétés de la transformation de Fourier
1.7.1 Linéarité
1.7.2 Transformation de Fourier de la translation
1.7.3 Transformation de Fourier de l’homothétie
1.7.4 Produit de convolution
1.8 Sinus et cosinus-transformée de Fourier
1.8.1 Définition
1.8.2 Remarque
1.9 Spectre d’amplitude et de phase de l’intégrale de Fourier
1.10 APPLICATION DE LA TRANSFORMATION DE FOURIER
1.10.1 Résolution d’équations différentielles
1.10.2 Résolution d’équation intégrale
1.11 Table : Transformée de Fourier
2 TRANSFORMATION DE LAPLACE  
2.1 La transformation de Laplace
2.1.1 Définition
2.2 Propriétés de la transformation de Laplace
2.3 Transformation inverse de Laplace
2.3.1 Théorème
2.3.2 Théorème
2.3.3 Théorème
2.3.4 Application de la transformation de Laplace : (calcul opérationnel)
2.3.4.3 Résolution des équations intégrales
2.3.5 Table : transformée de Laplace
3 Equations paraboliques  
3.1 Introduction
3.1.1 Notions fondamentales sur les E.D.P
3.2 Equation de la chaleur
3.2.1 Quelques définitions
3.2.2 Etablissement de l’équation de chaleur
3.3 Le problème de Cauchy relatif à l’équation de la chaleur
3.3.1 Théorème
3.4 Propagation de la chaleur dans une tige de longueur finie
3.5 Méthode de séparation de variables pour l’équation de la chaleur
3.6 Solution à l’aide de transformation de Fourier
3.7 Solution à l’aide de transformation de Laplace
Partie pratique
4 Approximation numérique des EDP paraboliques
4.1 Introduction
4.2 Les différences finies
4.2.1 Principe- ordre de précision
4.2.2 Notation
4.2.3 Schéma d’ordre supérieur
4.2.4 Dérivée d’ordre supérieur
4.2.5 Notation indicielle
4.3 Discrétisation de l’équation de la chaleur 1D
4.3.1 Schéma d’Euler explicite
4.3.2 Schéma d’Euler implicite
4.3.3 ?-schéma pour l’équation de la chaleur
4.4 Exemple d’application
4.4.1 Programmation de la solution analytique
4.4.2 Programmation de la solution
4.4.3 Comparaison des méthodes:
Conclusion  
Références