Orbites hermitiennes symétriques

Table des matières

1 Quotients kahleriens et hyperkahleriens dans le cadre banachique
1.1 Introduction 
1.2 Généralités sur les quotients kahlériens et hyperkahlériens dans le cadre banachique
1.2.1 Quotient kahlérien
1.2.2 La variété stable
1.2.3 Potentiel kahlerien sur le quotient
1.2.4 Exemple de la variete des p-plans (p < +∞)
1.2.5 Quotient hyperkahlerien
1.2.6 Exemple de l’espace cotangent de la variete des p-plans (p < +∞)
1.3 La Grassmannienne restreinte comme quotient kahlerien
1.3.1 Introduction
1.3.2 Actions de groupes
1.3.3 Le quotient kahlerien
1.3.4 Bases de Schauder
1.3.5 La variété stable Ms
1.3.6 Potentiel kahlerien de la grassmanienne restreinte
1.4 Structure hyperkahlerienne du cotangent de la Grassmanienne restreinte et de la complexification de la Grassmannienne restreinte
1.4.1 Introduction
1.4.2 La structure hyperkahlerienne de TMk
1.4.3 Les trois applications moments
1.4.4 La surface de niveau Wk
1.4.5 La reduction hyperkahlerienne
1.4.6 L’identification de la variete complexe Ws1 /GC avec l’espace cotangent de Gr0
1.4.7 Calcul du potentiel kahlerien associe a la structure complexe I1
1.4.8 L’identification de la vari´et´e complexe Ws3 k /GC avec l’orbite complexifiee de Gr0
1.4.9 Calcul du potentiel kahlerien K3 associe a la structure complexe I3
2 Orbites coadjointes affines des L∗-groupes 
2.1 Introduction
2.2 L∗-groupes et L∗-algebres 
2.2.1 Definitions, proprietes et exemples .
2.2.2 Systemes de racines des L∗-algebres complexes
2.2.3 Classification des L∗-algebres simples
2.3 Orbites coadjointes affines 
2.3.1 Generalites sur les orbites coadjointes affines
2.3.2 Orbites kahleriennes des L∗-groupes simples de type compact
2.4 Orbites hermitiennes symetriques
2.4.1 Introduction
2.4.2 Classification des orbites coadjointes affines hermitiennes symetriques irreductibles de type compact
2.4.3 Description des orbites coadjointes affines hermitiennes symetriques de type compact et de leurs injections dans une grassmannienn
2.4.4 Sous-algebres abeliennes maximales et racines fortement orthogonales
2.5 Theoreme de Mostow
2.5.1 Introduction
2.5.2 La variete P des operateurs auto-adjoints d´efinis positifs de Gl2(H)
2.5.3 Sous-espaces totalement geodesiques de P
2.5.4 Projection orthogonale de P sur un sous-espace totalement geodesique
2.5.5 Preuve du theoreme de Mostow pour Gl2(H)
2.5.6 Theoreme de Mostow pour un L∗ -groupe semi-simple
2.6 Structure hyperkahlerienne de l’orbite complexifi´ee OC D d’une orbite coadjointe affine hermitienne sym´etrique OD d’un L ∗  groupe semi-simple de type compact et de T 0OD 
2.6.1 Fibration de l’orbite complexifi´ee au-dessus de l’orbite de type compact
2.6.2 Structure hyperk¨ahl´erienne de l’orbite complexifiee
2.6.3 Identification de l’orbite complexifi´ee avec l’espace tangent de l’orbite de type compact
2.6.4 Expression de la m´etrique hyperk¨ahl´erienne de l’espace
tangent de l’orbite de type compact
A Structures geometriques sur les varietes banachiques
A.1 Geometrie differentielle dans le cadre banachique
A.1.1 Differentielle d’une application entre deux espaces de Banach
A.1.2 Varietes banachiques
A.1.3 Morphismes de varietes, espace tangent et application tangente
A.1.4 Les briques de la theorie
A.1.5 Sous-varietes banachiques
A.1.6 Groupes de Lie et algebres de Lie banachiques
A.1.7 Fibres vectoriels et fibres principaux
A.1.8 Champs de vecteurs
A.1.9 Formes differentielles
A.1.10 Calcul de Lie
A.1.11 Le theoreme de Frobenius
A.1.12 Connexions
A.2 Variet´es banachiques riemanniennes
A.2.1 Definition et exemples
A.2.2 Connexion de Levi-Civita
A.2.3 Geodesiques
A.3 Varietes banachiques symplectiques
A.3.1 Definitions et exemples
A.3.2 La structure symplectique canonique d’un cotangent
A.3.3 La structure symplectique canonique d’une orbite coadjointe
A.3.4 Exemples de Gr(p) et Grres
A.3.5 Le Theoreme de Darboux
A.3.6 Application moment
A.4 Varietes banachiques presque-complexes
A.4.1 Definitions
A.4.2 Le Theoreme de Newlander-Nirenberg
A.4.3 Fonctions analytiques et holomorphes sur un espace de Banach
A.4.4 La connexion de Chern
A.5 Varietes banachiques kahleriennes
A.5.1 Definitions et exemples
A.5.2 Potentiel kahlerien
A.6 Varietes banachiques hyperkahleriennes
A.6.1 Definitions et exemples
A.6.2 Potentiel hyperkahlerien
B Geometrie des espaces homogenes
B.1 Definitions
B.2 Connexion homogene
B.3 Exemples