Prise en compte des caractéristiques thermiques et géométriques des parois 

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Convection thermosolutale avec effet Soret

De Groot [46] a étudié la séparation thermogravitationnelle dans un mélange liquide. Il a utilisé pour cela un dispositif constitué de deux plaques verticales et parallèles qui sont portées à des températures différentes. Au sommet et à la base de l’appareil se trouvent deux réservoirs qui sont en communication libre avec l’espace entre les deux plaques. Pour étudier ce problème théoriquement, De Groot a suivi la même démarche utilisée dans la théorie de Furry, Jones et Onsager [FJO] mais en remplaçant (1 − C) par 1 dans C(1 − C). Il a obtenu dans ce cas les expressions des concentrations dans les deux réservoirs. Il a ensuite étudié l’influence de l’écartement entre les deux plaques, de la hauteur des deux plaques, et de l’inclinaison des deux plaques sur le rapport des concentrations en haut et en bas de la colonne.
Après la découverte de l’effet thermogravitationnel, de nombreuses modifications ont été ap-portées à l’appareil originel de Clusius et Dickel pour améliorer la séparation des constituants à travers le couplage thermodiffusion-convection, et en particulier pour obtenir la meilleure adé-quation entre le temps de diffusion thermique et le temps convectif. Ainsi en 1959, Lorenz et Emery [75, 57] ont proposé d’introduire un garnissage poreux dans la colonne de thermogra-vitation. L’objectif était de s’affranchir de la réalisation de cellule expérimentale nécessitant un très faible écartement entre plaques pour obtenir une séparation optimale. Ainsi dans une colonne avec un grand espacement entre les deux plaques, remplie d’un garnissage poreux, la vitesse du fluide est du même ordre que dans une colonne avec un faible espacement.
La convection naturelle dans une cavité poreuse rectangulaire différentiellement chauffée, remplie par un mélange binaire avec prise en compte de l’effet Soret, a été étudiée analytiquement et numériquement par Bahloul et al. [8]. L’approximation de l’écoulement parallèle a été utilisée pour examiner l’influence des paramètres du problème sur la convection d’amplitude finie dans une cavité poreuse. En l’absence d’un gradient thermique horizontal, des diagrammes de bifur-cation typiques ont été obtenus tant pour des liquides purs que pour des mélanges binaires avec effet Soret. Pour un facteur de séparation, ψ > 0, la bifurcation est supercritique. Le nombre de Rayleigh supercritique dépend du facteur de séparation et du nombre de Lewis. Toutefois, pour ψ < 0, la bifurcation est sous-critique. L’imperfection apportée par un gradient horizontal de température à la bifurcation a été examinée. Pour ψ > 0, les résultats analytiques et numériques indiquent l’existence d’écoulements ’naturels’ et ’antinaturels’. Numériquement, l’écoulement ’naturel’ peut être obtenu en commençant la simulation numérique à partir de conditions ini-tiales associées à la conduction pure. En revanche, des conditions aux limites particulières sont nécessaires pour atteindre l’écoulement dit antinaturel. Ce dernier existe seulement si le nombre de Rayleigh est au dessus d’un nombre de Rayleigh sous-critique. Pour ψ < 0, la situation est plus complexe, et il est possible d’obtenir jusqu’à cinq solutions différentes (trois stables et deux instables). Deux des solutions stables correspondent aux écoulements ’naturels’ et la troisième à un écoulement ’antinaturel’. Pour le cas particulier ψ = −1, le nombre de Rayleigh supercritique associé à l’apparition de la convection est obtenu à partir de l’étude de stabilité linéaire.
Mojtabi et al. [90] ont montré que les vibrations peuvent augmenter ou réduire les transferts de chaleur et de masse ou peuvent retarder ou accélérer l’apparition de la convection. Charrier Mojtabi et al. [32] et Elhajjar et al. [56] ont étudié l’influence des directions des vibrations sur le seuil de stabilité dans une couche infinie d’un fluide binaire, chauffée par le haut ou par le bas. Ils ont conclu que les vibrations verticales ont un effet stabilisant alors que les vibrations horizontales ont un effet déstabilisant sur l’apparition de la convection.
La modélisation de la thermogravitation nécessite la connaissance du coefficient Soret. Plu-sieurs auteurs ont proposé des méthodes de mesure du coefficient Soret. Ecenarro et al. [52] se sont basés sur la théorie développée dans Ecenarro et al. [51] pour mesurer le coefficient Soret. Ainsi en mesurant la séparation à différents instants durant l’expérience et à l’état stationnaire, ils ont pu trouver les coefficients de diffusion massique et de thermodiffusion pour 5 mélanges binaires différents. Plus récemment, Haugen et al. [62] ont utilisé une méthode similaire pour mesurer les coefficients de thermodiffusion.
Narayana et al. [93] ont fait une analyse de stabilité linéaire de la convection thermosolutale in-duite par l’effet Soret dans une couche poreuse horizontale soumise à des gradients thermiques et solutaux inclinés d’amplitude finie. Les composantes horizontales de ces gradients induisent une circulation de Hadley, qui devient instable lorsque les composantes verticales de ces gra-dients sont suffisamment grandes. Ils ont observé qu’en l’absence de gradients horizontaux, le paramètre Soret joue un double rôle sur les modes non-oscillants en ce qui concerne le nombre de Rayleigh vertical solutal dans le milieu alors que le paramètre Soret a toujours montré un effet déstabilisant sur ces modes. Une observation similaire est faite lorsque les gradients ther-miques horizontaux sont absents et que les gradients solutaux horizontaux sont présents. En l’absence de nombres de Rayleigh thermiques horizontaux et solutaux, ils ont observé que les valeurs critiques du nombre de Rayleigh thermique vertical diminuent avec le nombre de Ray-leigh vertical solutal alors que cette valeur augmente avec le paramètre Soret.
Bou-Ali et al. [19] ont construit une colonne de thermogravitation (TGC) pour mesurer les coefficients Soret pour différents mélanges. Bou-Ali et al. [20] ont observé que la situation où le constituant le plus lourd se trouve en haut de la colonne verticale et le plus léger en bas peut rester stable si le nombre de Grashof est suffisamment grand.
Charrier Mojtabi et al. [30] ont étudié analytiquement et numériquement la naissance de la convection thermosolutale avec prise en compte de l’effet Soret, dans une couche mince hori-zontale poreuse remplie d’un mélange binaire et soumise à un flux de chaleur vertical sur ces deux parois horizontales. Les auteurs ont fait une comparaison avec la séparation obtenue dans des colonnes verticales différentiellement chauffées. Les auteurs ont montré que même si la valeur maximale de la séparation est la même pour les deux configurations, l’utilisation de cel-lules horizontales permet d’obtenir une plus grande quantité de produit séparée. Le maximum de séparation est obtenu en situation horizontale pour une grande valeur du nombre de Rayleigh donc une épaisseur de cellule plus grande.
Costesèque et al. [44] ont choisi de mesurer le coefficient Soret en milieu poreux en milieu libre. À cet effet, pour un mélange liquide donné, ils ont mesuré expérimentalement l’évolution en fonction du temps du gradient vertical de concentration dans la même cellule de thermodif-fusion une fois avec le liquide seul, et une autre fois avec un milieu poreux saturé par le même mélange liquide. Ils ont trouvé que le coefficient Soret est quasiment le même dans les deux ex-périences. Platten et al. [104] ont démontré qu’en inclinant d’un angle θ par rapport à la verticale une colonne de thermogravitation, la quantité du produit séparée est augmentée. Une reformu-lation très simple de la théorie Furry-Jones-Onsager-Majumdar, dans laquelle ils ont remplacé l’accélération de la pesanteur g par g cos θ semble reproduire les résultats d’expériences.
Dutrieux et al. [49] ont proposé une nouvelle méthode pour mesurer le coefficient Soret. Cette méthode consiste à mesurer la vitesse de convection à l’état transitoire et à l’état stationnaire. En effet au début de l’expérience dans une cellule de thermogravitation, on a une stratification verticale du champ de concentration qui est due à la thermodiffusion pure. Cette différence de concentration contribue, avec la différence de température sur une même horizontale au niveau des deux parois verticales, à donner une différence de masse volumique relativement grande entre les voisinages des deux parois verticales et cela conduit à une vitesse relativement grande au début de l’expérience. Mais à la fin de l’expérience, on obtient presqu’une concentration constante sur une horizontale donc la différence de masse volumique entre les voisinages des deux parois verticales diminue et ensuite la vitesse diminue. En comparant la vitesse au début de l’expérience et la vitesse à l’état stationnaire, ils ont pu trouver le coefficient Soret pour différents mélanges. La principale technique utilisée pour déterminer le coefficient de thermo diffusion a été la colonne de thermogravitation. Dans Valencia et al. [128], les même auteurs ont utilisé la colonne de thermogravitation pour mesurer le coefficient de diffusion massique. Ils se sont basés pour cela sur le temps de relaxation et ont comparé l’expression théorique du temps avec les mesures expérimentales. Platten [103] a présenté une revue des différentes techniques utilisées pour la mesure du coefficient Soret.
Les conséquences liées à la présence de gradients thermiques sur le transfert de matière en mi-lieu poreux sont encore mal appréhendées, essentiellement en raison de la complexité induite par la présence de phénomènes couplés. En 2010, Davarzani [45] ont déterminé les coefficients effectifs modélisant les transferts de chaleur et de matière en milieu poreux, et en particulier le coefficient de thermodiffusion effectif. En utilisant la technique de changement d’échelle par prise de moyenne volumique, il a développé un modèle macroscopique de dispersion in-cluant la thermodiffusion. L’auteur a étudié en particulier l’influence du nombre de Peclet et de la conductivité thermique sur la thermodiffusion. Les résultats ont montré que pour de faibles valeurs de Peclet, le coefficient de Soret effectif en milieu poreux est le même que dans un milieu libre et ne dépend pas du rapport de la conductivité thermique (solide/liquide), résul-tat trouvé précédemment par Platten et Costesèque [105]. À l’inverse, en régime convectif, le coefficient de Soret effectif diminue. Dans ce cas, un changement du rapport de conductivité thermique modifie la valeur du coefficient de thermodiffusion effectif. Les résultats théoriques trouvés ont montré que, lors de la thermodiffusion pure, même si la conductivité thermique ef-fective dépend de la connectivité de la phase solide, le coefficient effectif de thermodiffusion est toujours constant et indépendant de la connectivité de la phase solide. Le modèle macrosco-pique trouvé par cette méthode a été validé par comparaison avec des simulations numériques directes à l’échelle de pores. Pour vérifier et consolider ses résultats, un dispositif expérimental a été réalisé pour mesurer les coefficients de transfert en milieu libre et en milieu poreux.
Charrier-Mojtabi et al. [31] ont présenté une étude analytique et numérique de l’influence d’un écoulement généré par des ondes ultrasons (Eckart streaming) sur la séparation des espèces d’un mélange binaire en microgravité. Les auteurs ont montré que l’écoulement monocellulaire induit par « acoustic streaming » peut conduire, dans certaines conditions , à une séparation no-table des espèces. Ils ont montré également que l’écoulement monocellulaire perd sa stabilité via une bifurcation de Hopf pour toutes les valeurs du rapport d’aspect normalisé du faisceau acoustique, sauf pour la valeur 0 5 où la bifurcation est stationnaire. Elle est caractérisée par le paramètre acoustique critique Ac = 148351 8 et le nombre d’onde critique kc = 3 33.

Travaux portant sur la prise en compte de l’influence des parois

Comme nous venons de le montrer au cours de cette revue bibliographique, on peut distinguer un certain nombre d’études concernant le problème de la thermodiffusion, d’autres concernant l’effet thermogravitationnel, mais les travaux tenant compte de l’influence des parois sur la séparation des constituants d’un mélange de fluides saturant un milieu poreux sont peu nombreux. De nombreux auteurs ont examiné comment les caractéristiques des parois affectent le déclenchement de la convection dans les cavités horizontales chauffées par le bas.
Ribando et Torrance [114] ont étudié le cas d’une couche horizontale soumise à un flux de chaleur au niveau de la paroi du bas et maintenue à une température constante sur la paroi du haut. Cette situation se produit lorsque la couche est chauffée par le bas, par exemple, par un chauffage électrique tandis que la surface supérieure est maintenue à une température uniforme grâce à un thermostat. Ils ont trouvé 27 1 et 2 29 respectivement pour le nombre de Rayleigh critique et le nombre d’onde critique. Wang [129] a également considéré le même cas et a obtenu une valeur plus précise, Rac = 27 096. Résultats très différents de Rac = 4π2 et kc = π obtenus pour l’équivalent du problème de Rayleigh-Benard en milieux poreux.
Busse et Riahi [27] et Proctor [109] ont étudié la convection thermique dans une couche fluide dans le cas où les frontières de la couche sont moins conductrices que le fluide. Ils ont montré que si le flux de chaleur par conduction à travers la couche n’est pas trop grand, l’échelle horizontale du mouvement est beaucoup plus grande que la hauteur de la couche.
Jenkins et Proctor [65] ont considéré la convection thermique d’amplitude finie tridimension-nelle dans une couche fluide avec des frontières de conductivité finie. Ils ont déterminé la valeur du rapport de la conductivité thermique, d = λ1λ (λ et λ1 sont respectivement les conductivi-tés thermiques du fluide et de la parois λ1) à laquelle le mode préféré de convection passe des cellules de forme carrée (faibles rapports de conductivités thermiques) à des cellules en rou-leaux (des rapports de conductivités thermiques tendant vers l’infini). Les auteurs ont montré que le rapport de conductivité pour lequel le passage se produit dépend fortement du nombre de Prandtl, P r. Pour des valeurs élevées du nombre de Prandtl, la transition se produit lorsque les conductivités du fluide et de la parois sont du même ordre de grandeur, alors que pour de faible nombre de Prandtl, la valeur critique du rapport de conductivité thermique dc ≈ P r4 sauf lorsque les parois sont très épaisses, dans ce cas dc ≈ P r3.
Riley et Winters [115] ont utilisé la théorie de la bifurcation et les interactions modales pour les couches poreuses saturées chauffées par le bas, par analogie avec le problème classique de Rayleigh-Benard. Deux aspects particuliers du problème ont porté sur l’existence de solutions stationnaires multiples et l’influence du rapport d’aspect. Ils se sont intéressés initialement à la stabilité linéaire pour différents rapports d’aspect fixés. Ils ont montré l’existence d’un ensemble infiniment grand de modes propres.

Contenu du manuscrit

Si la séparation thermogravitationnelle a fait l’objet de nombreux travaux durant ces dernières décennies, de nombreuses études seraient encore nécessaires pour comprendre tous les aspects de ce phénomène. Notre objectif dans ce travail est d’étudier, tout en tenant compte du transfert thermique au niveau des parois, la séparation thermogravitationnelle des constituants d’un fluide binaire.
Pour illustrer notre étude, nous allons considérer dans un premier temps un mélange binaire eau-éthanol déjà utilisé par Platten et al. [104]. Il s’agit d’un mélange eau-éthanol à 60 88 % en masse d’eau pour un facteur de séparation, ψ = 0 2, un nombre de Lewis, Le = 232. La température moyenne du mélange est de 22 5◦C, à cette température les propriétés du mélange sont données dans le tableau (1.2). La cavité est remplie avec un milieu poreux de porosité normalisée, ǫ = 0 5, composé de billes de verre. Nous considérerons aussi un mélange gazeux avec un nombre de Lewis, Le = 5. Les propriétés thermophysiques de l’eau et de différents solides pour une température de 20◦C sont données dans le tableau (1.3).

Équation de conservation de la masse

La masse contenue dans le volume de contrôle masse par unité de volume), est donnée par :
D, où ρ désigne la masse volumique locale (i.e. m = ρ X t dV (2.5)
Dans le cas où, il n’y a ni création, ni disparition de matière dans D au cours de son mouvement et ce quel que soit le volume considéré, on peut donc écrire : ρ X t dV = 0 dt Dd (2.6)
En appliquant successivement (2.3) et (2.4) à l’équation précédente, on obtient l’équation locale suivante : ∂ρ +∇· ρV =0 (2.7).
Cette équation traduit la conservation de la masse au cours du temps dans le volume de contrôle D. Cette équation est également appelée : équation de continuité.
On peut encore simplifier cette équation en remarquant que pour les fluides incompressibles la masse volumique de chaque particule fluide reste constante, au cours du temps, lorsque l’on suit cette particule fluide dans son mouvement. L’équation de continuité (2.7) peut alors se simplifier et s’écrire de la façon suivante pour un fluide incompressible : ∇·V =0 (2.8).

Approximation de Boussinesq

L’approximation que nous allons reprendre, attribuée à Boussinesq [23], a en fait été précédem-ment proposée par Oberbeck [98] pour la première fois en 1879. Nous reprenons ici ce que l’on entend par l’approximation de Boussinesq :
– La masse volumique ρ d’un fluide (liquide, gaz, mélange liquide ou gazeux) est consi-dérée comme étant constante dans tous les termes des équations de conservation, c’est-à-dire ρ (T P ) = ρ (T0 P 0) = ρ0 = cste (T0 et P0 sont la température et la pression de référence) sauf dans le terme générateur de la convection (c’est-à-dire dans le terme de poussée d’Archimède). Dans ce terme ρ est alors une fonction de la température et de la
fraction massique : ρ (T C ) = ρ0 1 − βT (T − T0) − βk (Ck − C0k) où :
– ρ0 est la masse volumique à la température et aux fractions massiques de référence.
– T0 et C0k sont des valeurs de référence qui peuvent être des valeurs initiales ou des valeurs moyennes.
– k variant de 1 à N correspondant au nombre d’espèces en présence.
– βT est le coefficient d’expansion thermique du fluide ou mélange fluide : βT =− 1 ∂ρ ; ρ0 ∂T Ck
– βk est le coefficient d’expansion massique de l’espèce k : βk = − 1 ∂ρ ρ0 ∂C ;C j=k
– Les autres propriétés thermophysiques du fluide (µ, γ, λ, Cp) sont supposées constantes.

Modélisation des écoulements en milieu poreux

On désigne par milieu poreux un matériau constitué d’une matrice solide de forme complexe à l’intérieur duquel se trouvent des cavités interconnectées appelées pores. Dans la plupart des cas, la matrice solide est rigide (ou consolidée) mais peut, dans certains cas, être légèrement déformable.
Les pores peuvent contenir une ou plusieurs phases fluides susceptibles de s’écouler et d’échan-ger entre elles ou avec la matrice poreuse de la matière ou de l’énergie. Dans notre étude, nous nous restreindrons aux cas d’une matrice solide non déformable, totalement remplie (saturée) par une seule phase de deux fluides totalement miscibles. De plus, nous admettons l’hypothèse qu’il n’y a pas d’échange de matière entre les phases fluides et la matrice solide.
Il existe de nombreux exemples de milieux poreux naturels (figure 2.2) comme le sable (a), les sols (b – pierre), les matériaux de construction (c – chaux), les aliments (d – pain sec), le papier ou le bois (e), les tissus (f – poumon humain). Dans l’industrie, certains milieux poreux moins compacts sont fabriqués pour leurs différentes propriétés physiques. On rencontre des milieux poreux dans de nombreux secteurs industriels tels que le génie pétrolier, le génie chimique, l’hydrogéologie, la géothermie, le génie civil et le génie médical.
Dans ce qui suit, nous définirons les différents paramètres qui apparaissent au niveau des diffé-rents modèles empiriques de description macroscopique des écoulements en milieu poreux.

Paramètres caractérisant le milieu poreux

Volume élémentaire représentatif (V.E.R.)

Lorsqu’on étudie les écoulements en milieu poreux, deux échelles s’imposent pour la descrip-tion des phénomènes [16] :
– L’échelle des pores, ou microscopique, à l’intérieur de laquelle les grandeurs locales peuvent très largement varier. En général, cette échelle est associée au diamètre moyen des pores, soit dp.
– L’échelle du milieu poreux, ou macroscopique, caractéristique des variations significa-tives de ces mêmes grandeurs, définies en moyenne sur un certain volume de milieu poreux, appelé communément Volume Élémentaire Représentatif et noté V.E.R.. Cette échelle macroscopique est associée à la dimension géométrique du milieu, soit Lm.
Les grandeurs macroscopiques caractérisant le milieu poreux sont donc des moyennes des gran-deurs microscopiques correspondantes, prises sur un domaine dont la taille est grande devant l’échelle de leurs fluctuations microscopiques mais ; petite devant celle des variations à l’échelle macroscopique. Ainsi, ’l’ désignant la dimension caractéristique du V.E.R., elle doit satisfaire à la double inégalité suivante : dp ≤ l ≤ Lm. Pour effectuer le changement d’échelle (i.e. passage de l’échelle des pores à l’échelle macroscopique) plusieurs méthodes ont été proposées, dont la méthode de prise de moyenne et la méthode d’homogénéisation.

Transfert de chaleur en milieu poreux

Tout comme l’équation de Darcy décrivant l’écoulement du fluide au sein du milieu poreux, l’équation de l’énergie, traduisant le transfert de chaleur dans le milieu poreux fait appel au concept de milieu continu fictif, équivalent au milieu poreux réel.
Pour établir l’équation de transfert de chaleur, la démarche est la suivante :
– Formulation des équations microscopiques à l’échelle du pore.
– Prises de moyennes effectuées sur les équations microscopiques qui permettent le passage de l’échelle du pore à celle du milieu homogène.
Avant de formuler ces équations de description du transfert de chaleur nous précisons les hypo-thèses adoptées :
– Les termes de dissipation visqueuse sont supposés négligeables, hypothèse justifiée si les vitesses de filtration restent relativement faibles.
– Les caractéristiques thermiques des phases solide et fluide telles que les capacités calo-rifiques volumiques et les conductivités thermiques, sont supposées constantes et donc indépendantes de la température.
A l’échelle du pore, le système décrivant le transfert de chaleur est le suivant :
En tout point M du milieu poreux, à l’exception de la surface de contact entre le solide et le fluide, la loi de Fourier s’écrit : ∂ [(ρc)i Ti] + ∇ · (ρc)i TiVi = ∇ · λi∇Ti (2.33) où i = f si M appartient à la phase fluide et i = s s’il appartient à la phase solide. On a donc Vs = 0 et Vf désigne la vitesse locale du fluide à l’échelle du pore.

Convection en présence d’effet Soret, sans prise en compte des ca-ractéristiques des parois

La stabilité linéaire de la solution d’équilibre dans le cas d’un mélange binaire saturant un mi-lieu poreux, en présence d’un gradient de température et avec prise en compte de l’effet Soret, a été étudiée par Ouarzazi et Bois [100]. dans le cas particulier où le gradient de température est supposé varier périodiquement en fonction du temps. Les auteurs ont constaté que l’instabilité sous harmonique est toujours la première instabilité rencontrée. Le voisinage du point de codi-mension 2 a également été étudié dans le cas de faibles fréquences. Sovran et al. [123] ont étudié l’apparition de la convection dans une couche poreuse horizontale, saturée par un fluide binaire et avec prise en compte de l’effet Soret. Pour une cellule chauffée par le bas et selon la valeur du facteur de séparation, ils ont montré analytiquement puis numériquement que la solution perd sa stabilité via une bifurcation stationnaire ou une bifurcation de Hopf. En développant les per-turbations sous forme de puissances entières du nombre d’onde k au voisinage de k = 0, ils ont obtenu les paramètres critiques Rac = 12 (Leψ), kc = 0 pour ψ ≥ ψmono = 1 [(40 51)Le−1].
Knobloch et Moore [72] ont utilisé la théorie de la stabilité linéaire pour étudier le déclenche-ment de la convection thermosolutale induite dans une couche fluide horizontale. Les parois inférieure et supérieure de la cellule sont rigides. Ils ont envisagé deux types de conditions aux limites : des températures constantes sur les parois inférieure et supérieure ; un flux de chaleur imposé sur la paroi inférieure et une température constante sur la paroi supérieure. Les seuils et les longueurs d’ondes associés aux écoulements convectifs oscillants et stationnaires ont été déterminés en fonction du facteur de séparation. Platten et al. [104] ont étudié analytiquement et expérimentalement la naissance et le développement de la convection thermosolutale dans une cavité rectangulaire de grande extension, inclinée par rapport à la verticale d’un angle θ. Ils ont montré, pour un mélange binaire eau (60.88 wt %, ethanol 39.12 wt %) que le maximum de séparation avait lieu θ ≈ 88o, soit pour une cellule pratiquement horizontale.
Ce problème a été aussi étudié par Bourich et al. [22] en considérant non seulement une cavité poreuse horizontale, mais aussi une cavité remplie d’un fluide. Le passage entre la formulation en milieu poreux saturé par un fluide binaire et un fluide binaire, a été obtenu en utilisant le modèle de Brinkman-Hazen-Darcy dans sa forme transitoire. Les nombres de Rayleigh critiques associés au le déclenchement de la convection stationnaire et oscillatoire ont été déterminés explicitement comme fonctions des paramètres régissant le problème pour une couche infinie.
À l’apparition de l’instabilité, ils ont constaté que le nombre d’onde est égal à zéro alors que pour nos conditions aux limites le nombre d’onde est égal à zéro seulement dans une gamme particulière des valeurs du facteur de séparation. Ils ont également montré la dépendance des paramètres critiques en fonction de la porosité normalisée.
Shevtsova et al. [119] ont réalisé des simulations numériques tridimensionnelles, pour étudier la convection induite par l’effet Soret dans un cube rempli par un mélange binaire d’eau à 90% et d’isopropanol à 10%. Les mêmes auteurs, dans [120] ont étudié les instabilités qui se produisent dans ce fluide binaire avec un coefficient de Soret négatif et pour une cavité chauffée par le haut, c’est à dire thermiquement stable dans la configuration de Rayleigh-Benard.
Alonso et al. [3] se sont intéressés numériquement à l’influence du confinement de la cellule sur la naissance de la convection thermosolutale en configuration de Benard. Dans Alonso et al. [4], les auteurs ont présenté les résultats des simulations numériques directes de la convection dans des fluides binaires pour de grand rapport d’aspect de la cellule. Ils se sont intéressés à des mélanges binaires avec des valeurs de facteur de séparation négatives, pour lesquels la bifurcation primaire est sous-critique et donne naissance à une solution oscillante. Jung et Lücke [67] ont étudié par des simulations numériques directes, les structures convectives stationnaires localisées dans les mélanges de fluides binaires avec un facteur de séparation faible et négatif.
L’analyse de la stabilité linéaire et non linéaire de la convection double-diffusive, pour un fluide viscoélastique avec prise en compte de l’effet Soret dans un milieu poreux, a été étudiée par Wang et al. [130] en utilisant un modèle modifié-Maxwell-Darcy. Les auteurs ont utilisé l’ana-lyse de stabilité linéaire pour examiner comment le coefficient de Soret et le temps de relaxation du fluide viscoélastique affectent le déclenchement de la convection. Ils ont montré qu’une aug-mentation de la valeur du temps de relaxation renforce l’instabilité du système et que les effets positifs ou négatifs du coefficient Soret tendent à déstabiliser le système en cas de mode oscil-lant. À partir de l’analyse de la stabilité non linéaire, ils ont constaté que le nombre de Nusselt diminue avec l’augmentation du temps de relaxation ou avec une diminution du coefficient Soret.

Convection thermique avec prise en compte des caractéristiques des parois

Sparrow et al. [124] ont cherché à déterminer les conditions qui engendrent le déclenchement de la convection dans une couche fluide horizontale dans laquelle un gradient de température vertical descendant est maintenue au sein de la couche. Dans de tels cas, le liquide le plus dense est situé au dessus du moins dense. Les auteurs ont tenu compte d’une variété de conditions aux limites thermiques et hydrodynamiques au niveau des surfaces qui délimitent la couche fluide. Ils ont constaté que le nombre de Rayleigh conduisant à la naissance de la convection est plus grand pour les conditions aux limites isothermes et décroît de façon monotone quand on s’approche des conditions de flux de chaleur donné. Hurle et al. [63] ont formulé le problème Rayleigh-Benard en hydrodynamique dans les conditions où les parois délimitant le fluide ont une diffusivité thermique finie. Leurs calculs montrent qu’il y a une réduction importante du nombre de Rayleigh critique à la naissance de la convection. Les auteurs ont montré que leur théorie, qui revêt une importance particulière pour les métaux liquides, prévoit que le nombre de Rayleigh critique correspondant à la naissance de la convection dans une cellule de Benard avec des parois rigides diminue de 1707 762, quand les parois sont parfaitement conductrices à 720 000 lorsqu’elles ne sont pas conductrices.
Riahi [113] a considéré une configuration où une couche poreuse est prise en sandwich entre deux parois conductrices imperméables de hauteur infinie. Il a effectué une analyse de stabilité faiblement non linéaire et a constaté qu’il y a une région dans l’espace des paramètres dans laquelle les rouleaux bidimensionnels constituent la structure convective la plus attractive. La structure privilégiée est associée à des cellules carrées. Une analyse plus approfondie de ce type de problème peut être trouvée dans Mojtabi et Rees [89] et Rees et Mojtabi [112].
Mojtabi et Rees [89] ont effectué une étude analytique et numérique de la convection naturelle dans une cavité poreuse horizontale saturée par un fluide. La cavité considérée par ces auteurs est délimitée par des plaques horizontales minces avec une épaisseur uniforme dont les sur-faces extérieures sont soumises à un flux de chaleur constant. Ils ont trouvé que le critère de déclenchement de la convection dépend fortement de l’épaisseur relative des plaques et de la couche poreuse, δ, et de leurs conductivités relatives, d. D’un point de vue pratique, ces auteurs montrent qu’il est essentiel de déterminer l’effet combiné de l’épaisseur relative des plaques dé-limitant la couche poreuse, du rapport des conductivités des plaques et du milieu poreux. Dans certaines régions de l’espace des paramètres, un petit changement dans une de ces valeurs cau-serait des grands changements des paramètres critiques associés à la transition. Physiquement, ils expliquent cela par le fait que le flux de chaleur qui résulte de la présence de mouvements convectifs dans la couche poreuse peut ou pas redistribué par la conduction horizontale dans les plaques qui délimitent la couche. Rees et Mojtabi [112] ont prolongé la précédente étude. Ils ont cherché à déterminer la nature de l’écoulement convectif post-critique en fonction des épaisseurs et des conductivités des plaques délimitant la couche poreuse.
L’objectif principal de ce chapitre est de déterminer l’influence des plaques délimitant une couche poreuse horizontale saturée par un mélange binaire. Sur la nature des mouvements convectifs, une attention particulière est portée sur l’influence du rapport des conductivités ther-miques et du rapport des épaisseurs.

Table des matières

1 Introduction générale 
1.1 État de l’art
1.1.1 Convection naturelle et convection thermosolutale
1.1.2 Thermodiffusion
1.1.3 Diffusion thermogravitationnelle
1.1.4 Convection thermosolutale en milieu poreux
1.1.4.1 Convection thermosolutale sans effet Soret
1.1.4.2 Convection thermosolutale avec effet Soret
1.1.5 Travaux portant sur la prise en compte de l’influence des parois .
1.2 Contenu du manuscrit
2 Formulation mathématique 
2.1 Équations de conservation
2.1.1 Théorèmes fondamentaux
2.1.2 Équation de conservation de la masse
2.1.3 Équation de conservation de la quantité de mouvement
2.1.4 Équation de conservation de l’énergie
2.1.5 Équation de conservation des espèces
2.1.6 Approximation de Boussinesq
2.2 Modélisation des écoulements en milieu poreux
2.2.1 Paramètres caractérisant le milieu poreux
2.2.1.1 Volume élémentaire représentatif (V.E.R.)
2.2.1.2 La Porosité
2.2.1.3 La perméabilité d’un milieu poreux
2.2.2 Modèles d’écoulement en milieu poreux
2.2.2.1 Équation de continuité
2.2.2.2 Loi de Darcy
2.2.2.3 Écoulement unidirectionnel à basse vitesse
2.2.2.4 Équation de Darcy généralisée
2.2.2.5 Nombre de Reynolds de pore
2.2.3 Transfert de chaleur en milieu poreux
2.2.3.1 Les deux modes de description adoptés
2.2.4 Transfert de masse
3 Prise en compte des caractéristiques thermiques et géométriques des parois 
3.1 Introduction
3.1.1 Convection en présence d’effet Soret, sans prise en compte des caractéristiques des parois
3.1.2 Convection thermique avec prise en compte des caractéristiques des parois
3.2 Formulation mathématique
3.2.1 Formulation adimensionnelle du problème et conditions aux limites
3.2.1.1 Choix des grandeurs de référence
3.2.1.2 Système d’équations adimensionnelles
3.2.1.3 Conditions aux limites adimensionnelles
3.3 Stabilité linéaire de la solution d’équilibre
3.3.1 Stabilité linéaire de la solution d’équilibre dans le cas d’une cellule horizontale infinie
3.3.1.1 Équations de stabilité linéaire
3.3.1.2 Décomposition en modes normaux
3.3.1.3 Transition stationnaire
3.3.1.4 Cas des perturbations de très grandes longueurs d’onde
3.3.1.5 Bifurcation de Hopf
3.4 Conclusion
4 Prise en compte des caractéristiques thermophysiques des parois sur la séparation des constituants d’un mélange binaire en milieu poreux 
4.1 Introduction
4.2 Solution analytique de l’écoulement monocellulaire
4.2.1 Approximation de l’écoulement parallèle
4.2.2 Formulation mathématique du problème dans le cadre de l’écoulement parallèle
4.2.3 Détermination de la fonction de courant
4.2.4 Équations générales du profil de température et de concentration
4.2.4.1 Champs de température
4.2.4.2 Champs de concentration
4.3 Stabilité linéaire de la solution monocellulaire
4.4 Simulations numériques
4.4.1 Stabilité de la solution monocellulaire
4.5 Conclusion
5 Séparation thermodiffusionnelle des constituants d’un nanofluide à base de nanotubes de carbone 
5.1 Introduction
5.2 État de l’art sur les nanofluides
5.3 Les nanofluides à base de nanotubes de carbone
5.4 Caractéristiques thermophysiques des nanofluides
5.5 La viscosité dynamique des nanofluides
5.6 La conductivité thermique des nanofluides
5.7 Étude expérimentale en milieu fluide
5.7.1 Description de la cellule
5.7.2 La spectrométrie Raman
5.7.3 Expérience 1 : Carboxymethylcellulose + Nanotubes de Carbone (NTC) + Eau
5.7.4 Expérience 2 : N-Methyl-2-Pyrrolidone (NMP)+ Nanotubes de Carbone (NTC)
5.8 Conclusion
6 Conclusions générales et perspectives 
A Détermination des paramètres critiques (Raco, kco, ωco) de la bifurcation de Hopf par la méthode spectrale Tau pour différentes valeurs de ǫ, d, δ, Le et ψ

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