Prise en compte de l’incertitude de position des amers par élimination de quantificateurs 

Estimation de la pose d’un drone basée vision

Dans cette thèse, l’application des méthodes d’estimation que nous ferons sera effectuée à partir de drones à voilures tournantes équipés d’une caméra.
Un drone désigne donc ici un appareil aérien sans pilote et sans humain à bord, capable de s’élever et de se mouvoir en altitude, au sein de l’atmosphère terrestre. On le désigne couramment sous l’acronyme UAV, pour Unmanned Aerial Vehicle . Les drones de type VTOL (Vertical Take-Off and Landing ) sont ceux capables de décoller et d’atterrir verticalement. Ils sont très souvent utilisé dans le cadre civil ou militaire et servent principalement à étendre la vision humaine afin d’assurer l’exploration des zones à risques, comme par exemple, l’inspection d’ouvrages d’arts comme les ponts ou d’accomplir des missions diverses dans des environnement hostiles.

Estimation de pose d’un drone basée sur la vision

La centrale de mesure inertielle (IMU pour « Inertial Measurement Unit » en anglais), est le capteur embarqué permettant la mesure de la position angulaire (encore appelée attitude : roulis, tangage et lacet), de l’accélération linéaire (selon les trois axes orthogonaux) et de la vitesse angulaire (vitesse de rotation autour des trois axes orthogonaux) du drone. Sous hypothèse que le drone navigue en régime quasi-stationnaire, il est possible à partir de l’IMU d’avoir une mesure précise du roulis φ, du tangage θ et une mesure plus grossière du lacet ψ.
La hauteur z du drone (par rapport au sol) est également mesurée. Elle résulte de la fusion des données d’un altimètre barométrique et d’un télémètre à ultrasons. Enfin, la vitesse linéaire du drone par rapport au sol est mesurée par l’information de flot optique d’une caméra orientée vers le sol.
La localisation du drone dans sont environnement sera donc assistée, rendue facile par la connaissance de ces mesures proprioceptives du drone. Ainsi, pour les méthodes proposée, une analyse des résultats avec et sans assistance de ces capteurs sera faite.

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté le formulation classique du problème d’estimation de pose à partir d’un modèle 3D connu. Différentes méthodes existantes dans la littérature pour le résoudre ont été présentées. La plupart de ces méthodes reposent sur la minimisation d’une fonction de coût dépendante l’erreur de reprojection des positions des amers 3D géo-référencés dans l’image. Nous avons vu que chacune de ces méthodes fournissent une estimation ponctuelle de la pose. Dans cette thèse, sous l’hypothèse de mesures à erreurs bornées, ces méthodes ne sont plus utilisables car il s’agira de résoudre le problème d’estimation de pose en prenant en compte les incertitudes sur ces mesures. ceci reviendra à calculer un domaine de toutes les poses compatibles avec les mesures à erreurs bornées.
Dans le chapitre 3, nous présentons l’estimation ensembliste par intervalles comme un outil pour l’estimation garantie de pose. Les différentes approches par intervalles pour quantifier l’incertitude sont passées en revue.

Estimation ensembliste par intervalles

Introduction

L’objet de cette thèse est l’estimation de la pose de drones à partir de mesures bruitées et/ou biaisées et d’un modèle d’observation aux paramètres incertains. Il est donc primordial de pourvoir quantifier ou borner l’incertitude sur la pose estimée. Pour ce faire, une solution consiste à rétro-propager l’erreur d’observation à travers le modèle incertain pour obtenir une estimation de l’incertitude sur la position.
Les approches probabilistes sont classiquement utilisés à cette fin. Elles consistent à représenter les quantités incertaines (mesures et paramètres) par des variables aléatoires.
Les méthodes basées simulation comme celle de Monte Carlo (Bucher 1988) ou l’échantillonnage préférentiel (Melchers 1989) peuvent traiter une grande classe de problèmesmais s’adaptent difficilement aux problèmes de grande dimension. La méthode dite FirstorderSecond-moment (FOSM) est basée sur le développement de Taylor au premier ordre et les deux premiers moments statistiques des grandeurs incertaines. Cette approche n’est adaptée que lorsque la non-linéarité est modérée sur la plage des incertitudes considérées.
D’autres méthodes comme le filtre de Kalman « sans parfum » (Unscented Kalman Filter , Wan et al. 2000) peuvent être utilisées pour une meilleure gestion de la non-linéarité.
L’utilisation de ces approches nécessite généralement des connaissances préalables sur la distribution des erreurs. Une hypothèse courante lors de l’utilisation de FOSM pour la propagation est que le vecteur d’erreur suit une distribution normale multivariée centrée et que la matrice de covariance est connue. En l’absence d’une telle information, l’hypothèse des erreurs indépendantes et identiquement distribuées est souvent prise.
Contrairement à ces méthodes probabilistes, les méthodes non-probabilistes, comme l’analyse par intervalles (Moore et al. 2009) reposent sur des représentations différentes de l’incertitude. Les méthodes ensemblistes par intervalles supposent que les erreurs sont bornées et que ces bornes sont connues. Les bornes de l’erreur de mesure peuvent ainsi être propagées afin de déterminer l’erreur d’estimation au pire cas. La seule hypothèse faite à propos de la distribution de probabilité de l’erreur de mesure est que son supportest borné.
Ce chapitre est consacré à l’approche ensembliste par intervalles. Ce sera l’outil principal de cette thèse, pour la propagation garantie des incertitudes sous hypothèse de mesures à erreurs bornées. La première section rappelle la définition des intervalles, l’extension aux intervalles de l’arithmétique sur les réels et l’extension des intervalles aux vecteurs et aux matrices. L’évaluation des fonctions sur les intervalles est abordée à travers la notion de fonction d’inclusion (voirKieffer1999 ;Jaulinet al. 2001 ;Drevelle2011 pour plus de détails). La deuxième section présente l’inversion ensembliste comme problème d’estimation de paramètres à partir de mesures à erreurs bornées, et sa résolution par l’algorithme SIVIA (Jaulinet al. 1993). La troisième section introduit la notion de contracteurs pour la propagation garantie de contraintes à travers une fonction d’observation reliant les variables. Enfin, la dernière section traite de l’estimation en présencede mesures aberrantes grâce à l’inversion ensemblisteq−relaxée.

Sous-pavage

L’arithmétique des intervalles et les fonctions d’inclusion rendent facile la manipulation des intervalles et des boîtes. Toutefois, les solutions d’un problème ensembliste sont généralement des ensembles de formes quelconques. Les intervalles et les boîtes ne sont pas toujours appropriées pour donner une bonne approximation de ces ensembles solutions, surtout lorsqu’ils ne sont pas connexes.
Un sous-pavage est une union de boîtes non chevauchantes et de largeurs non-nulles.
Il permet une représentation plus fine d’un ensemble, tout en permettant d’appliquer l’arithmétique des intervalles décrite précédemment. Un ensemble S peut ainsi être encadré par deux sous pavages S et S tels que.

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons introduit les notions de base sur l’analyse par intervalles ainsi que le principe de l’inversion ensembliste, illustré par un exemple pratique de localisation planaire avec des balises dont les positions sont connues.
Les outils de résolution des problèmes de satisfaction de contraintes tels que les contracteurs sont utilisés dans un algorithme d’inversion ensembliste pour déterminer une approximation de la solution par un sous-pavage, dont la finesse est déterminée par le paramètre . Les contracteurs par propagation et rétropropagation des contraintes et ceux par réfutation ont principalement été présentés.
Une version améliorée de l’algorithme d’inversion ensembliste SIVIA notée SIVIAP a été présentée ainsi qu’une version permettant l’estimation robuste RSIVIA basée sur l’intersection q−relaxée. Nous avons montré comment cette dernière version permet d’estimerdes paramètres tout en tolérant la présence d’un certains nombre de mesures aberrantes.

Caractérisation d’un domaine de localisation pour un drone

Introduction

Pour naviguer et accomplir leurs tâches, les robots doivent non seulement se situer par rapport à l’environnement, mais aussi ont besoin d’avoir une information fiable sur l’incertitude de leur position. Dans le cas d’un drone aérien, la solution standard consiste à utiliser un GPS, une centrale inertielle, un baromètre et une boussole. Cette solution n’est pourtant pas appropriée dans un environnement où les signaux GPS sont très bruités ou bloqués tel que, l’intérieur, la proximité de grands bâtiments, ou près des structures en acier qui compromettent les lectures de la boussole comme évoqué au chapitre 1.
Comme un grand nombre de drones disponibles sur le marché sont désormais équipés d’une caméra vidéo, utilisée principalement pour fournir un retour visuel au pilote et effectuer des acquisitions aériennes de vidéos, nous utiliserons la vision pour remédier à ce problème de localisation.
En vision par ordinateur, comme abordé au chapitre 2, de nombreuses solutions pour effectuer une estimation de pose à partir d’un ensemble de points connus existent (voir, par exemple, Hartley et al. (2001), Lepetit et al. (2005) et Marchand et al. (2016)).
Toutefois, ces méthodes fournissent classiquement une estimation ponctuelle de la position du robot. L’analyse par intervalles telle que présentée au chapitre précédent est donc un outil puissant pour la propagation rigoureuse de l’incertitude, utilisé par exemple pour une application de vision 3D (Telle et al. 2003), la localisation sous-marine (Jaulin 2009) et pour le calcul d’un domaine d’incertitude de la position pour des robots mobiles (Drevelle et al. 2013 ; Colle et al. 2013).
Dans ce chapitre, nous nous intéresserons donc à caractériser un domaine contenant la pose d’un robot équipé d’une caméra et de capteurs proprioceptifs, en utilisant des techniques d’inversion ensembliste et de propagation de contraintes basées sur les intervalles.
Plus précisément, pour quantifier l’incertitude de la pose de robot, nous proposons une approche ensembliste par intervalles (Jaulin et al. 2001), qui calcule systématiquement un sous-pavage de l’ensemble solution contenant la pose exacte du robot en prenant en compte les incertitudes sur les mesures 2D dans les images et les positions des points 3D géo-référencés (connus).
Ce chapitre est organisé comme suit. Le modèle cinématique du type de drones utilisés dans cette thèse est décrit à la section 4.2. La section 4.3 explique tout d’abord le problème d’estimation de pose à partir de mesures à erreurs bornées. Notre approche basée sur les notions d’inversion ensembliste et de contracteurs pour résoudre ce problème est ensuite détaillée ; elle présente une formalisation en problème de satisfaction de contraintes estimant les six degrés de libertés de la pose et un autre enrichi avec des mesures proprioceptives pour réduire la caractérisation à trois des six degrés de liberté.
La section 4.4 expose par la suite quelques résultats en simulation et expérimentaux obtenus avec un drone de type quadrirotor, ainsi qu’une comparaison de la méthode proposée avec un filtre de Kalman étendu.

Modélisation du drone utilisé

Nous considérons ici un drone de type quadrirotor équipé d’une caméra. Ce drone est assimilé à un corps rigide à masse fixe, le modèle générique à six degrés de libertés (6DoF) représente ses trois translations et ses trois rotations spatiales (constituant ainsi sa pose).
Il est possible, grâce à ce modèle, de décrire la cinématique de rotation et de translation du drone. Cette section, définit les différents repères et systèmes d’axes utilisés ainsi queles relations composant le modèle cinématique du drone considéré.

Table des matières
1. Introduction 
1.1. Contexte
1.2. Objectifs et contributions
1.3. Plan du document
2. Estimation de pose d’un drone basée sur la vision 
2.1. Introduction
2.2. Estimation de pose basée vision
2.2.1. Géométrie de prise de vue
2.2.1.1. Modèle géométrique
2.2.1.2. Modèle algébrique
2.2.1.3. Modèle de distorsion
2.2.1.4. Étalonnage d’une caméra
2.2.2. Paramétrisation des rotations
2.2.2.1. Quaternion unitaire
2.2.2.2. Vecteur-angle
2.2.2.3. Angles d’Euler
2.2.3. Estimation de pose à partir d’un modèle 3D connu
2.2.3.1. Formulation du problème
2.2.3.2. P3P
2.2.3.3. DLT
2.2.3.4. POSIT
2.2.3.5. Vers des calculs plus efficaces du PnP
2.2.3.6. Minimisation de la norme de l’erreur de re-projection
2.3. Estimation de la pose d’un drone basée vision
2.3.1. Déterminer la pose du drone à partir de la caméra
2.3.2. Assistance des capteurs embarqués
2.4. Conclusion
3. Estimation ensembliste par intervalles 
3.1. Introduction
3.2. Calcul et analyse par intervalles
3.2.1. Définition des intervalles
3.2.2. Arithmétique des intervalles
3.2.3. Vecteurs et Matrices d’intervalles
3.2.4. Notion de pessimisme
3.2.5. Fonctions d’inclusion
3.2.5.1. Fonction d’inclusion vectorielle
3.2.5.2. Fonction d’inclusion centrée
3.2.5.3. Fonction d’inclusion de Taylor
3.2.6. Sous-pavage
3.3. Inversion ensembliste par intervalles
3.3.1. Définition d’un problème d’inversion ensembliste
3.3.2. Test d’inclusion
3.3.2.1. Intervalle booléen
3.3.2.2. Test d’inclusion
3.3.2.3. Test d’inclusion et fonction d’inclusion
3.3.3. Algorithme SIVIA
3.4. Contracteurs
3.4.1. Problème de satisfaction de contraintes
3.4.2. Définition et propriétés des contracteurs
3.4.2.1. Quelques propriétés d’un contracteur
3.4.3. Exemples de contracteurs
3.4.3.1. Contracteur trivial
3.4.3.2. Contracteur par propagation et rétropropagation
3.4.3.3. Contracteur par découpage : Shaving
3.4.3.4. N-B consistance
3.4.4. SIVIA avec contracteurs
3.5. Inversion ensembliste q−relaxée
3.5.1. Intersection q−relaxée
3.5.2. Inversion ensembliste robuste par intervalles
3.5.3. Détection de mesures aberrantes
3.6. Conclusion
4. Caractérisation d’un domaine de localisation pour un drone 
4.1. Introduction
4.2. Modélisation du drone utilisé
4.2.1. Repères et pose d’un drone
4.2.2. Modèle cinématique .
4.3. Estimation de pose à partir d’un modèle de mesures à erreurs bornées
4.3.1. Mesures à erreurs bornées
4.3.2. Ensemble de contraintes liés à l’image
4.3.3. Méthode de résolution du problème
4.3.4. Définition des CSP et de l’ensemble solution correspondant
4.3.4.1. CSP pour l’estimation des 6DoF
4.3.4.2. CSP enrichi, estimation de 3 DoF
4.3.5. Contracteur utilisé
4.3.6. Calcul d’une estimée ponctuelle
4.4. Validation et comparaison avec un filtre de Kalman étendu
4.4.1. Validation en simulation
4.4.1.1. Estimation des 6DoF
4.4.1.2. Estimation de 3DoF
4.4.2. Validation expérimentale
4.4.2.1. Dispositif expérimental
4.4.2.2. Calcul d’un domaine de la pose
4.4.2.3. Détection d’inconsistances
4.4.3. Comparaison à un filtre de Kalman étendu
4.4.4. Évolution du domaine d’incertitude sur la pose en fonction de l’incertitude sur les mesures dans l’image
4.4.5. Influence de l’incertitude de position des amers sur la taille du domaine
4.5. Conclusion
5. Prise en compte de l’incertitude de position des amers par élimination de quantificateurs 
5.1. Introduction
5.2. Problème d’inversion ensembliste quantifié
5.2.1. Problème d’inversion ensembliste 2D
5.2.1.1. Re-formulation de l’ensemble solution
5.2.1.2. Résultats du problème d’inversion avec N=1 amer
5.2.1.3. Résultats du problème d’inversion avec N=3 amers
5.2.2. Problème d’inversion ensembliste avec incertitude sur la position des amers
5.3. Résolution par élimination du quantificateur existentiel
5.3.1. Résolution d’un problème quantifié
5.3.1.1. Définition
5.3.1.2. Méthodes existantes
5.3.1.3. QCSP et l’inversion ensembliste par intervalles
5.3.2. Réécriture du problème d’estimation de pose avec amers incertains sous forme non quantifiée
5.4. Résultats de simulation
5.4.1. Résultats pour un amer observé
5.4.2. Résultats avec trois amers
5.4.3. Discussion
5.5. Conclusion
6. Localisation coopérative ensembliste de drones 
6.1. Introduction
6.2. Modélisation d’un groupe de drones communicants
6.2.1. Scénario
6.2.2. Ensemble de contraintes liées aux mesures .
6.2.2.1. Contraintes liées aux mesures dans l’image
6.2.2.2. Contrainte liée à la mesure de distance à la base
6.2.2.3. Contraintes liées aux mesures d’inter-distances
6.2.2.4. Contrainte liée à la mesure de l’altitude
6.3. Localisation coopérative par partage de mesures
6.3.1. Ensemble solution avec partage de mesures
6.3.2. Résultats en simulation et comparaison à la méthode des moindres carrés
6.3.2.1. Environnement de simulation
6.3.2.2. Sous-pavages résultats dans le cas d’un robot isolé
6.3.2.3. Localisation coopérative avec visibilité totale des amers
6.3.2.4. Localisation coopérative avec visibilité réduite
6.3.3. Résultats expérimentaux et comparaison
6.3.3.1. Scénario expérimental
6.3.3.2. Résultats et comparaison avec un filtre de Kalman étendu
6.3.4. Problème de fusion centralisée (non passage à l’échelle du problème)
6.4. Estimation coopérative par partage de domaines de position
6.4.1. CSP lié aux mesures propres d’un robot (vision et distance à la base)
6.4.2. CSP lié aux mesures d’inter-distances pour la coopération
6.4.2.1. Contraction de la pose
6.4.2.2. Atteinte d’un point fixe
6.4.3. Résultats expérimentaux
6.4.3.1. Influence de la coopération sur la taille du domaine
6.4.3.2. Influence de la coopération en cas de visibilité réduite
6.5. Modèle d’estimation/prédiction
6.5.1. Réduction du domaine initial à chaque instant
6.5.2. Présence des inconsistances
6.6. Conclusion
7. Conclusion et perspectives 
7.1. Conclusion
7.2. Perspectives
Annexes 
A. Types de drones à voilure tournante
A.1. Drones à un rotor
A.2. Drones double rotors
A.3. Drones quadrirotor
A.4. Autres
A.5. Drones utilisés dans ces travaux
A.5.1. Quadrirotors utilisés
A.5.2. Composants d’un drone
B. Architecture de l’environnement expérimental
B.1. architecture générale
B.2. Système de capture de mouvement Vicon
B.3. Drones expérimentaux
B.3.1. Drone de classe MK-Quadro
B.3.2. Drone de classe AR.Drone
C. Estimation robuste en présence de mesures aberrantes dans l’image
C.1. Solution q−relaxée
C.2. Résultats de la q−relaxée dans l’image . .

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