Principes de calcul généraux pour la méthode des développements raccordés

Position du problème

Nous commençons cette section en décrivant la géométrie dans laquelle notre problème modèle sera posé. Nous nous intéresserons à une onde se propageant dans le plan R2 et rencontrant un obstacle diffractant représenté par un ouvert borné noté ωε. Cet obstacle est petit dans la mesure où son diamètre est supposé tendre vers 0 quand ε → 0. Pour simplifier nous allons même supposer que cet obstacle est obtenu par homothétie d’un autre ouvert fixe, c’est-à-dire ωε = εωN pour un certain ouvert ωN dit normalisé et indépendant de ε. On pourrait envisager la présence d’autres obstacles dont certains seraient petits. De même on pourrait supposer que le milieu dans lequel se propage l’onde acoustique que nous étudions comporte des hétérogénéités dont le support est borné, les coefficients de l’équation d’onde seraient alors de classe φ∞ et constants sauf dans une région bornée de R 2 . Ces nuances n’apporteraient cependant rien de fondamental à l’analyse, et nous ne les prendrons pas en compte ici.

Description de la géométrie

Décrivons plus en détail ωN. Par la suite un point du plan x pourra être désigné par ses coordonnées polaires. Celles-ci seront notées (R,ϕ) si nous nous plaçons dans une géométrie normalisée, ou notées (r,ϕ) dans le cas contraire. Rappelons, en se plaçant par exemple dans le cas non-normalisé, que ces coordonnées sont définies par les relations avec les coordonnées cartésiennes suivantes
x = r cosϕ  et  y = r sinϕ.

Formulation faible de la stabilité

Nous allons dériver une approximation de uε à l’aide de la forme sesquilinéaire aε(, ) définie par (1.1.4). Nous commençons par montrer que aε(, ) satisfait un résultat de stabilité, c’est-à-dire que la propriété (1.1.6) est satisfaite uniformément par rapport à ε. Un grand nombre d’analyses asymptotiques (avec estimation d’erreur) passent par la démonstration d’un tel résultat. Cela revient à montrer que dans le problème considéré, non seulement la solution dépend continuement des données, mais en plus cette dépendance continue est uniforme vis-à-vis de ε. Ceci équivaut aussi à démontrer que l’inverse de l’opérateur associé au problème est borné indépendamment de ε. Ce type de résultat a pour conséquence que, quand ε → 0, si les données restent bornées, la solution reste bornée également.

Preuve de stabilité

Nous pensons que le résultat du théorème 1.2.1 est nouveau car nous n’en connaissons pas d’équivalent dans la littérature. En général lors d’une analyse asymptotique avec un petit obstacle et une condition de Neumann sur le bord, comme dans [67, 68] ou [87], les auteurs considèrent un problème coercif tel que le problème de Laplace. Dans ces conditions la norme de l’inverse de l’opérateur associé au problème considéré est majorée par la constante de coercivité, qui est indépendante de ε. Dans un contexte plus général certains auteurs invoquent également le principe du maximum pour démontrer un résultat de stabilité en norme k kL∞ , lorsque cela est possible comme dans le cas d’un problème au laplacien. Ici le problème n’est pas coercif et ne suit pas le principe du maximum. Toute la difficulté de la preuve suivante vient du fait que les équations sont posées dans Ωε qui dépend de ε et qu’il semble difficile de construire un « prolongement stable » des fonctions de H1 (Ωε) à H1 (Ω) tout entier.

Calcul analytique dans le cas d’un obstacle circulaire

Dans cette section nous allons construire des solutions explicites du problème Pε , à l’aide de fonctions spéciales, pour des fonctions sources f = e i̟x et dans le cas où Ωε est le disque de centre 0 et de rayon ε. Nous commencerons par rappeler des notions élémentaires de séparation de variables en coordonnées polaires sur l’équation de Helmholtz et la construction des fonctions de Bessel. Il existe une littérature entière sur les fonctions de Bessel. Citons seulement [82] pour une introduction, et également [117] qui est le traité de référence sur le sujet.

Il existe plusieurs façons de remédier à cette difficulté. C’est ici qu’il convient de faire un choix sur la méthode de développement asymptotique que nous allons utiliser. Citons au moins deux méthodes possibles : les développements multi-échelles et les développements raccordés. Les références mathématiques traitant d’analyse asymptotique par développements multi-échelles nous semblent plus courantes : il  en existe une littérature très étendue. Entre autres, citons l’incontournable livre en deux volumes de Maz’ya, Nazarov et Plamenevskii [87] qui est une compilation d’analyses asymptotiques de diverses situations. La technique des développements raccordés est plutôt issue de la littérature physique, et notamment d’aérodynamique avec une référence fondatrice de Van Dyke [112]. Ensuite cette approche a été développée par une école anglo-saxonne qui a produit des références plutôt formelles (utilisation de séries non convergentes, absence d’estimation d’erreur). Il existe cependant des références de grande rigueur mathématiques telles que [68, 67] ou également la thèse de Sébastien Tordeux [109] qui traite d’un problème de  propagation dans des fentes minces. Enfin citons [110] qui s’intéresse justement à confronter ces deux méthodes (développements multi-échelles et raccordés).

Table des matières

Introduction générale
1 Analyse asymptotique d’un premier problème modèle : Helmholtz avec condition de Neumann autour d’un petit obstacle
1.1 Position du problème
1.1.1 Description de la géométrie
1.1.2 Formulation du problème
1.2 Formulation faible de la stabilité
1.2.1 Approximation d’ordre 0 : le champ limite
1.2.2 Preuve de stabilité
1.2.3 Remarques d’analyse asymptotique
1.3 Calcul analytique dans le cas d’un obstacle circulaire
1.3.1 Séparation de variables pour l’équation de Helmholtz
1.3.2 Fonctions de Bessel de 1re espèce
1.3.3 Fonctions de Bessel de 2nd espèce d’ordre non nul
1.3.4 Fonctions de Bessel de 2nd espèce d’ordre 0
1.3.5 Bilan
1.3.6 Résolution analytique dans un cas simple
1.4 Développement d’ordre supérieur
1.4.1 Singularité des termes du développement
1.4.2 La méthode des développements raccordés
1.4.3 Approximation globale
1.4.4 Formulation forte de la stabilité
1.4.5 Conséquences de la stabilité
1.5 Étude du champ lointain
1.5.1 Séparation de variables basée sur les fonctions de Bessel
1.5.2 Autre famille de solutions à variables séparées
1.5.3 Notion de développement radial au voisinage de 0
1.5.4 Développement radial des solutions de l’équation de Helmholtz
1.6 Étude du champ proche
1.6.1 Expression explicite des solutions des équations de Laplace emboîtées
1.6.2 Notion de développement radial au voisinage de l’infini
1.7 Étude de l’erreur de raccord
1.7.1 Bilan sur les conditions suffisantes
1.7.2 Reformulation des équations de raccord
1.8 Définition des termes du développement
1.8.1 Unicité de la solution
1.8.2 Construction de profils
1.8.3 Existence de la solution
1.8.4 Validation de l’ansatz
1.8.5 Conclusion finale
2 Principes de calcul généraux pour la méthode des développements raccordés
2.1 Les hypothèses de départ
2.1.1 Définition et paramétrage de la géométrie
2.1.2 Espaces de Sobolev et espaces à poids
2.1.3 Problème considéré
2.1.4 Forme des opérateurs différentiels
2.1.5 Hypothèses sur la partie dominante
2.2 Discussion sur une forme de développement
2.2.1 Découpage de la géométrie
2.2.2 Approximation en champ lointain
2.2.3 Approximation en champ proche
2.2.4 Approximation dans tout le domaine
2.2.5 Exploitation de l’hypothèse de stabilité
2.2.6 Équations pour le champ proche et lointain
2.3 Développement radial du champ lointain
2.3.1 Développement radial au voisinage de 0
2.3.2 Application au champ lointain
2.4 Développement radial du champ proche
2.4.1 Développement au voisinage de l’infini
2.4.2 Application au champ proche
2.5 Principe de Raccord
2.6 Estimation des termes d’erreur
2.6.1 Estimation de l’erreur de champ proche
2.6.2 Estimation de l’erreur de raccord
2.6.3 Bilan sur l’estimation d’erreur
2.6.4 Estimation dans le cas d’un développement régulier
2.6.5 Conclusions : construire un développement en pratique
2.7 Étude détaillée du principe de raccord
2.7.1 Espace de séries formelles
2.7.2 Première description des éléments du noyau de A
2.7.3 Construction d’un inverse à droite
2.7.4 Exemples explicites
2.7.5 Éléments particuliers du noyau de A
2.7.6 Décomposition des éléments du noyau de A
2.7.7 Retour sur le principe de raccord
2.7.8 Simplification des équations de raccord
2.7.9 Estimation d’erreur dans le cas où le principe de raccord n’est pas satisfait
2.8 Construction concrète des termes du développement
2.A Rappels d’analyse fonctionnelle
2.B Intégration et calcul holomorphe
2.B.1 Intégration à valeur vectorielle
2.B.2 Rappels de calcul holomorphe
2.C Transformation de Mellin
2.C.1 Transformation de Mellin au voisinage de zéro
2.C.2 Transformation de Mellin au voisinage de l’infini
3 Application du formalisme à l’équation de Helmholtz avec condition de Dirichlet autour d’un petit obstacle
3.1 Vérification des hypothèses
3.1.1 Problème bidimensionnel avec un petit obstacle
3.1.2 Équation de Helmholtz avec condition de Dirichlet
3.1.3 Définition et propriétés des opérateurs intervenant dans l’analyse asymptotique
3.1.4 Stabilité
3.2 Définition des termes du développement raccordé
3.2.1 Réduction des équations de raccord
3.2.2 Formulation des problèmes récurrents
3.2.3 Construction de profils
3.2.4 Unicité des solutions des problèmes récurrents
3.2.5 Existence des solutions des problèmes récurrents
3.3 Dépendance en ε des termes du développement raccordé
3.4 Estimation d’erreur
3.5 Une dérivation explicite des premiers termes du développement
3.5.1 Termes d’ordre 0 pour un obstacle arbitraire
3.5.2 Termes d’ordre 0 et 1 pour un obstacle circulaire
3.6 Développement asymptotique des traces sur Γε
Conclusion

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