Principes d’analyse de suites remarquables de Z

Principes d’analyse de suites remarquables de Z#.

Notations et concepts de théorie additive.

On définit l’énergie entre deux sousensembles A et B d’éléments non nécessairement distincts de l’ensemble A par :
E°,(A,B) := |{(a,fc,a’,fc’)| a o fc ~ a o fc’ avec a,a’ G A et fc,fc’ G B}\.
Le symbole o est une loi de composition quelconque et ~ est une relation d’équivalence quelconque. Dans le cas où o est l’addition on écrit E^(A,B) et on parle d’énergie additive. On écrit aussi EZ(A,A) —: EZ(A) pour alléger. Clairement, on a que E°JA,B)>\A\\B\,
de plus, siaofc~xofc et o o i ~ a o y on respectivement au plus X et Y solutions en x et y parmi l’ensemble des couples possibles lorsque les variables sont fixées dans les mêmes ensembles que la définition de l’énergie, alors El(A,B)<\A\\B\mm(Y\A\,X\B\)
Dans ce travail, on a souvent A — Z et il est entièrement question de relation de congruence modulo N que nous allons noter E°N(A, B). Nous allons aussi convenir naturellement que E°(A, B) := E^(A, B) correspond au cas où ~ est le = ordinaire. Comme
|A||£| = \A + B\<* \A\\B\ = \AB\e>(AA)n{BB) = {0},
on remarque aussi que E^(A,B) = \A\\B\ si et seulement si on est dans la situation |j4||i?| = \A + B\, i.e. r ,4+5(771) = 1 pour tout élément m G A f B où on note en général rAoB{m) := \RAoB{m)\ = \R%lB(m)\ = \R%lB{m)\ et où RAoB(m) ‘■— {{a,b) Gv4x5|aofc~ m}, R(AoB{m) := {a G A\ fc G B et a o fc ~ m} et fi^B(m) := {fc G B\ a G A et a o fc ~ m}.
Ces dernières définitions dépendent évidemment de ~, cependant il est inutile de l’inclure dans la notation pour les cas qui nous concernent puisque le tout est intimement lié à la définition de l’énergie. Clairement, on a que EN(A, B) = EN(B. A) = EN(A + m,B + m) = EN(A. B) et que
E°d(A,B)>E°e(A,B)>E°(A,B) si d\e. On remarque que p4ii£i = Y rA+B^ = E r*-*(o meA+B l€A-B et que EN(A,B)= Y rA+B(m)2= ^ r^B(/)2-= Y r^(fc)rB_B(fc). meA+B 16.4-B fc€(.4-.4)n(B-B)
On peut donc déduire, en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, que (\A\\B\) et que
( Y rA+B(m)\ <\A + B\EN(A,B) \m<=A+B J EN(A,B)2=l Y, rA-A(l)rB-B(l) ) < EN(A)EN(B).
\ie(A-A)n(B-B) J
On retrouve souvent ces identités fondamentales de base dans le cadre de la théorie additive des nombres. Un autres cas particulièrement important fait l’objet du lemme suivant.
Lemme 1.1. m«r^+fl(TO) > Jd& max |l, (j±t|j) J.
Preuve. Comme
\A + B\max rA+B(™)2 > Y] rA+B{m)2 = EN(A,B), meA+B
alors
EN(A, B) > (|A||fî|)2/min{|yl + B\, \A – B\)
et le résultat s’ensuit.D
Définition. Soit N G N et / : Z# —> C. La transformée de Fourier discrète f de f est définie par
JV-l
;/ x v^ r, – (mn\ f(n) = Y, f(m)e (—) ,
m=0
où e(t) = exp(27ri£). On vérifie facilement que son inverse est donné par
N-l
., x 1 v—* i, . ( —mn\
n=0 V ‘
ce qui s’écrit f(—m) = N f{m). On définit la convolution f * g de f et g par (f*g)(n):= Y /(O^G)- i—j=n
Une liste exaustive des propriétés que satisfait cette transformée prendrait un livre entier. Nous proposons ici seulement certains faits qui sont fondamentaux dans l’optique de notre étude.

Présentation et application de la méthode de Stepanov.

Pour étendre le domaine de validité du corollaire 1.1, il faut introduire une nouvelle famille d’idées qui forment en quelque sorte le sujet central de ce mémoire. Il s’agit d’une façon élémentaire de tantôt compter, tantôt majorer le nombre de solutions d’une équation définie sur un corps fini. Comme on le verra, la même idée sert depuis cent ans dans l’étude des mesures d’irrationalité des nombres algébriques. Cette méthode de Thue fut adaptée par Stepanov, il y a de cela environ 40 ans, à l’étude des corps finis et elle est encore améliorée et généralisée de nos jours. Je me propose d’élaborer cette théorie dans le sens inverse dont l’histoire l’a formée, i.e., après avoir étendu et approfondi le corolaire 1.1, je vais faire un traitement personnalisé de certaines truncations des fonctions « transcendantes » — ln(l — x) et exp(x) dans Fp pour finir avec une preuve de l’hypothèse de Riemann dans ¥q. Ensuite, je vais démontrer le fameux théorème de Thue pour mettre en évidence les points communs.
Définition. Soit K[x] l’anneau des polynômes sur K. Soit d l’opérateur de dérivation défini par
<9(c*o + aix + … + atxl) = ai + 2a2x + … + tatxl~l.
On écrit souvent dkP(x) = P’fe'(x) pour alléger la notation.
Lemme 1.2. Soit ¥q un corps de caractéristique p et soit m < p un entier positif. Supposons que P(x) G F9[x] avec deg P(x) > m et que pour un certain (3 G F, on ait
0 = P((3) = pM(/3) = P<2>(i3) – … = P(m~l\(3).
Alors (x — (3)m\P(x), i.e. P(x) a un zéro d’ordre au moins m en fo
Preuve. Il est facile de voir que pour chaque (3 G ¥q on peut trouver Ci, …, Q tels que
P(x) := a0 + c*!X + … + atxl = Q, + c^x – £) + … + Ct{x – fo)1.
Alors,
Pw(x) = fc!
Ct + CW[^1)(l-^) + … + QQ(l -fit
En évaluant en /? et en utilisant l’hypothèse pour chaque 0 < k < m — 1, on a que 0 = k\ck- Comme k < m – 1 < p, il s’ensuit que A;! ^ 0 dans Fg. Donc Ck = 0 pour 0 < ifc < m – 1, d’où (x – (3)m\P(x).\3
Remarques. La condition m < p est essentielle. Par exemple, considérons le polynôme P(x) = (x(x — l))p. Les dérivées s’annulent en 0 pour 0 < m < 2p, mais P(x) a un zéro d’ordre seulement p en x = 0. Pour contrer ce phénomène qui provient évidement du facteur factoriel qui apparaît à force de dériver, Hasse eut l’idée de définir l’hyperdérivée gk par
k, t, fk + 1\ ft\ t-k
g (Q0 + axx + … -t- atx ) :— ak + I 1 afc+1x + … + Il atx .
On écrit souvent gkP(x) = P-fe-(x) pour alléger l’écriture. Formellement, gk = dk/k\ et il possède évidement des propriétés semblables à la dérivé ordinaire. En particulier, on peut écrire le lemme 1.2 sans se limiter à m < p. Cet opérateur sera beaucoup utilisé aux chapitres 3 et 4.
Lemme 1.3. Soit P(x) G Zp[x] une somme de j > 1 termes distincts. Supposons que deg P(x) < p. Alors (x — 1)J ne divise pas P(x).
Preuve. La preuve se fait par induction complète. Le cas j = 1 est trivial. Supposons que j > 1 et que le résultat est démontré pour tout polynôme de degré 1 < i < j. Soit P(*) = YLi<**- Alors
XP(1)(X) – liP(x) = Yli(ai ~ <*j)X »-i=l
Le polynôme ainsi formé possède au plus j — 1 termes. On voit alors que (x — l)-7 ne peut pas diviser P(x), car sinon (x — 1)J_1 diviserait xP^'(x) — UP(x) ce qui contredit l’hypothèse d’induction.D
Remarque. Le principe de Tao nous fournit un résultat d’une tout autre saveur. En effet, on apprend qu’un polynôme à j + 1 termes ne peut pas posséder plus de j racines dans l’ensemble {x G C| xp — L). Un tel polynôme étant essentiellement la transformée de Fourier d’une fonction supportée sur un ensemble à j> + 1 éléments, sa transformée doit avoir un support d’au moins p — j éléments, i.e. au plus j valeurs de {x G C| xp = 1} peuvent être une racine du polynôme. En utilisant l’argument du lemme 1.3, on déduit alors que le nombre de racines provenant de cet ensemble, comptées avec multiplicité, d’un tel polynôme ne peut pas dépasser j2.
Une borne sur l’énergie additive de Gk fournit naturellement une majoration de la transformée de Fourier correspondante. Plus précisément, on montre le résultat suivant.
Lemme 1.4. L’estimé suivant est valide pour tout k lorsque a ^ 0 modulo p :
Gk(a) < (mm{k,p^2}Ep(Gk))1/4. Preuve. Clairement, pour m ^ 0 modulo p, on a que
Gk(a) = Gk(amk). On en déduit donc que
(pl)|Gfc(a)|4 = Y \Gk(amk)\4 < fc]T |Gfe(n)|4.
m=l n=l
Comme chaque valeur revient ou bien 0 ou bien k fois. On a alors
■HAwrÊ (î> O** »+^ / » ~ ^)nj) i &> w*).
mi,m2,m3*,TTi4 = l \n=l ^ ‘ /
ce qui fournit |G*(a)| < (kEp(Gk))1’4* De même, pour l’autre partie, on a h\Gk(a)\2 = Y\G*(a9nk)\2 = YrGkGk(t)Gk(at).
n=l (=0
En applicant trois fois l’inégalité de Holder, on obtient
(pi \2PI Pi
Yrokck(t) Yrckok(t)Y\Gk(at^ =Ph4Ep(Gk)2, t=0 / t=0 t=0
ce qui complète la preuve.D
Lemme 1.5. Pour chaque k > p1/3, on a
Ep(Gk) < 23/i5/2.
Preuve. Considérons d’abord RckGk(n)Clairement, rckGk{ty — h et on peut écrire
pi pi
Ep(Gk) = YrokGk(n)2 = h2 + YrGkGk(n)2 = h2 + h Y rGkGk(n)2.
n=0 n=l neZl/Gi
De même,
pi pi
h2 = YrGkGk{n) = h + YrGkGk{n) = h + h Y rGkGk{n),
n=0 n=l neZ’p/Gk

Calcul symbolique et théorème de Kurepa

Après avoir remarqué que certaines suites de polynômes classiques satisfont des identités familières, nos ancêtres ont eu l’idée de faire du calcul symbolique pour découvrir de nouvelles formules. Etant incapables de démontrer formellement leurs résulats par cette méthode, ils utilisaient d’autres façons pour arriver à leurs fins. C’est vers les année 1970 que cette théorie fut complétée par Gian-Carlo Rota. En gros, il s’agissait simplement de bien écrire les choses et de définir les bons opérateurs. Ensuite, le reste n’est que de la simple algèbre linéaire. Souvent, on démontre des choses presque triviales pour une base qui réagit bien à un opérateur, après on écrit l’expression « par linéarité nous avons » et on obtient une identité comme par magie. Telle est la force de cette théorie. Ce qui ajoute encore une dimension de richesse, c’est que la linéarité des opérateurs laisse cohérente l’analyse dans les anneaux ZJV dans le sens direct. Pour les opérations inverses on ne peut pas toujours conclure.
Cette théorie porte aussi le nom de calcul ombrai. Elle généralise une foule de résultats très élémentaires que nous voyons normalement avant même d’entrer à l’université. Après avoir bien défini le sujet, nous allons donner quelques exemples pour aboutir à la preuve de la conjecture originale de Kurepa.
Théorème (Kurepa, Barsky, Benzaghou). Pour tout n plus grand que 2,
n /«„(!) =: K„,
i.e.
0! + 1! + … + (n – 1)! ^ 0 (mod n).
Comme on le verra, la preuve de ce théorème est loin d’être triviale et elle fait intervenir tout un arsenal d’idées qui vont, sans aucun doute, intéresser un lecteur profane. Il n’est pas très difficile de voir qu’il est suffisant de prouver le théorème dans le cas où n = p, un nombre premier. C’est un petit miracle que nn ne s’annule jamais modulo n pour n > 2. Une analyse naïve de ce problème nous dirait que cette fonction doit s’annuler environ lnln(./V) fois dans l’ensemble des p < N, mais en fait il existe un raison pour que la réponse soit 1 pour N > 2 et c’est le but ultime de ce chapitre que de le prouver. Dans la littérature, la notation \n est utilisée pour représenter les valeurs de K„ et elle est prononcée « left factorial ». Il est donc très facile de constater que le dernier théorème est en fait équivalent au fait que (n!, !n) = 2 pour tout n > 2. Rappelons que nous avons démontré, dans la remarque qui suit le lemme 1.8, que le polynôme KP(X) prend toujours au moins (l/14)px/2 des valeurs de Zp.

Quelques définitions préliminaires

Soit A un anneau unitaire commutatif. En pratique, A est souvent Z, Z[z] ou l’ensemble des nombres p-adiques. On appelé delta-opérateur un opérateur linéaire 6 :
A[x] —» A[x] qui satisfait 6(x) ^ 0 et qui commute avec les opérateurs de translation
T0 : A[x] -> A[x], P(x) r-r P(x + a) (a G A),
où P(x) G A[x] ici et par la suite. On vérifie que ces conditions entraînent que 6(a) = 0 pour tout a G A et de même, par induction, que deg SP(x) = deg P(x) — 1. On dit qu’une famille (P„(x))„ejv de polynômes est associée à un delta-opérateur si
• Po(x) — 1 et P„(0) = 0 (n > 1) : Propriété de normalisation,
• 5Pn(x) = nP„_i(x) (n G N) : Propriété symbolique (dite de Scheffer).
On en déduit que (P„(x))neZ est en fait une famille de polynômes unitaires qui forment une base de A[x].
L’exemple le plus familier est sans aucun doute celui de la base canonique x », avec n > 0, qui est naturellement associée à l’opérateur de dérivation d. Un premier exemple moins évident est celui de la base dite de Pochhammer, à savoir
n-l
(x)n := TT(X ~~ 0 pour 7i > 0,
i=0
qui est associée avec l’opérateur de différence finie défini par
A : A[x] -> A[x], P(x) h-» P(x + 1) – P(x).
En effet, on vérifie facilement que A(x)n -= n(x)n_i.
Il est alors très pertinent de définir l’opérateur de changement de base naturel entre la base canonique et la base de Pochhammer, i.e.
<f> : A[x] -> A[x], (x)„ t-* xn.
Cet opérateur est très riche en propriétés. Premièrement, c’est évidement un opérateur linéraire, ce qui implique en particulier qu’il rend cohérent l’analyse dans les anneaux Zjv • Ceci signifie que si
f(x) = g(x) (modN),
alors
<P(f(x)) = 4>(g(x)) (mod N),
où /(x) et y(x) sont dans Z[x]. Une propriété moins évidente, de genre fonctionnelle, nous vient de la structure multiplicative des bases impliquées. En effet, on a successivement pour tout m et n dans N,
**+* = xné((x)m) = <p((x)n+m) = 4>((x)n(x – n)m),
d’où on déduit par linéarité que
xn4>(P(x)) = <t>((x)nP(x – n))

Introduction 
Remarques préliminaires 
1 Principes d’analyse de suites remarquables de Z#.
1.1 Notations et concepts de théorie additive
1.2 Propriétés de la transformée de Fourier discrète
1.3 Présentation et application de la méthode de Stepanov
2 Calcul symbolique et théorème de Kurepa. 
2.1 Quelques définitions préliminaires
2.2 Lemmes utiles
2.3 Vers la preuve de la conjecture de Kurepa
2.4 Preuve du théorème de Kurepa, Barsky. Benzaghou
3 Hypothèse de Riemann. 
3.1 Résultats préliminaires
3.2 Construction de certains polynômes
3.3 Preuve de l’hypothèse de Riemann pour les corps finis
4 Finitude du nombre de solutions de l’équation de Thue. 
4.1 Lemmes techniques
4.2 Preuve du théorème de Thue

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