Principe de maximisation et de minimisation de la production d’entropie

Télécharger le fichier pdf d’un mémoire de fin d’études

Vers une amélioration du modèle de Paltridge.

C.Herbert [15] a construit un modèle dans lequel les flux de surface et les flux méridionaux sont traités par MEP. De plus il n’utilise dans son modèle aucun param ètres ajustables ce qui permet de faire un modèle beaucoup plus robuste que celui de Paltridge. Il applique son modèle aux climats présents et aux climats glaciers et trouve des résultats en accord avec les simulations de l’IPSL. L’avantage incontestable de MEP est qu’il ne s’intéresse pas à résoudre la dynamique du problème. Ainsi MEP est moins couteux en calcul que les modèles classiques utilisés en climatologie.
Pour avoir un ordre de grandeur MEP donne un profil de température en quelques secondes alors que les modèles de l’IPSL prennent des jours, voir parfois des mois.
Figure 1.5 Les résultats du modèle de Paltridge en traits pleins comparés aux observations. Cette gure est extraite de [2].
Figure 1.6 Energie méridionale totale prédit par MEP (en traits pleins) et pour une simulation de l’IPSL (en pointillés). A gauche c’est une simulation avec les conditions du Last Glacial Maximum et à droite avec les conditions pre-industrielle.

PRINCIPE DE MAXIMISATION ET DE MINIMISATION DE LA PRODUCTION D’ENTROPIE.

MEP est un principe empirique qui n’a pas de justications rigoureuses. Dewar a essayé de donner une preuve de MEP [17, 18] qui s’avère être extrêmement intéressante mais pas parfaitement rigoureuse. De plus on connait assez mal les domaines de validité de MEP. Enn, les chercheurs ne croient pas en ce principe car il existe un autre principe plus connu : le principe de minimisation de production d’entropie de Prigogine. Ces deux principes semblent contradictoires. Nous allons donner une explication nouvelle qui concilie MEP et le principe de minimisation de Prigogine.

Prigogine vs MEP : Maximisation ou Minimisation de la production d’entropie ?

La maximisation et la minimisation de la production d’entropie sont deux principes totalement différents qu’il faut absolument savoir distinguer pour pouvoir correctement les utiliser. De plus, ces deux principes semblent contradictoires car d’une part on minimise la production d’entropie et de l’autre on la maximise. Ceci est à la base d’une confusion dans la communauté scientifique. Martuyshev et Seleznev [11] ont donné une explication de la différence entre ces deux principes. Pour eux, lorsque les forces (flux) sont fixés mais que les flux (forces) associés sont libres alors MEP permet de les déterminer. En outre, lorsque le système est faiblement hors équilibre et dans un état stationnaire, et qu’il y a des forces libres alors ils vont s’ajuster (et ajuster les flux associés) affin de minimiser la production d’entropie. A temps court et forces thermodynamiques fixées le système maximise la production d’entropie alors que à temps long et à forces libres le système minimise sa production d’entropie.
Ma recherche m’a permise de donner une explication nouvelle quant à la différence entre ces deux principes. Elle permet aussi des les conciliers car comme nous allons le voir MEP apparait être un MaxMin.
Dans la section suivante nous rappelerons les hypothèses très strictes pour pouvoir appliquer le principe de minimisation de production d’entropie (appelé aussi principe de Prigogine) et nous expliquerons la diérence avec le principe de maximisation de production d’entropie. Pour illustrer cette différence nous prendrons l’exemple d’un processus aléatoire Markovien.
Ainsi,  étant une forme quadratique positive, l’état stationnaire minimise la production d’entropie par rapport à Xm. Et grâce aux relations d’Onsager l’état stationnaire minimise la production d’entropie. On remarquera que le principe de Prigogine n’est vrai que très proche de l’équilibre car lorsque l’écart de température entre les deux boites est suffisant il y a un transport de matière Jm non nul. De même S.R. de Groot et P. Mazur [20] montent assez simplement que pour un système de conduction thermique (tout comme un système de diffusion de particules), vérifiant toujours les relations d’Onsager avec des coefficients constants, caractérisé par un flux J on a si f admet un minimum alors en ce minimum div(J) = 0
Ainsi, si f est minimale alors on est dans un état stationnaire. Cependant la réciproque est fausse et est trop souvent employée sous le nom de principe de Prigogine ! C’est à dire que ce n’est pas parce que l’on est dans l’état stationnaire choisi par le système que la production d’entropie est minimale. En effet, s’il y a plusieurs états stationnaires possibles considérés, la réciproque ne peut-être déduite du sens direct. Par exemple dans le cas de la diffusion thermique on a div(J) = 0 mais il y a une infinité de J qui vérient cette relation (c’est à dire une infinité d’états stationnaires possibles si aucune autre contrainte n’est spéciffée) et rien nous dit que l’état final choisi par le système sera celui qui minimisera la production d’entropie parmi les J possibles.
Nous pouvons penser de manière formelle à un système dont la production d’entropie en fonction de ses états à la forme représentée sur la figure Fig.(1.7).
Dans un tel cas, la minimisation de la production d’entropie nous donne potentiellement trois états stationnaires. Parmi ces trois états stationnaires nous ne pouvons donc savoir celui qui sera choisi en réalité par le système et nous verrons par la suite que ce ne sera pas l’état  comme le prétendrait la réciproque du principe de Prigogine.

PRIGOGINE VS MEP : MAXIMISATION OU MINIMISATION DE LA PRODUCTION D’ENTROPIE ?

Un cas particulier où l’on peut dire que l’état stationnaire final sera celui qui minimisera la production d’entropie est lorsque la minimisation de celle-ci nous donne qu’un unique état stationnaire possible.
Pour résumer, le principe de Prigogine qui dit que l’état stationnaire choisi par le système est celui qui minimise la production d’entropie n’est vrai que si les conditions très restrictives suivantes sont vérifiées :
i) Le système se trouve suffisamment poche de l’équilibre pour que les relations d’Onsager soient vérifiées avec des coefficients de linéarité constants.
ii) La minimisation de la production d’entropie ne nous donne qu’un unique état stationnaire possible.
Ainsi ces hypothèses sont indispensables et trop d’articles critiquent le principe de Prigogine sans les avoir vérifiées [21].
Le principe de Maximisation d’entropie : quand l’hypothèse ii) n’est pas vérifiée.
Revenons tout d’abord sur le sens de l’hypothèse ii). Pour décrire un système hors équilibre dans un état stationnaire il est souvent nécessaire de considérer plusieurs états stationnaires possibles. Par exemple dans un modèle de convection thermique (ou de diffusion particulaire) d’un barreau 1D soumis à deux températures différentes TA et TB aux extrémités les différents états stationnaires sont donnés par J = Cst ; il y en a ici une infinité. Il reste maintenant à savoir quel J va effectivement décrire le système. Le principe de Maximisation de production d’entropie stipule que parmi tous les états stationnaires considérés respectant les contraintes, celui qui va être choisi par le système est celui qui maximise la production d’entropie. Ce principe n’est pas démontré mais comme nous l’avons mentionné en introduction est largement utilisé par la communauté scientifique dans différents
Ce principe est donc totalement différent du principe de Prigogine et est beaucoup plus général dans la mesure ou il ne suppose rien quant à la proximité du système par rapport à l’équilibre. MEP apparait donc ici comme un MaxMin : On minimise d’abord la production d’entropie Fig.(1.7) pour connaitre les états stationnaires puis, s’il en existe plusieurs, on maximise pour savoir lequel le système choisit.

Le principe de maximisation de l’entropie de KS.

L’entropie de Kolmogorov-Sinai (KS) ou entropie métrique a été initialement introduite par Kolmogorov en 1958 [22] comme un outil permettant de voir que deux systèmes dynamiques ne sont pas conjugués (isomorphes). Cette notion a été reprise et développée par son élève du moment : Y.Sinai (Prix Abel 2014) . Cette entropie est encore aujourd’hui très étudiée (et notamment en physique) car elle est intimement reliée au chaos. En effet, une transformation chaotique est une transformation d’entropie de KS non nulle. De fait, empiriquement, plus l’entropie de Kolmogorov-Sinai est grande plus le système est chaotique.
Parallèlement, en 1967 Fyliokov et Karpov propose un principe régissant les sytème hors équilibres dans un état stationnaire consistant à maximiser la production de l’entropie dynamique c’est à dire la dérivée de l’entropie sur les chemins. Ce principe a été repris par Evans et une explication est donnée dans [8]. De plus cette production de l’entropie dynamique est fortement reliée à l’entropie de KS, voir égale pour les chaines de Markov.
Nous commençons par donner une définition la plus rigoureuse possible de l’entropie de KS en s’appuyant sur le livre de Billingsley [23], de Katok et Hasselblatt [24] ainsi que le cours de F.Paulin et Y.Benoist [25] affin d’en comprendre sa signification. Puis nous discuterons cette entropie dans le cas particulier des chaines de Markov : nous démontrerons en particulier que l’entropie de KS sur les chaines de Markov et la production d’entropie dynamique sont égales. Nous introduirons ensuite la production d’entropie dynamique d’un système physique plus général et discuterons le principe de maximisation de l’entropie de KS.

Principe de Maximisation de l’entropie de KS

Fyliokov et Karpov [1] (1967) puis Monthus ont montré que maximiser l’entropie dynamique pour prédire l’état stationnaire des systèmes faiblement hors équilibre donnait de bons résultats, cohérents avec l’expérience et avec la physique à l’équilibre.
De même, Luck et al [26] maximisent l’entropie de KS sur un réseau non régulier et observent que l’état obtenu reproduit un phénomène de localisation. De nombreux autres articles maximisent l’entropie de KS [27]…Grâce à la construction de Kolmogorov on comprend que plus le système est chaotique plus la partition  se déformera vite et donc plus l’entropie de KS sera grande. Néanmoins ceci n’est que qualitatif. Nous essaierons de donner des arguments plus quantitatifs quant à la maximisation de l’entropie de KS dans le cinquième chapitre.

Table des matières

Introduction générale
1 Principe de maximisation et de minimisation de la production d’entropie.
1 La Physique et ses Principes
1.1 Différents Principes
1.2 Le Principe de Maximisation de Production d’entropie (MEP)
2 MEP en climatologie
2.1 Le modèle à deux boites
2.2 Le modèle de Paltridge
2.3 Vers une amélioration du modèle de Paltridge
3 Prigogine vs MEP : Maximisation ou Minimisation de la production d’entropie ?
3.1 Minimisation de la production d’entropie
4 Le principe de maximisation de l’entropie de KS
4.1 denition formelle de l’entropie de Kolmogorov-Sinaï
4.2 Entropie de KS pour un décalage de Bernouilli :
4.3 Chaine de Markov et entropie de KS
4.4 Production d’entropie dynamique
4.5 Principe de Maximisation de l’entropie de KS
2 Principe de maximisation de production d’entropie et modèle ASEP
1 Chaines de Markov
1.1 Dénition et outils associés
1.2 Convergence des chaines de Markov
1.3 Production d’entropie microscopique
2 Une chaine de Markov particulière : le modèle SSEP et ASEP
2.1 Motivations et lien avec le climat
2.2 Explication des modèles SSEP et ASEP
2.3 Modèle CASEP et Langmuir-ASEP
3 Article
3.1 Discussion sur les résultats trouvés
3 Principe de maximisation de production d’entropie et Zero Range Process
1 Introduction
2 ZRP
2.1 Description
2.2 Les diérentes applications du ZRP
3 ZRP et calculs analytiques
3.1 Formalisme quantique
3.2 Calcul de l’expression de la fugacité, du courant de particules
3.3 Quelques cas particuliers
3.4 Production d’entropie et entropie de KS
4 Article
5 Principaux résultats
5.1 travaux futurs
4 Maximisation de la production d’entropie et coarse graining
1 Introduction
2 Introduction aux systèmes dynamiques
2.1 Systèmes dynamiques : Dénition et quelques exemples
2.2 Chaos, Exposants de Lyapunov et théorème de Pesin
3 Lien entre production d’entropie et entropie de KS
3.1 Entropie coarse grainée
3.2 Existe-t-il un véritable lien dans les systèmes dynamiques entre la production d’entropie et l’entropie de KS ?
3.3 Limitations dues au coarse graining
4 Une nouvelle méthode pour coarse grainer
4.1 Méthodes classiques de coarse graining
4.2 Nouvelle méthode : La convolution
5 Production d’entropie microscopique
5.1 Expression analytique de l’entropie microscopique
5.2 dS/dt<0 ?
6 Coarse grained par rapport au temps ou à l’espace
6.1 Un autre coarse graining
6.2 Coarse grained par rapport au temps
6.3 Coarse grained par rapport à l’espace
7 Conclusion
5 Maximisation de l’entropie de KS et minimisation du mixing time
1 Introduction
2 Chaine de Markov et temps de mélange :
2.1 Dénition du temps de mélange
2.2 Lien avec les valeurs propres
2.3 Quelques inégalités sur le temps de mélange
3 A la recherche de la dynamique qui minimise le temps de mélange
3.1 Quelques exemples élémentaires de chaines qui mélangent rapidement
3.2 Algorithmes qui recherchent la dynamique qui mélange le plus rapidement
4 A la recherche de la dynamique qui maximise l’EKS
4.1 Théorème de Parry
4.2 Méthode analytique pour trouver la dynamique qui maximise l’EKS
5 Lien entre Minimisation du temps de mélange et maximisation de l’EKS
5.1 Article
6 Pour aller plus loin : Maximisation de l’EKS et Minimisation du temps de mélange dans les systèmes dynamiques
6.1 Entropie topologique et entropie métrique
6.2 Volume growth (L.S Young)
6 Application de MEP à la convection 
1 Introduction, position du problème
2 Outils nécessaires
2.1 Calcul sur un graphe
2.2 Résolution en Température
2.3 Résolution en Flux
2.4 Quelques cas particuliers
3 Méthode KKT pour la résolution
3.1 Température potentielle équivalente
3.2 Problème explicite une colonne
3.3 Problème explicite 2 colonnes et n colonnes
3.4 Principe permettant de trouver une unique solution parmi toutes les solutions du domaine admissible
4 Résultats
4.1 Modèle 1 colonne
4.2 Modèle 2 colonnes
5 Discussion
6 Conclusion
7 Conclusion générale
7.1 Conclusion
7.2 Perspectives et travaux futurs
Annexes
Bibliographie 

Télécharger le rapport complet